高中數(shù)學(xué) 第二章 空間向量與立體幾何習(xí)題（打包11套）[北師大版]選修2-1.zip
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§4 用向量討論垂直與平行
課時目標 1.會用直線的方向向量與平面的法向量表示空間直線、平面間的平行、垂直等位置關(guān)系.2.會用向量的有關(guān)知識證明線與線、線與面、面與面的垂直與平行．
1．空間中平行關(guān)系的向量表示
(1)線線平行
設(shè)直線l，m的方向向量分別為a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)且(a2b2c2≠0)，則l∥m___________________________________．
(2)線面平行
設(shè)直線l的方向向量為a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量為u＝(a2，b2，c2)，則l∥α____________________________________________．
(3)面面平行
設(shè)平面α，β的法向量分別為u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，則α∥β__________________________________________．
2．空間中垂直關(guān)系的向量表示
(1)線線垂直
設(shè)直線l的方向向量為a＝(a1，a2，a3)，直線m的方向向量為b＝(b1，b2，b3)，則l⊥m______________________________________________________．
(2)線面垂直
設(shè)直線l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是v＝(a2，b2，c2)，則l⊥α____________________________________．
(3)面面垂直
若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，則α⊥β______________________________________________．
一、選擇題
1．若直線l的方向向量為a＝(1,0,2)，平面α的法向量為n＝(－2,0，－4)，則( )
A．l∥α B．l⊥α
C．lα D．l與α斜交
2．平面α的一個法向量為(1,2,0)，平面β的一個法向量為(2，－1,0)，則平面α與平面β的位置關(guān)系是( )
A．平行 B．相交但不垂直
C．垂直 D．不能確定
3．從點A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取線段長AB＝34，則B點的坐標為( )
A．(－9，－7,7) B．(18,17，－17)
C．(9,7，－7) D．(－14，－19,31)
4.
在正方體ABCD—A1B1C1D1中，棱長為a，M、N分別為A1B、AC的中點，則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是( )
A．相交 B．平行
C．垂直 D．不能確定
5．已知A(3,0，－1)，B(0，－2，－6)，C(2,4，－2)，則△ABC是( )
A．等邊三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
6.
如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E是上底面中心，則AC1與CE的位置關(guān)系是( )
A．平行
B．相交
C．相交且垂直
D．以上都不是
題 號
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空題
7．已知直線l的方向向量為(2，m,1)，平面α的法向量為，且l∥α，則m＝________.
8．已知a＝(0,1,1)，b＝(1,1,0)，c＝(1,0,1)分別是平面α，β，γ的法向量，則α，β，γ三個平面中互相垂直的有______對．
9.
如圖，在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，M、P、Q分別為棱AB、CD、BC的中點，若平行六面體的各棱長均相等，則( )
①A1M∥D1P；
②A1M∥B1Q；
③A1M∥面DCC1D1；
④A1M∥面D1PQB1.
以上結(jié)論中正確的是________．(填寫正確的序號)
三、解答題
10．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，O是B1D1的中點，求證：B1C∥平面ODC1.
11．在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別為AB、BC的中點，在棱BB1上是否存在點M，使得D1M⊥平面EFB1?
能力提升
12．如圖，四棱錐P－ABCD中，底
面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝，點E是棱PB的中點．證明：AE⊥平面PBC.
13.
如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F.
(1)證明：PA∥平面EDB；
(2)證明：PB⊥平面EFD.
1．平行關(guān)系的常用證法
證明線線平行只需證明表示兩條直線的向量滿足實數(shù)倍數(shù)關(guān)系，如證明AB∥CD只需證＝λ.證明線面平行可轉(zhuǎn)化為證直線的方向向量和平面的法向量垂直，然后說明直線在平面外．證面面平行可轉(zhuǎn)化證兩面的法向量平行．
2．垂直關(guān)系的常用證法
要證線線垂直，可以轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的向量垂直．
要證線面垂直，可以轉(zhuǎn)化為證明這條直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直．
要證面面垂直，可以轉(zhuǎn)化為證明兩個平面的法向量垂直．
§4 用向量討論垂直與平行
知識梳理
1．(1)a∥b a＝λb?。剑健?2)a⊥u a·u＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 (3)u∥v u＝kv ＝＝(a2b2c2≠0)
2．(1)a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
(2)u∥v u＝λv?。剑?a2b2c2≠0) (3)u⊥v u·v＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
作業(yè)設(shè)計
1．B [∵n＝－2a，∴n∥a，∴l(xiāng)⊥α.]
2．C [∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0，∴兩法向量垂直，從而兩平面也垂直．]
3．B [設(shè)B(x，y，z)，＝(x－2，y＋1，z－7)
＝λ(8,9，－12)，λ>0.
故x－2＝8λ，y＋1＝9λ，z－7＝－12λ，
又(x－2)2＋(y＋1)2＋(z－7)2＝342，
得(17λ)2＝342，∵λ>0，∴λ＝2.
∴x＝18，y＝17，z＝－17，即B(18,17，－17)．]
4．B [可以建立空間直角坐標系，通過平面的法向量和的關(guān)系判斷．]
5．C [∵＝(－3，－2，－5)，＝(－1,4，－1)，＝(2,6,4)，∴·＝0，
∴AB⊥AC，且||≠|(zhì)|≠|(zhì)|，
∴△ABC為直角三角形．]
6．C [可以建立空間直角坐標系，通過與的關(guān)系判斷．]
7．－8
解析 ∵l∥α，∴l(xiāng)的方向向量與α的法向量垂直．
∴(2，m,1)·＝2＋m＋2＝0，∴m＝－8.
8．0
解析 ∵a·b＝(0,1,1)·(1,1,0)＝1≠0，
a·c＝(0,1,1)·(1,0,1)＝1≠0，
b·c＝(1,1,0)·(1,0,1)＝1≠0.
∴a，b，c中任意兩個都不垂直，即α、β、γ中任意兩個都不垂直．
9．①③④
解析 ∵＝－＝－＝，
∴A1M∥D1P.
∵D1P面D1PQB1，∴A1M∥面D1PQB1.
又D1P面DCC1D1，∴A1M∥面DCC1D1.
∵B1Q為平面DCC1D1的斜線，
∴B1Q與D1P不平行，∴A1M與B1Q不平行．
10．證明 方法一 ∵＝，B1A1D，
∴B1C∥A1D，又A1D平面ODC1，
∴B1C∥平面ODC1.
方法二 ∵＝＋
＝＋＋＋＝＋.
∴，，共面．
又B1C平面ODC1，∴B1C∥平面ODC1.
方法三
建系如圖，設(shè)正方體的棱長為1，則可得
B1(1,1,1)，C(0,1,0)，
O，C1(0,1,1)，
＝(－1,0，－1)，
＝，
＝.
設(shè)平面ODC1的法向量為n＝(x0，y0，z0)，
則
得
令x0＝1，得y0＝1，z0＝－1，∴n＝(1,1，－1)．
又·n＝－1×1＋0×1＋(－1)×(－1)＝0，
∴⊥n，且B1C平面ODC1，
∴B1C∥平面ODC1.
11．解
如圖所示，分別以，，為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系，則D1(0,0,1)，B1(1,1,1)，E，F(xiàn)，設(shè)M(1,1，m)，∴＝，
＝，＝(1,1，m－1)．
若D1M⊥平面EFB1，
則D1M⊥EF且D1M⊥B1E.
即·＝0，·＝0，
∴，∴m＝，
即存在點M且為B1B的中點，使D1M⊥平面EFB1.
12.
證明 如圖所示，以A為坐標原點，射線AB、AD、AP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸，建立空間直角坐標系．
設(shè)D(0，a,0)，
則B(，0,0)，C(，a,0)，
P(0,0，)，E(，0，)．
于是＝(，0，)，＝(0，a,0)，＝(，a，－)，則·＝0，·＝0.
所以AE⊥BC，AE⊥PC.
又因為BC∩PC＝C，
所以AE⊥平面PBC.
13.
證明 (1)以D為坐標原點，以DA、DC、DP所在的直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系．
連結(jié)AC，BD，AC交BD于G.
連結(jié)EG.設(shè)DC＝a，
依題意得A(a,0,0)，P(0,0，a)，E，
∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，
故點G的坐標為，
∴＝(a,0，－a)，＝.
∴＝2.即PA∥EG.
而EG平面EDB且PA平面EDB，
∴PA∥平面EDB.
(2)依題意得B(a，a,0)，＝(a，a，－a)．
又＝，
故·＝0＋－＝0，
∴PB⊥DE，由已知EF⊥PB，且EF∩DE＝E，
所以PB⊥平面EFD.
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