2019年高中數(shù)學(xué) 1.4 導(dǎo)數(shù)在實際生活中的應(yīng)用課后知能檢測 蘇教版選修2-2.doc

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2019年高中數(shù)學(xué) 1.4 導(dǎo)數(shù)在實際生活中的應(yīng)用課后知能檢測 蘇教版選修2-2 一、填空題 1．一質(zhì)點沿直線運動，如果由始點起經(jīng)過t秒后的距離為S＝t3－2t2，則速度為零的時刻是________秒末． 【解析】　S′＝4t2－4t，令S′＝0，得t＝0或t＝1， ∴速度為0的時刻是0秒末或1秒末． 【答案】　0或1 2．已知某矩形廣場面積為4萬平方米，則其周長至少為________米． 【解析】　設(shè)廣場的長為x米，則寬為米，于是其周長為y＝2(x＋)(x＞0)，所以y′＝2(1－)． 令y′＝0，得x＝200或x＝－200(舍去)， 當0＜x＜200時，y′＜0；當x＞200時，y′＞0. 故當x＝200時，y取得最小值800，即矩形廣場的周長至少為800米． 【答案】　800 3．要做一個圓錐形漏斗，其母線長為20 cm，要使其體積最大，則其高為________． 【解析】　設(shè)該漏斗的高為x cm，則底面半徑為 cm，其體積為V＝πx(202－x2)(0＜x＜20)，則V′＝π(400－3x2)．令V′＝0，解得x＝或x＝－(舍去)．當0＜x＜時，V′＞0； 當＜x＜20時，V′＜0，所以當x＝時，V取得最大值． 【答案】　 cm 4．某銀行準備新設(shè)一種定期存款業(yè)務(wù)，經(jīng)預(yù)測，存款量與存款利率的平方成正比，比例系數(shù)為k(k＞0)，貸款的利率為0.048，假設(shè)銀行吸收的存款能全部放貸出去．若存款利率為x(x∈(0，0.048))，則存款利率定為________時，銀行可獲得最大利潤． 【解析】　設(shè)利潤為y，則y＝kx2(0.048－x)＝0.048kx2－kx3，∴y′＝0.096kx－3kx2. 令y′＝0得x1＝0(舍去)，x2＝0.032. 【答案】　0.032 5．設(shè)底面為等邊三角形的直棱柱的體積為V，則其表面積最小時，底面邊長為________． 【解析】　設(shè)直棱柱的底面邊長為a，高為h， 依題意，a2h＝V，∴ah＝. 因此表面積S＝3ah＋2a2＝＋a2. ∴S′＝a－，由S′＝0，得a＝. 易知當a＝時，表面積S取得最小值． 【答案】　 6．某商場從生產(chǎn)廠家以每件20元購進一批商品，若該商品零售價定為p元，銷售量為Q，則銷售量Q(單位：件)與零售價p(單位：元)有如下關(guān)系：Q＝8 300－170p－p2.則最大毛利潤為________元．(毛利潤＝銷售收入－進貨支出) 【解析】　設(shè)毛利潤為L(p)，則題意知： L(p)＝pQ－20Q＝(8 300－170p－p2)(p－20) ＝－p3－150p2＋11 700p－166 000， 所以，L′(p)＝－3p2－300p＋11 700. 令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)． 此時，L(30)＝23 000. 因為在p＝30附近的左側(cè)L′(p)＞0，右側(cè)L′(p)＜0， 所以L(30)是極大值，根據(jù)實際問題的意義知，L(30)是最大值，即零售價定為每件30元時，最大毛利潤為23 000元． 【答案】　23 000 7．現(xiàn)有一批貨物由海上從A地運往B地，已知輪船的最大航行速度為35海里/時，A地至B地之間的航行距離約為500海里，每小時的運輸成本由燃料費和其余費用組成，輪船每小時的燃料費與輪船速度的平方成正比(比例系數(shù)為0.6)，其余費用為每小時960元．為了使全程運輸成本最小，輪船行駛速度應(yīng)為________海里/時． 【解析】　設(shè)輪船行駛速度為x海里/時，運輸成本為y元．依題意得y＝(960＋0.6x2)＝＋300x，x∈(0，35]． 則y′＝300－，x∈(0，35]． 又當0＜x≤35時，y′＜0， 所以y＝＋300x在(0，35]上單調(diào)遞減， 故當x＝35時，函數(shù)y＝＋300x取得最小值． 故為了使全程運輸成本最小，輪船應(yīng)以35海里/時的速度行駛． 【答案】　35 圖1－4－2 8．如圖1－4－2所示，將邊長為1的正六邊形鐵皮的六個角各切去一個全等的四邊形(其中一邊長為x)，再沿虛線折起，做成一個無蓋的正六棱柱容器．當這個正六棱柱容器的底面邊長為________時，其容積最大． 【解析】　由題意可知，正六棱柱的底面邊長為1－2x，高為xtan 60＝x，所以六棱柱的體積為V(x)＝6(1－2x)2x＝(4x3－4x2＋x)(00；當x∈(，)時，V′(x)<0，所以x＝時函數(shù)取得極大值，也是最大值． 此時正六棱柱的底面邊長為. 【答案】　 二、解答題 圖1－4－3 9．要做成一個截面為等腰梯形的水槽，下底長和腰都為a，如圖1－4－3，則斜角θ為多大時，水槽的流量最大？ 【解】　設(shè)橫截面面積為S，則S＝(AB＋ED)CD， AB＝a＋2acos θ，CD＝asin θ， S＝[a＋(a＋2acos θ)]asin θ ＝a2sin θ(1＋cos θ)(0＜θ＜)． 又S′＝a2(2cos2θ＋cos θ－1)， 令S′＝0，即a2(2cos2θ＋cos θ－1)＝0， 得cos θ＝或cos θ＝－1. 因為0＜θ＜，故cos θ≠－1，則cos θ＝，此時θ＝. 而0＜θ＜時，S′＞0；＜θ＜時，S′＜0. 故當θ＝時，橫截面的面積最大，此時，水槽的流量最大． 10．甲乙兩地相距400千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過100千米/小時，已知該汽車每小時的運輸成本P(元)關(guān)于速度v(千米/小時)的函數(shù)關(guān)系是P＝v4－v3＋15v， (1)求全程運輸成本Q(元)關(guān)于速度v的函數(shù)關(guān)系式； (2)為使全程運輸成本最少，汽車應(yīng)以多大速度行駛？并求此時運輸成本的最小值． 【解】　(1)Q＝P ＝(v4－v3＋15v) ＝(v3－v2＋15)400 ＝－v2＋6 000(0＜v≤100)． (2)Q′＝－5v， 令Q′＝0，則v＝0(舍去)或v＝80， 當0＜v＜80時，Q′＜0；當80＜v≤100時，Q′＞0. ∴當v＝80千米/小時時，全程運輸成本取得極小值， 又函數(shù)在(0，100]內(nèi)有惟一極小值，也就是最小值． 故運輸成本的最小值為Q(80)＝(元)． 11．某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米．余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩．經(jīng)測算，一個橋墩的工程費用為256萬元；距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為(2＋)x萬元．假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點，且不考慮其他因素．記余下工程費用為y萬元． (1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式； (2)當m＝640米時，需新建多少個橋墩才能使y最??？ 【解】　(1)設(shè)需新建n個橋墩，則(n＋1)x＝m， ∴n＝－1， 所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x ＝256(－1)＋(2＋)x ＝＋m＋2m－256. (2)由(1)知，f′(x)＝－＋mx－ ＝(x－512)． 令f′(x)＝0，得x＝512，所以x＝64. 當00，f(x)在區(qū)間(64，640)內(nèi)為增函數(shù)，所以f(x)在x＝64處取得最小值，此時n＝－1＝－1＝9. 故需新建9個橋墩才能使y最?。?