自動(dòng)控制原理第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型.ppt

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1,第二步：聯(lián)立各環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，消去中間變量，得到描述系統(tǒng)輸出、輸入關(guān)系的微分方程。,第一步：首先明確什么是輸入輸出量，將系統(tǒng)分成若干個(gè)環(huán)節(jié)，列寫(xiě)各環(huán)節(jié)的輸出輸入的數(shù)學(xué)表達(dá)式。,利用適當(dāng)?shù)奈锢矶伞缗ｎD定律、基爾霍夫電流和電壓定律、能量守恒定律等。,,復(fù)習(xí),1、建立系統(tǒng)的微分方程,2,2、線性微分方程的求解,拉普拉斯變換法求解微分方程基本步驟：,（1）考慮初始條件，對(duì)微分方程中的各項(xiàng)進(jìn)行拉式變換，變成變量s的代數(shù)方程。,,（2）由變量s的代數(shù)方程求出系統(tǒng)輸出量的拉式變換式。,,（3）對(duì)輸出量的拉式變換式進(jìn)行拉式反變換，得到系統(tǒng)微分方程的解。,,3,2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型——傳遞函數(shù),2.2.1傳遞函數(shù)的定義和主要性質(zhì),傳遞函數(shù)是在用拉氏變換求解線性常微分方程的過(guò)程中引申出來(lái)的概念。,微分方程是在時(shí)域中描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的數(shù)學(xué)模型，在給定外作用和初始條件下，解微分方程可以得到系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)變化時(shí)分析較麻煩。能否不解方程進(jìn)行系統(tǒng)分析？,定義：線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，定義為零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。,4,設(shè)r(t)和c(t)及其各階系數(shù)在t=0的值均為零，即零初始條件，則對(duì)上式中各項(xiàng)分別求拉氏變換，并令C(s)＝L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，可得s的代數(shù)方程為：,5,性質(zhì)1傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù)，m≤n，且所具有復(fù)變量函數(shù)的所有性質(zhì)。（物理可實(shí)現(xiàn)）,性質(zhì)2G(s)取決于系統(tǒng)或元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入量的形式（幅度與大?。o(wú)關(guān)。,性質(zhì)3G(s)雖然描述了輸出與輸入之間的關(guān)系，但它不提供任何該系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)。因?yàn)樵S多不同的物理系統(tǒng)具有完全相同的傳遞函數(shù)。,性質(zhì)4如果G(s)已知，那么可以研究系統(tǒng)在各種輸入信號(hào)作用下的輸出響應(yīng)。,性質(zhì)5如果系統(tǒng)的G(s)未知，可以給系統(tǒng)加上已知的輸入，研究其輸出，從而得出傳遞函數(shù)，一旦建立G(s)就可獲得該系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的完整描述，與其它物理系統(tǒng)描述不同。,6,性質(zhì)6傳遞函數(shù)與微分方程之間有關(guān)系。,如果將置換,,7,[例]求下圖的傳遞函數(shù)：,8,[法2]求下圖的傳遞函數(shù)（復(fù)數(shù)阻抗法）,9,傳遞函數(shù)G(s)的零點(diǎn)和極點(diǎn),2.2.2傳遞函數(shù)G(s)的零點(diǎn)和極點(diǎn)對(duì)輸出的影響,10,極點(diǎn)和零點(diǎn)分布圖,11,傳遞函數(shù)的零點(diǎn)影響到各模態(tài)在運(yùn)動(dòng)中所占的“比重”,從工程的角度看，決不能認(rèn)為系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性質(zhì)唯一地或者主要地由傳遞函數(shù)的極點(diǎn)決定，必須注意到零點(diǎn)的作用。,2.2.3典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù),1、比例環(huán)節(jié)（又叫放大環(huán)節(jié)）特點(diǎn)：輸出量按一定比例復(fù)現(xiàn)輸入量，無(wú)滯后、失真現(xiàn)象。運(yùn)動(dòng)方程:c(t)=Kr(t)K——放大系數(shù)，通常都是有量綱的。傳遞函數(shù)：,比例環(huán)節(jié)又稱為放大環(huán)節(jié)。k為放大系數(shù)。實(shí)例：分壓器，放大器，無(wú)間隙無(wú)變形齒輪傳動(dòng)等。,例1：輸入：?(t)——角度E——恒定電壓輸出：u(t)——電壓,運(yùn)動(dòng)方程：u(t)=K?(t)傳遞函數(shù)：K——比例系數(shù)，量綱為伏/弧度。,例2：輸入：n1(t)——轉(zhuǎn)速Z1——主動(dòng)輪的齒數(shù)輸出：n2(t)——轉(zhuǎn)速Z2——從動(dòng)輪的齒數(shù),運(yùn)動(dòng)方程：傳遞函數(shù)：,,其它一些比例環(huán)節(jié),2、微分環(huán)節(jié),特點(diǎn)：動(dòng)態(tài)過(guò)程中，輸出量正比于輸入量的變化速度。運(yùn)動(dòng)方程：傳遞函數(shù)：,微分環(huán)節(jié)沒(méi)有極點(diǎn)，只有零點(diǎn)。分別是零、實(shí)數(shù)和一對(duì)共軛零點(diǎn)（若）。在實(shí)際系統(tǒng)中，由于存在慣性，單純的微分環(huán)節(jié)是不存在的，一般都是微分環(huán)節(jié)加慣性環(huán)節(jié)。,例1RC電路設(shè)：輸入——ur(t)輸出——uc(t)消去i(t)，得到：運(yùn)動(dòng)方程：傳遞函數(shù)：（Tc=RC）當(dāng)Tc<<1時(shí)，又可表示成：,,3、積分環(huán)節(jié),特點(diǎn)：輸出量的變化速度和輸入量成正比。運(yùn)動(dòng)方程：傳遞函數(shù)：,例1：積分電路,輸入為r(t)，輸出為c(t)運(yùn)動(dòng)方程：傳遞函數(shù)：（T=R1C）,,4、慣性環(huán)節(jié)(又叫惰性環(huán)節(jié)),特點(diǎn)：此環(huán)節(jié)中含有一個(gè)獨(dú)立的儲(chǔ)能元件，以致對(duì)突變的輸入來(lái)說(shuō)，輸出不能立即復(fù)現(xiàn)，存在時(shí)間上的延遲。運(yùn)動(dòng)方程：傳遞函數(shù)：,RC充電電路,時(shí)間常數(shù)T＝RC，當(dāng)T小時(shí)，充電快,21,求單位階躍輸入的輸出響應(yīng)：,例：?jiǎn)稳菟郏ㄋ豢刂葡到y(tǒng)的被控對(duì)象）,5、振蕩環(huán)節(jié),特點(diǎn)：包含兩個(gè)獨(dú)立的儲(chǔ)能元件，當(dāng)輸入量發(fā)生變化時(shí)，兩個(gè)儲(chǔ)能元件的能量進(jìn)行交換，使輸出帶有振蕩的性質(zhì)。運(yùn)動(dòng)方程：傳遞函數(shù)：式中：?——阻尼比，T——振蕩環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)。,24,上述傳遞函數(shù)有兩種情況：,則,25,[分析]：y(t)的上升過(guò)程是振幅按指數(shù)曲線衰減的的正弦運(yùn)動(dòng)。與有關(guān)。反映系統(tǒng)的阻尼程度，稱為阻尼系數(shù)，稱為無(wú)阻尼振蕩圓頻率。當(dāng)時(shí)，曲線單調(diào)升，無(wú)振蕩。當(dāng)時(shí)，曲線衰減振蕩。越小，振蕩越厲害。,例1：RLC電路,解：消去中間變量i(t)得到運(yùn)動(dòng)方程：傳遞函數(shù)：,例2：機(jī)械裝置,輸入----------力：f(t)，輸出----------位移：x(t)。微分方程式中：K——彈簧彈性系數(shù)；M——物體的質(zhì)量，B——粘性摩擦系數(shù)。傳遞函數(shù)：,6、一階微分環(huán)節(jié),特點(diǎn)：此環(huán)節(jié)的輸出量不僅與輸入量本身有關(guān)，而且與輸入量的變化率有關(guān)運(yùn)動(dòng)方程：傳遞函數(shù)：G(s)=Ts+1,RC電路,一階微分環(huán)節(jié)可看成一個(gè)微分環(huán)節(jié)與一個(gè)比例環(huán)節(jié)的并聯(lián)，其傳遞函數(shù)和頻率特性是慣性環(huán)節(jié)的倒數(shù)。,7、二階微分環(huán)節(jié),特點(diǎn)：輸出與輸入及輸入一階、二階導(dǎo)數(shù)都有關(guān)運(yùn)動(dòng)方程：傳遞函數(shù)：可以看出，二階微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)是振蕩環(huán)節(jié)的倒數(shù)。,特點(diǎn)：c(t)完全復(fù)現(xiàn)r(t)，但滯后一個(gè)固定時(shí)間,8、延遲環(huán)節(jié)（時(shí)滯、滯后）,,在實(shí)際中，大量系統(tǒng)都存在滯后，當(dāng)滯后不嚴(yán)重時(shí)，常忽略。延遲環(huán)節(jié)是一個(gè)非線性的超越函數(shù)，所以有延遲的系統(tǒng)是很難分析和控制的。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，化簡(jiǎn)如下：,或,有純延遲的單容水槽,9、其他環(huán)節(jié)：還有一些環(huán)節(jié)如等，它們的極點(diǎn)在s平面的右半平面，我們以后會(huì)看到，這種環(huán)節(jié)是不穩(wěn)定的。稱為不穩(wěn)定環(huán)節(jié)。,34,右圖所示為電樞控制直流電動(dòng)機(jī)的微分方程，要求取電樞電壓Ua(t)(v)為輸入量，電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速ωm(t)(rad/s)為輸出量，列寫(xiě)微分方程。圖中Ra(Ω)、La(H)分別是電樞電路的電阻和電感，Mc(NM)是折合到電動(dòng)機(jī)軸上的總負(fù)載轉(zhuǎn)距。激磁磁通為常值。,,＋,實(shí)例：電樞控制直流伺服電動(dòng)機(jī),,35,解：電樞控制直流電動(dòng)機(jī)的工作實(shí)質(zhì)是將輸入的,電能轉(zhuǎn)換為機(jī)械能，也就是由輸入的電樞電壓Ua(t)在電樞回路中產(chǎn)生電樞電流ia(t)，再由電流ia(t)與激磁磁通相互作用產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)距Mm(t)，從而拖動(dòng)負(fù)載運(yùn)動(dòng)。因此，直流電動(dòng)機(jī)的運(yùn)動(dòng)方程可由以下三部分組成。電樞回路電壓平衡方程電磁轉(zhuǎn)距方程電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)距平衡方程,36,,①,Ea是電樞反電勢(shì)，它是當(dāng)電樞旋轉(zhuǎn)時(shí)產(chǎn)生的反電勢(shì)，其大小與激磁磁通及轉(zhuǎn)速成正比，方向與電樞電壓Ua(t)相反，即Ea=Ceωm(t)②Ce－反電勢(shì)系數(shù)(v/rad/s),電樞回路電壓平衡方程：,37,,③,④,-電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)距系數(shù)（Nm/A）是電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)距系數(shù),-是由電樞電流產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)距（Nm）,電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)距平衡方程：,fm-電動(dòng)機(jī)和負(fù)載折合到電動(dòng)機(jī)軸上的粘性摩擦系數(shù)（Nm/rad/s）,Jm－轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（電動(dòng)機(jī)和負(fù)載折合到電動(dòng)機(jī)軸上的）kgm,電磁轉(zhuǎn)距方程：,38,,,,,,,,,電動(dòng)機(jī)機(jī)電時(shí)間常數(shù)（s）,⑤,⑥,在工程應(yīng)用中，由于電樞電路電感La較小，通常忽略不計(jì)，因而⑤可簡(jiǎn)化為,③、④求出ia(t)，代入①同時(shí)②亦代入①得：,39,,可視為負(fù)載擾動(dòng)轉(zhuǎn)矩。根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，分別求,＝0,,由傳遞函數(shù)定義,,A令,B令,,,40,,,,,,同一個(gè)系統(tǒng)有多個(gè)傳遞函數(shù)注：輸入或輸出不一樣,小結(jié),（1）不同物理性質(zhì)的系統(tǒng)，可以有相同形式的傳遞函數(shù)。例如：前面介紹的振蕩環(huán)節(jié)中兩個(gè)例子，一個(gè)是機(jī)械系統(tǒng)，另一個(gè)是電氣系統(tǒng)，但傳遞函數(shù)的形式完全相同。（2）同一個(gè)系統(tǒng)，當(dāng)選取不同的輸入量、輸出量時(shí)，就可能得到不同形式的傳遞函數(shù)。例如：電容：輸入—電流，輸出—電壓，則是積分環(huán)節(jié)。反之，輸入—電壓，輸出—電流，則為微分環(huán)節(jié)。,