高中數(shù)學(xué) 第二章 空間向量與立體幾何習(xí)題（打包11套）[北師大版]選修2-1.zip
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第二章 空間向量與立體幾何(A)
(時(shí)間：120分鐘 滿分：150分)
一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分)
1．以下命題中，不正確的個(gè)數(shù)為( )
①|(zhì)a|－|b|＝|a＋b|是a，b共線的充要條件；②若a∥b，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使a＝λb；③若a·b＝0，b·c＝0，則a＝c；④若a，b，c為空間的一個(gè)基底，則a＋b，b＋c，c＋a構(gòu)成空間的另一個(gè)基底；
⑤|(a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|.
A．2 B．3 C．4 D．5
2．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，則等于( )
A．a(chǎn)＋b－c B．a(chǎn)－b＋c
C．－a＋b＋c D．－a＋b－c
3．已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)，若a∥b，則( )
A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝
4．已知空間三點(diǎn)A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．若|a|＝，且a分別與，垂直，則向量a為( )
A．(1,1,1)
B．(－1，－1，－1)
C．(1,1,1)或(－1，－1，－1)
D．(1，－1,1)或(－1,1，－1)
5．已知A(－1,0,1)，B(0,0,1)，C(2,2,2)，D(0,0,3)，則sin〈，〉等于( )
A．－ B. C. D．－
6．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝BB1，則AB1與C1B所成角的大小為( )
A．60° B．90° C．105° D．75°
7．若兩個(gè)不同平面α，β的法向量分別為u＝(1,2，－1)，v＝(－3，－6,3)，則( )
A．α∥β B．α⊥β
C．α，β相交但不垂直 D．以上均不正確
8．若兩點(diǎn)A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，當(dāng)||取最小值時(shí)，x的值等于( )
A．19 B．－ C. D.
9.
如圖所示，在四面體P—ABC中，PC⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，那么二面角B—AP—C的余弦值為( )
A. B. C. D.
10．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M是AB的中點(diǎn)，則sin〈，〉的值等于( )
A. B.
C. D.
題 號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答 案
二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分)
11．若a＝(2，－3,5)，b＝(－3,1，－4)，則|a－2b|＝______.
12．若三點(diǎn)A(1，－2,1)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，則△ABC的形狀是________________．
13．如圖所示，
已知正四面體ABCD中，AE＝AB，CF＝CD，則直線DE和BF所成角的余弦值為_(kāi)_______．
14．平面α的法向量為(1,0，－1)，平面β的法向量為(0，－1,1)，則平面α與平面β所成二面角的大小為_(kāi)_______．
15.
如圖所示，已知二面角α—l—β的平面角為θ ，AB⊥BC，BC⊥CD，AB在平面β內(nèi)，BC在l上，CD在平面α內(nèi)，若AB＝BC＝CD＝1，則AD的長(zhǎng)為_(kāi)_____．
三、解答題(本大題共6小題，共75分)
16．(12分)在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB1⊥BC1，CA1⊥BC1.求證：AB1＝CA1.
17．(12分)已知四邊形ABCD的頂點(diǎn)分別是A(3，－1，2)，B(1，2，－1)，C(－1,1，
－3)，D(3，－5,3)．
求證：四邊形ABCD是一個(gè)梯形．
18.(12分)
如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別為A1D1和CC1的中點(diǎn)．
(1)求證：EF∥平面ACD1；
(2)求異面直線EF與AB所成角的余弦值．
19．(12分)
如圖所示，已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD.
求證：C1C⊥BD.
20.(13分)
如圖，在空間四邊形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA與BC所成角的余弦值．
21．(14分)
如圖，在長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是棱BC，CC1上的點(diǎn)，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4.
(1)求異面直線EF與A1D所成角的余弦值；
(2)證明AF⊥平面A1ED；
(3)求二面角A1—ED—F的正弦值．
第二章 空間向量與立體幾何(A)
1．C [只有命題④正確．]
2．D
[如圖，＝－＝－－＝－－＝b－a－c.]
3．D [∵a∥b，∴存在實(shí)數(shù)λ，使，∴.]
4．C [設(shè)a＝(x，y，z)，∵＝(－2，－1,3)，
＝(1，－3,2)，又|a|＝，a⊥，a⊥，
∴∴或
∴a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1)．]
5．C [∵＝(1,0,0)，＝(－2，－2,1)，
∴cos〈，〉＝＝－，
∴sin〈，〉＝.]
6．B [
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BB1＝1，則A(0,0,1)，B1，
C1(0，，0)， B.
∴＝，
＝，∴·＝－－1＝0，即AB1與C1B所成角的大小為90°.]
7．A [∵v＝－3u，∴v∥u.故α∥β.]
8．C [＝(1－x,2x－3，－3x＋3)，
則||＝
＝＝.
故當(dāng)x＝時(shí)，||取最小值．]
9．C [如圖所示，
作BD⊥AP于D，作CE⊥AP于E，設(shè)AB＝1，則易得CE＝，EP＝，PA＝PB＝，
可以求得BD＝，ED＝.
∵＝＋＋，
∴2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·.
∴·＝－，∴cos〈，〉＝－，
即二面角B—AP—C的余弦值為.]
10．B
[以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，易知＝(1,1,1)，＝，
故cos〈，〉＝，
從而sin〈，〉＝.]
11.
解析 ∵a－2b＝(8，－5,13)，
∴|a－2b|＝＝.
12．不等邊的銳角三角形
解析?。?3,4,2)，＝(5,1,3)，＝(2，－3，1)，·>0，得∠A為銳角；·>0，得∠C為銳角；·>0，得∠B為銳角，所以△ABC是銳角三角形且||＝，
||＝，||＝.
13.
解析 因四面體ABCD是正四面體，頂點(diǎn)A在底面BCD內(nèi)的射影為△BCD的垂心，所以有BC⊥DA，AB⊥CD.設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為4，
則·＝(＋)·(＋)＝0＋·＋·＋0＝4×1×cos 120°＋1×4×cos 120°＝－4，
BF＝DE＝＝，
所以異面直線DE與BF的夾角θ的余弦值為：
cos θ＝＝.
14.或
解析 設(shè)n1＝(1,0，－1)，n2＝(0，－1,1)，
則cos〈n1，n2〉＝＝－，
∴〈n1，n2〉＝.因平面α與平面β所成的角與〈n1，n2〉相等或互補(bǔ)，所以α與β所成的角為或.
15.
解析 因?yàn)椋剑?
所以2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2cos(π－θ)＝3－2cos θ.
所以||＝，
即AD的長(zhǎng)為.
16．證明 以A為原點(diǎn)，AC為x軸，AA1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
設(shè)B(a，b,0)，C(c,0,0)，A1(0,0，d)，
則B1(a，b，d)，C1(c,0，d)，＝(a，b，d)，
＝(c－a，－b，d)，＝(－c,0，d)，
由已知·＝ca－a2－b2＋d2＝0，
·＝－c(c－a)＋d2＝0，可得c2＝a2＋b2.
再由兩點(diǎn)間距離公式可得：
|AB1|2＝a2＋b2＋d2，
|CA1|2＝c2＋d2＝a2＋b2＋d2，
∴AB1＝CA1.
17．證明 因?yàn)椋?1,2，－1)－(3，－1,2)＝(－2,3，－3)，＝(3，－5,3)－(－1,1，－3)＝(4，－6,6)，因?yàn)椋剑剑?
所以和共線，即AB∥CD.
又因?yàn)椋?3，－5,3)－(3，－1,2)＝(0，－4,1)，
＝(－1,1，－3)－(1,2，－1)＝(－2，－1，－2)，
因?yàn)椤佟?，所以與不平行，
所以四邊形ABCD為梯形．
18．(1)證明
如圖所示，分別以DA、DC、DD1所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由已知得D(0,0,0)，
A(2,0,0)，B(2,2,0)，
C(0,2,0)，B1(2,2,2)，D1(0,0,2)，E(1,0,2)，
F(0,2,1)．
易知平面ACD1的一個(gè)法向量是＝(2,2,2)．
又∵＝(－1,2，－1)，由·＝－2＋4－2＝0，∴⊥.
又∵EF平面ACD1，∴EF∥平面ACD1.
(2)解 ∵＝(0,2,0)，
cos〈，〉＝＝＝.
19．證明 設(shè)＝a，＝b，＝c，
依題意，|a|＝|b|，
又設(shè)，，中兩兩所成夾角為θ，
于是＝－＝a－b，
·＝c·(a－b)＝c·a－c·b
＝|c||a|cos θ－|c||b|cos θ＝0，
所以C1C⊥BD.
20．解 因?yàn)椋剑?
所以·＝·－·
＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉
＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝－16＋24.
所以cos〈，〉＝＝＝.
即OA與BC所成角的余弦值為.
21．(1)解 如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)．設(shè)AB＝1，依題意得D(0,2,0)，F(xiàn)(1,2,1)，A1(0,0,4)，E.
易得＝，＝(0,2，－4)，
于是cos〈，〉
＝＝－.
所以異面直線EF與A1D所成角的余弦值為.
(2)證明 易知＝(1,2,1)，
＝，＝，
于是·＝0，·＝0.
因此，AF⊥EA1，AF⊥ED.
又EA1∩ED＝E，所以AF⊥平面A1ED.
(3)設(shè)平面EFD的法向量u＝(x，y，z)，
則即
不妨令x＝1，可得u＝(1,2，－1)，
由(2)可知，為平面A1ED的一個(gè)法向量，
于是cos〈u，〉＝＝，
從而sin〈u，〉＝.
所以二面角A1—ED—F的正弦值為.
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