高中數(shù)學(xué) 第二章 空間向量與立體幾何習(xí)題（打包11套）[北師大版]選修2-1.zip
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章末總結(jié)
知識(shí)點(diǎn)一 空間向量的計(jì)算
空間向量及其運(yùn)算的知識(shí)與方法與平面向量及其運(yùn)算類(lèi)似，是平面向量的拓展，主要考查空間向量的共線與共面以及數(shù)量積運(yùn)算，是用向量法求解立體幾何問(wèn)題的基礎(chǔ)．
例1 沿著正四面體O—ABC的三條棱、、的方向有大小等于1、2和3的三個(gè)力f1，f2，f3.試求此三個(gè)力的合力f的大小以及此合力與三條棱夾角的余弦值．
知識(shí)點(diǎn)二 證明平行、垂直關(guān)系
空間圖形中的平行、垂直問(wèn)題是立體幾何當(dāng)中最重要的問(wèn)題之一，利用空間向量證明平行和垂直問(wèn)題，主要是運(yùn)用直線的方向向量和平面的法向量，借助空間中已有的一些關(guān)于平行和垂直的定理，再通過(guò)向量運(yùn)算來(lái)解決．
例2
如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1中，M、N分別為AB、B1C的中點(diǎn)．
(1)用向量法證明平面A1BD∥平面B1CD1；
(2)用向量法證明MN⊥面A1BD.
例3
如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，P是側(cè)棱CC1上的一點(diǎn)，CP＝m.
試確定m使得直線AP與平面BDD1B1所成的角為60°.
例4 正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點(diǎn)，求證：平面AED⊥平面A1FD1.
知識(shí)點(diǎn)三 空間向量與空間角
求異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角，一般有兩種方法：即幾何法和向量法，幾何法求角時(shí)，需要先作出(或證出)所求空間角的平面角，費(fèi)時(shí)費(fèi)力，難度很大．而利用向量法，只需求出直線的方向向量與平面的法向量．即可求解，體現(xiàn)了向量法極大的優(yōu)越性．
例5
如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝8，AA1＝4，M為B1C1上一點(diǎn)且B1M＝2，點(diǎn)N在線段A1D上，A1D⊥AN.
(1)求cos〈，〉；
(2)求直線AD與平面ANM所成角的余弦值；
(3)求平面ANM與平面ABCD所成角的余弦值．
知識(shí)點(diǎn)四 空間向量與空間距離
近年來(lái)，對(duì)距離的考查主要體現(xiàn)在兩點(diǎn)間的距離和點(diǎn)到平面的距離，兩點(diǎn)間的距離可以直接代入向量模的公式求解，點(diǎn)面距可以借助直線的方向向量與平面的法向量求解，或者利用等積求高的方法求解．
例6
如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，PA＝AD＝2，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)．
(1)求二面角P—CD—B的大小；
(2)求證：平面MND⊥平面PCD；
(3)求點(diǎn)P到平面MND的距離．
章末總結(jié)
重點(diǎn)解讀
例1 解
如圖所示，用a，b，c分別代表棱、、上的三個(gè)單位向量，
則f1＝a，f2＝2b，f3＝3c，
則f＝f1＋f2＋f3
＝a＋2b＋3c，
∴|f|2＝(a＋2b＋3c)(a＋2b＋3c)
＝|a|2＋4|b|2＋9|c|2＋4a·b＋6a·c＋12b·c
＝14＋4cos 60°＋6cos 60°＋12 cos 60°
＝14＋2＋3＋6＝25，
∴|f|＝5，即所求合力的大小為5.
且cos〈f，a〉＝
＝
＝＝，
同理可得：cos〈f，b〉＝，cos〈f，c〉＝.
例2 證明 (1)在正方體ABCD—A1B1C1D1中，
＝－，＝－，
又∵＝，＝，
∴＝.∴BD∥B1D1.
同理可證A1B∥D1C，
又BD∩A1B＝B，B1D1∩D1C＝D1，
所以平面A1BD∥平面B1CD1.
(2)＝＋＋
＝＋＋(＋)
＝＋＋(－＋)
＝＋＋.
設(shè)＝a，＝b，＝c，
則＝(a＋b＋c)．
又＝－＝b－a，
∴·＝(a＋b＋c)(b－a)
＝(b2－a2＋c·b－c·a)．
又∵A1A⊥AD，A1A⊥AB，∴c·b＝0，c·a＝0.
又|b|＝|a|，∴b2＝a2，∴b2－a2＝0.
∴·＝0，∴MN⊥BD.
同理可證，MN⊥A1B，又A1B∩BD＝B，
∴MN⊥平面A1BD.
例3
解 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，B(1,1,0)，P(0,1，m)，
C(0,1,0)，D(0,0,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)．
則＝(－1，－1,0)，
＝(0,0,1)，
＝(－1,1，m)，＝(－1,1,0)．
又由·＝0，·＝0知，為平面BB1D1D的一個(gè)法向量．
設(shè)AP與平面BB1D1D所成的角為θ，
則sin θ＝|cos〈，〉|＝
＝.
依題意得＝sin 60°＝，
解得m＝.
故當(dāng)m＝時(shí)，直線AP與平面BDD1B1所成角為60°.
例4 證明
如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.
設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，
則E、D1(0,0,1)、
F、A(1,0,0)．
∴＝(1,0,0)＝，＝，
＝.
設(shè)m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分別是平面AED和A1FD1的一個(gè)法向量．
由?.
令y1＝1，得m＝(0,1，－2)．
又由?，
令z2＝1，得n＝(0,2,1)．
∵m·n＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0，
∴m⊥n，故平面AED⊥平面A1FD1.
例5 解 (1)建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)．
則A(0,0,0)，A1(0,0,4)，D(0,8,0)，M(5,2,4)．
∴＝(5,2,4)，
＝(0,8，－4)．
∴·＝0＋16－16＝0，
∴⊥.
∴cos〈，〉＝0.
(2)∵A1D⊥AM，A1D⊥AN，且AM∩AN＝A，
∴⊥平面ANM，
∴＝(0,8，－4)是平面ANM的一個(gè)法向量．
又＝(0,8,0)，||＝4，||＝8，
·＝64，
∴cos〈，〉＝＝＝.
∴AD與平面ANM所成角的余弦值為.
(3)∵平面ANM的法向量是＝(0,8，－4)，
平面ABCD的法向量是a＝(0,0,1)，
∴cos〈，a〉＝＝－.
∴平面ANM與平面ABCD所成角的余弦值為.
例6 (1)解 ∵PA⊥平面ABCD，
由ABCD是正方形知AD⊥CD.
∴CD⊥面PAD，∴PD⊥CD.
∴∠PDA是二面角P—CD—B的平面角．
∵PA＝AD，∴∠PDA＝45°，
即二面角P—CD—B的大小為45°.
(2)
如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，
則P(0,0,2)，D(0,2,0)，
C(2,2,0)，M(1,0,0)，
∵N是PC的中點(diǎn)，
∴N(1,1,1)，
∴＝(0,1,1)，
＝(－1,1，－1)，＝(0,2，－2)．
設(shè)平面MND的一個(gè)法向量為m＝(x1，y1，z1)，平面PCD的一個(gè)法向量為n＝(x2，y2，z2)．
∴m·＝0，m·＝0，
即有
令z1＝1，得x1＝－2，y1＝－1.
∴m＝(－2，－1,1)．
同理，由n·＝0，n·＝0，
即有
令z2＝1，得x2＝0，y2＝1，∴n＝(0,1,1)．
∵m·n＝－2×0＋(－1)×1＋1×1＝0，
∴m⊥n.∴平面MND⊥平面PCD.
(3)設(shè)P到平面MND的距離為d.
由(2)知平面MND的法向量m＝(－2，－1,1)，
∵·m＝(0,2，－2)·(－2，－1,1)＝－4，
∴|·m|＝4，
又|m|＝＝，
∴d＝＝＝.
即點(diǎn)P到平面MND的距離為.
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