2019-2020年高中數(shù)學(xué)《任意角和弧度制》教案2新人教A版必修4.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《任意角和弧度制》教案2新人教A版必修4 知識網(wǎng)絡(luò)圖 學(xué)習(xí)重難點： 重點： 任意角的概念，象限角的概念。 難點： 把終邊相同的角用集合和符號語言正確地表示出來。 關(guān)鍵： 運用數(shù)形結(jié)合的思想來認(rèn)識角的幾何表示和終邊相同的角的集合。 學(xué)習(xí)要求： 理解任意角的概念，學(xué)會在平面內(nèi)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系來討論任意角；能在0～360范圍內(nèi)找出與此范圍外每一個已知角終邊相同的角，并判定其為第幾象限角；能寫出與任一已知角終邊相同的角的集合。 本節(jié)內(nèi)容，雖然在歷屆高考中沒有單獨命題，但本節(jié)內(nèi)容卻常常與其它知識相結(jié)合出現(xiàn)在高考試題中，另外本節(jié)內(nèi)容十分重要，它是學(xué)好后續(xù)章節(jié)的基礎(chǔ)，必須認(rèn)真學(xué)好 1．象限角定義的前提 角的頂點為原點，角的始邊與x軸正半軸重合。 2．與角α終邊相同的角的表示式 β＝k360＋α，k∈Z，要注意k、α的取值范圍；任意角的表示形式不惟一，要根據(jù)題意中角的范圍，具體處理。 一、角的概念推廣的必要性 過去我們學(xué)習(xí)了0～360范圍的角，但在生活、生產(chǎn)和科學(xué)實驗的實踐中還會遇到其它角。如在體操、花樣滑冰、跳臺跳水比賽中，常常聽到“轉(zhuǎn)體三周”（即“轉(zhuǎn)體1080”）、“轉(zhuǎn)體三周半”（即“轉(zhuǎn)體1260”）這樣的解說。還如我們騎的自行車，自行車的車輪按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周的過程中，其中一根輻條轉(zhuǎn)動了0～360的所有角；在車輪繼續(xù)轉(zhuǎn)第二周的過程中，那根輻條就轉(zhuǎn)過了360～720的所有角。再如鐘表的指針、擰動螺絲的扳手、機器上的輪盤，它們按照不同方向旋轉(zhuǎn)所成的角都不僅是0～360范圍內(nèi)的角，……。為了研究它們的運動規(guī)律，我們有必要將角的概念進(jìn)行推廣。 二、任意角的概念 角可以看成由一條射線繞著端點從一個位置轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形。旋轉(zhuǎn)開始時的射線OA叫做角α的始邊；旋轉(zhuǎn)終止時的射線OB叫做角α的終邊；射線的端點O叫做角α的頂點。如圖。 掌握角的概念應(yīng)注意角的三要素：頂點、始邊、終邊。角可以是任意大小的。 任意角包括正角、負(fù)角和零角。 三、正角、負(fù)角、零角 按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角，按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角，如果一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，就稱它形成了一個零角，零角的始邊和終邊重合 正確理解正角、負(fù)角、零角的概念，由定義可知，關(guān)鍵是抓住終邊的旋轉(zhuǎn)方向是逆時針、順時針還是沒有轉(zhuǎn)動。 四、象限角、軸線角 象限角的定義 角的頂點在原點，始邊在x軸的正半軸上，角的終邊（除端點外）在第幾象限，就說這個角是第幾象限角，并且稱它為象限角。這里強調(diào)以“角的頂點在原點，始邊在x軸的非負(fù)半軸”為前提，否則就不能從終邊的位置來判斷某角屬于第幾象限。 比如60，420，－300都是第一象限角；120，480，－240都是第二象限角；210，570，－150都是第三象限角；300，660，－60都是第四象限角。 如果角的頂點不與坐標(biāo)原點重合，或者角的始邊不與x軸非負(fù)半軸重合，則不能判斷角在哪一個象限，也就是它不能稱做象限角 象限角的集合 第一象限角集合為 。 第二象限角集合為 。 第三象限角集合為 。 第四象限角集合為 。 象限角的集合的表示形式并不唯一，也還有其它的表示形式。 軸線角的定義 角的頂點在原點，始邊在x軸的正半軸上，如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就稱這個角為軸線角，它不屬于任一象限。 比如0，90，180，270，360，－90，－180，－270，－360，－1080等都是軸線角。 軸線角的集合 終邊落在x軸的非負(fù)半軸上，角的集合為 。 終邊落在x軸的非正半軸上，角的集合為 。 終邊落在x軸上，角的集合為 。 終邊落在y軸的非負(fù)半軸上，角的集合為 。 終邊落在y軸的非正半軸上，角的集合為 。 終邊落在y軸上，角的集合為 。 五、終邊相同的角 所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合Ｓ＝｛β｜β＝α＋k360，k∈Ｚ｝，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和。 這里應(yīng)明確： k是整數(shù)； α是任意角； k360與α之間是“＋”號。如k360－30應(yīng)看成k360＋（－30）（k∈Ｚ）； 終邊相同的角不一定相等，但相等的角，終邊一定相等； 終邊相同的角有無數(shù)多個，它們相差360的整數(shù)倍。 六、準(zhǔn)確區(qū)分“0～90間的角”、“第一象限的角”、“銳角”和“小于90的角” 要正確理解“0～90間的角”、“第一象限的角”、“銳角”和“小于90的角”，這里應(yīng)明確“0～90間的角”指的是一個前閉后開的區(qū)間0≤θ＜90，后面三種角的集合可分別表示為{θ|k360＜θ＜k360＋90}，{θ|0＜θ＜90}，{θ|θ＜90}。 下列各命題正確的是（　?。? A．終邊相同的角一定相等　　B．第一象限角都是銳角 C．銳角都是第一象限角　　　D．小于90的角都是銳角 分析1：可根據(jù)各種角的定義，利用排除法予以解答； 解答：對于A，－60和300是終邊相同的角，它們并不相等，∴應(yīng)排除A。 對于B，390是第一象限角，可它不是銳角，∴應(yīng)排除B。 對于D，－60是小于90的角，但它不是銳角，∴應(yīng)排除D。 綜上，∴　應(yīng)選C。 小結(jié)：要想否定一個命題，只須舉出一個反例即可，本解法就是恰當(dāng)?shù)嘏e出反例，將A、B、D三個選項予以排除，從而確定選項C。 分析2：可根據(jù)銳角和第一象限角的定義，利用定義直接判斷。 解答：∵　銳角的集合是 ?！　　　　　　　　　　?　　① 第一象限角的集合是 。　　?、? 對于②當(dāng)k＝0時，②與①相同。 ∴ 銳角是第一象限角。 ∴ 應(yīng)選C。 例題若90＜β＜α＜135，則α－β的范圍是_______，α＋β的范圍是_______。 解答：∵ 90＜β＜α＜135， 則有　90＜α＜135，　　　　?、? 90＜β＜135，　　　　?、? 0＜α－β，　　　　　　?、? －135＜－β＜－90?！　、? 由①、④、③得　　0＜α－β＜45， 由①、②得　　180＜α＋β＜270。 小結(jié)：在給定角的范圍的條件下，求兩角和、差，可利用不等式性質(zhì)、在正角、零角、負(fù)角范圍內(nèi)施行。 例題已知角α，β的終邊相同，那么α－β的終邊在（　　） A．x軸的非負(fù)半軸上　　　B．y軸的非負(fù)半軸上 C．x軸的非正半軸上　　　D．y軸的非正半軸上 分析：將角α、β按終邊相同角公式寫出，然后作差α－β，對其研究即可作出判斷。 解答：∵　角α、β終邊相同， ∴　α＝k360＋β，k∈Z。 作差α－β＝k360＋β－β＝k360，k∈Z， ∴　α－β的終邊在x軸的非負(fù)半軸上。 ∴　應(yīng)選A。 例題 若α是第一象限角，求 是第幾象限角。 解答∵　α是第一象限角，所以k360＜α＜k360＋90，k∈Z， ∴　 ，k∈Z。 1)當(dāng)k＝3n時，則有 ，n∈Z ∴　 是第一象限角。 2)當(dāng)k＝3n＋1時， ，n∈Z ∴ 為第二象限角。 3)當(dāng)k＝3n＋2時， ，n∈Z ∴ 為第三象限角。 綜上，知 為第一、二、三象限角 小結(jié)：將k分為3n，3n＋1，3n＋2三種情況分別判斷之。 例題 若將時鐘撥慢5分鐘，則分針轉(zhuǎn)了_______度；時針轉(zhuǎn)了_______度。 解答：將時鐘撥慢了5分鐘，分針、時針都是按逆時針方向轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)過的是正角。 這時，分針轉(zhuǎn)過的角度是： ； 時針轉(zhuǎn)過的角度是： 。 ∴ 應(yīng)填：30；2.5