高中數(shù)學(xué) 第二章 空間向量與立體幾何習(xí)題(打包11套)[北師大版]選修2-1.zip
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第二章 空間向量與立體幾何
§1 從平面向量到空間向量
課時(shí)目標(biāo) 1.了解空間向量的概念.2.經(jīng)歷向量的有關(guān)概念由平面向空間推廣的過程.3.了解空間中直線的方向向量,平面的法向量,共面向量與不共面向量的概念.
1.空間向量
(1)在空間中,既有________又有________的量,叫作空間向量.
(2)向量用小寫字母表示,如:,或a,b.
也可用大寫字母表示,如:,其中______叫做向量的起點(diǎn),______叫做向量的終點(diǎn).
(3)數(shù)學(xué)中所討論的向量與向量的________無(wú)關(guān),稱之為自由向量.
(4)與平面向量一樣,空間向量的大小也叫作向量的長(zhǎng)度或模,用________或______表示.
(5)向量夾角的定義:如圖所示,兩非零向量a,b,在空間中任取點(diǎn)O,作=a,=b,則________叫作向量a,b的夾角,記作________.
(6)向量夾角的范圍:
規(guī)定__________.
(7)特殊角:當(dāng)〈a,b〉=時(shí),向量a與b________,記作__________;
當(dāng)〈a,b〉=0或π時(shí),向量a與b______,記作______.
2.向量、直線、平面
(1)所謂直線的方向向量是指和這條直線________或______的非零向量,一條直線的方向向量有_______________________________個(gè).
(2)
如果直線l垂直于平面α,那么把直線l的____________,叫作平面α的法向量.
平面α有________個(gè)法向量,平面α的所有法向量都________.
(3)空間中,若一個(gè)向量所在直線__________一個(gè)平面,則稱這個(gè)向量平行該平面.把________________的一組向量稱為共面向量.
一、選擇題
1.下列命題中,假命題是( )
A.向量與的長(zhǎng)度相等
B.兩個(gè)相等的向量,若起點(diǎn)相同,則終點(diǎn)也相同
C.只有零向量的模等于0
D.共線的單位向量都相等
2.給出下列命題
①空間中兩直線的夾角就是它們的方向向量的夾角;
②相互平行的向量一定共面,共面的向量也一定相互平行;
③空間兩平面所成的二面角的大小等于它們的法向量的夾角.
其中正確命題的個(gè)數(shù)是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
3.在棱長(zhǎng)為的正方體ABCD—A1B1C1D1中,所有棱及面對(duì)角線中能表示單位向量的有向線段共有(如,只記一次)( )
A.12條 B.16條 C.18條 D.24條
4.
如圖所示,三棱錐A—BCD中,AB⊥面BCD,∠BDC=90°,則在所有的棱表示的向量中,夾角為90°的共有( )
A.3對(duì) B.4對(duì)
C.5對(duì) D.6對(duì)
5.已知向量,,滿足||=||+||,則( )
A.=+ B.=--
C.與同向 D.與同向
6.下列命題是真命題的是( )
A.分別表示空間向量的有向線段所在的直線是異面直線,則這兩個(gè)向量不是共面向量
B.若|a|=|b|,則a,b的長(zhǎng)度相等而方向相同或相反
C.若向量,滿足||>||,且與同向,則>
D.若兩個(gè)非零向量與滿足+=0,則∥
題 號(hào)
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空題
7.
如圖所示,兩全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交成直二面角,其中心分別是M,N,則直線MN的一個(gè)方向向量是________(要填不在直線MN上的向量).
8.在正方體ABCD—A1B1C1D1的所有棱、面對(duì)角線、體對(duì)角線所對(duì)應(yīng)的向量中,是平面A1B1CD的法向量的是__________________.
9.給出下面命題:
①空間任意兩個(gè)向量a,b一定是共面的.②a,b為空間兩個(gè)向量,則|a|=|b|a=b.③若a∥b,則a與b所在直線平行.④如果a∥b,b∥c,那么a∥c.
其中假命題的序號(hào)是________.
三、解答題
10.判斷以下命題的真假:
(1)|a|=0的充要條件是a=0;
(2)不相等的兩個(gè)空間向量模必不相等;
(3)空間中任何兩個(gè)向量一定共面;
(4)空間向量a,b夾角為銳角cosa,b〉>0.
11.在正方體ABCD—A1B1C1D1中求下列向量的夾角:
(1)〈,〉;(2)〈,〉;
(3)〈,〉;(4)〈,〉.
能力提升
12.
如圖所示,四棱錐D1—ABCD中,AD=DD1=CD,底面ABCD是正方形,DD1⊥面ABCD,E是AD1的中點(diǎn),求〈,〉.
13.四棱錐P—ABCD中,PD⊥面ABCD,底面ABCD為正方形且PD=AD=CD,E、F分別是PC、PB的中點(diǎn).
(1)試以F為起點(diǎn)作直線DE的方向向量;
(2)試以F為起點(diǎn)作平面PBC的法向量.
1.直線的方向向量和平面的法向量是兩個(gè)重要的概念,在證明線面平行,線面垂直以及求線面的夾角時(shí),有著廣泛的應(yīng)用.
2.兩向量的夾角
對(duì)于兩向量a、b的夾角〈a,b〉的理解,除〈a,b〉=〈b,a〉外還應(yīng)注意由于兩向量的夾角的范圍為[0,π],要注意〈,〉與〈-,〉,〈,-〉的區(qū)別和聯(lián)系,即〈-,〉=〈,-〉=π-〈,〉.
第二章 空間向量與立體幾何
§1 從平面向量到空間向量
知識(shí)梳理
1.(1)大小 方向 (2)A B (3)起點(diǎn) (4)|| |a| (5)∠AOB 〈a,b〉 (6)0≤〈a,b〉≤π
(7)垂直 a⊥b 平行 a∥b
2.(1)平行 重合 無(wú)數(shù)個(gè) (2)方向向量 無(wú)數(shù) 平行 (3)平行于 平行于同一平面
作業(yè)設(shè)計(jì)
1.D [共線的單位向量是相等向量或相反向量.]
2.A 3.A 4.C
5.D [由||=||+||=||+||,知C點(diǎn)在線段AB上,否則與三角形兩邊之和大于第三邊矛盾,所以與同向.]
6.D [A錯(cuò).因?yàn)榭臻g任兩向量平移之后可共面,所以空間任兩向量均共面.
B錯(cuò).因?yàn)閨a|=|b|僅表示a與b的模相等,與方向無(wú)關(guān).
C錯(cuò).空間任兩向量不研究大小關(guān)系,因此也就沒有>這種寫法.
D對(duì).∵+=0,∴=-,
∴與共線,故∥正確.]
7.或
8.或
9.②③④
10.解 (1)真命題 (2)假命題 (3)真命題
(4)假命題
命題(4),當(dāng)〈a,b〉=0時(shí),cos〈a,b〉=1>0,
但〈a,b〉不是銳角.
故命題(4)是假命題.
11.解
(1)在正方體ABCD—A1B1C1D1中,棱DD1⊥底面ABCD,AC面ABCD,
∴AC⊥DD1,
∴〈,〉=.
(2)連結(jié)AD1,則AC=CD1=AD1,
故△ACD1為正三角形,∠ACD1=,
∴〈,〉=.
(3)連結(jié)A1C1,C1D,則=,
且△A1C1D為正三角形.
∴∠C1A1D==〈,〉=〈,〉.
∴〈,〉=.
(4)連結(jié)BD,則AC⊥BD,
又AC⊥DD1,BD∩DD1=D,∴AC⊥面BD1D,
∵BD1面BDD1,∴AC⊥BD1,∴〈,〉=.
12.解 取CD1的中點(diǎn)F,連接EF,DF,
則=,
∴〈,〉=〈,〉,
由AD=DD1=CD,
且D1D⊥AD,D1D⊥CD,
∴DE=DF=EF=DD1,
∴△EFD為正三角形,
∠FED=,
∴〈,〉=〈,〉=.
13.
解 (1)∵E、F分別是PC、PB的中點(diǎn),
∴EFBC,又BCAD,∴EFAD,
取AD的中點(diǎn)M,連MF,則由EFDM知四邊形DEFM是平行四邊形,
∴MF∥DE,∴就是直線DE的一個(gè)方向向量.
(2)∵PD⊥面ABCD,∴PD⊥BC,
又BC⊥CD,∴BC⊥面PCD,
∵DE面PCD,∴DE⊥BC,
又PD=CD,E為PC中點(diǎn),∴DE⊥PC,
從而DE⊥面PBC,
∴是面PBC的一個(gè)法向量,
由(1)可知=,
∴就是面PBC的一個(gè)法向量.
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