高中數(shù)學 第二章 空間向量與立體幾何習題（打包11套）[北師大版]選修2-1.zip
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5.3 直線與平面的夾角
課時目標 1.理解直線與平面的夾角的概念.2.會利用向量的方法求直線與平面的夾角．
1．直線和平面所成的角是指這條直線與它在這個平面內(nèi)的________所成的角，其范圍是__________，斜線與平面所成的角是這條直線與平面內(nèi)的一切直線所成角中________的角．
2．直線和平面所成的角可以通過直線的____________與平面的__________求得，若設直線與平面所成的角為θ，直線的方向向量與平面的法向量的夾角為φ，則有sin θ＝__________.
一、選擇題
1．在三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱長相等，側(cè)棱垂直于底面，點D是側(cè)面BB1C1C的中心，則AD與平面BB1C1C夾角的大小是( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
2.
如圖所示，四面體SABC中，·＝0，·＝0，·＝0，，∠SBA＝45°，∠SBC＝60°，M為AB的中點．則BC與平面SAB的夾角為( )
A．30° B．60°
C．90° D．75°
3．平面的一條斜線段長是它在平面內(nèi)射影長的2倍，則斜線與平面所成角的大小為( )
A．30° B．60°
C．45° D．120°
4．如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M，N，P分別是棱CC1，BC，A1B1上的點，若∠B1MN＝90°，則∠PMN的大小是( )
A．等于90°
B．小于90°
C．大于90°
D．不確定
5．若直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角等于150°，則直線l與平面α所成的角等于( )
A．30° B．60°
C．150° D．以上均錯
6．正四棱錐S—ABCD中，O為頂點在底面上的射影，P為側(cè)棱SD的中點，且SO＝OD，則直線BC與平面PAC所成的角是( )
A．30° B．60° C．150° D．90°
題 號
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空題
7.
如圖所示，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱長都相等，D是A1C1的中點，則直線AD與平面B1DC所成角的正弦值為________．
8．正方形ABCD的邊長為a，PA⊥平面ABCD，PA＝a，則直線PB與平面PAC所成的角為________．
9．在正三棱柱ABC—A1B1C1中側(cè)棱長為，底面邊長為1，則BC1與側(cè)面ACC1A1所成的角為________.
三、解答題
10.
如圖所示，在直三棱柱ABO—A′B′O′中，OO′＝4，OA＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，D是線段A′B′的中點，P是側(cè)棱BB′上的一點，若OP⊥BD，求OP與底面AOB所成角的正切值．
11.
如圖所示，已知直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝2AD，AS⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AS＝AB.求直線SC與底面ABCD的夾角θ的余弦值．
能力提升
12.
如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2.以BD的中點O為球心，BD為直徑的球面交PD于M.
(1)求證：平面ABM⊥平面PCD；
(2)求直線PC與平面ABM所成的角的正弦值．
13．已知三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N為AB上一點，且AB＝4AN，M，S分別為PB，BC的中點．
(1)證明：CM⊥SN；
(2)求SN與平面CMN所成角的大?。?
直線與平面所成角的求法
(1)傳統(tǒng)求法：可通過已知條件，在斜線上取一點作該平面的垂線，找出該斜線在平面內(nèi)的射影，通過解直角三角形求得．
(2)向量求法：設直線l的方向向量為a，平面的法向量為u，直線與平面所成的角為θ，a與u的夾角為φ，則有sin θ＝|cos φ|＝或cos θ＝sin φ.
5．3 直線與平面的夾角
知識梳理
1．射影 最小
2．方向向量 法向量 |cos φ|
作業(yè)設計
1．C
2．B [∵·＝0，·＝0，∴⊥，⊥，即SB⊥SC，SA⊥SC，又SB∩SA＝S，
∴SC⊥平面SAB，∴∠SBC為BC與平面SAB的夾角．又∠SBC＝60°，故BC與平面SAB的夾角為60°.]
3．B
4．A [A1B1⊥平面BCC1B1，故A1B1⊥MN，
則·＝(＋)·
＝·＋·＝0，
∴MP⊥MN，即∠PMN＝90°.
也可由三垂線定理直接得MP⊥MN.]
5．B [當直線l的方向向量ν與平面α的法向量n的夾角〈n，ν〉小于90°時，直線l與平面α所成的角與之互余．]
6．A [
如圖所示，以O為原點建立空間直角坐標系．
設OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，
則A(a,0,0)，B(0，a,0)，
C(－a,0,0)，P.
則＝(2a,0,0)，＝，＝(a，a,0)．
設平面PAC的法向量為n，可求得n＝(0,1,1)，
則cos〈，n〉＝＝＝.
∴〈，n〉＝60°，∴直線BC與平面PAC所成的角為90°－60°＝30°.]
7.
解析 不妨設正三棱柱ABC—A1B1C1的棱長為2，建立如圖所示的空間直角坐標系(x軸垂直于AB)，
則C(0,0,0)，A(，－1,0)，B1(，1,2)，D，
則＝，＝(，1,2)，設平面B1DC的法向量為n＝(x，y,1)，
由解得n＝(－，1,1)．
又∵＝，
∴sin θ＝|cos〈，n〉|＝.
8．30°
9.
解析 在正三棱柱ABC—A1B1C1中取AC的中點O，OB⊥AC，則OB⊥平面ACC1A1，
∴∠BC1O就是BC1與平面AC1的夾角．
以O為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，
則O(0,0,0)，B，
C1，
＝，＝.
cos〈，〉＝
＝＝＝.
∴〈，〉＝，即BC1與平面ACC1A1的夾角為.
10．解 如圖，以O點為原點建立空間直角坐標系，
則B(3,0,0)，D.
設P(3,0，z)，則＝，＝(3,0，z)．
∵BD⊥OP，∴·
＝－＋4z＝0，z＝.
∴P.∵BB′⊥平面AOB，
∴∠POB是OP與底面AOB所成的角．
∵tan∠POB＝＝，
故OP與底面AOB所成角的正切值為.
11．解 由題設條件知，可建立以AD為x軸，AB為y軸，AS為z軸的空間直角坐標系(如圖所示)．
設AB＝1，則A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，
D，S(0,0,1)．
∴＝(0,0,1)，
＝(－1，－1,1)．
顯然是底面的法向量，它與已知向量的夾角β＝90°－θ，
故有sin θ＝|cos β|＝＝＝，
于是cos θ＝＝.
12．(1)證明 依題設，M在以BD為直徑的球面上，
則BM⊥PD.
因為PA⊥底面ABCD，AB底面ABCD，
則PA⊥AB.
又AB⊥AD，PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD，
則AB⊥PD，又BM∩AB＝B.
因此有PD⊥平面ABM，又PD平面PCD.
所以平面ABM⊥平面PCD.
(2)解
如圖所示，建立空間直角坐標系，則A(0,0,0)，
P(0,0,4)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，D(0,4,0)，M(0,2,2)，
設平面ABM的一個法向量n＝(x，y，z)，
由n⊥，n⊥
可得
令z＝－1，則y＝1，即n＝(0,1，－1)．
設所求角為α，則sin α＝＝，
故所求的角的正弦值為.
13.
(1)證明 設PA＝1，以A為原點，AB，AC，AP所在直線分別為x，y，z軸正向建立空間直角坐標系如圖所示，
則P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0，)，
N(，0,0)，S(1，，0)．
所以＝(1，－1，)，＝(－，－，0)．
因為·＝－＋＋0＝0，
所以CM⊥SN.
(2)解?。?－，1,0)，
設a＝(x，y，z)為平面CMN的一個法向量，則
即令x＝2，得a＝(2,1，－2)．
因為|cos〈a，〉|＝＝＝，所以SN與平面CMN所成的角為45°.
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