2019-2020年高中數(shù)學《任意角和弧度制》教案2新人教A版必修4.doc

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2019-2020年高中數(shù)學《任意角和弧度制》教案2新人教A版必修4 知識網(wǎng)絡圖 學習重難點： 重點： 任意角的概念，象限角的概念。 難點： 把終邊相同的角用集合和符號語言正確地表示出來。 關鍵： 運用數(shù)形結合的思想來認識角的幾何表示和終邊相同的角的集合。 學習要求： 理解任意角的概念，學會在平面內建立適當?shù)淖鴺讼祦碛懻撊我饨?；能?～360范圍內找出與此范圍外每一個已知角終邊相同的角，并判定其為第幾象限角；能寫出與任一已知角終邊相同的角的集合。 本節(jié)內容，雖然在歷屆高考中沒有單獨命題，但本節(jié)內容卻常常與其它知識相結合出現(xiàn)在高考試題中，另外本節(jié)內容十分重要，它是學好后續(xù)章節(jié)的基礎，必須認真學好 1．象限角定義的前提 角的頂點為原點，角的始邊與x軸正半軸重合。 2．與角α終邊相同的角的表示式 β＝k360＋α，k∈Z，要注意k、α的取值范圍；任意角的表示形式不惟一，要根據(jù)題意中角的范圍，具體處理。 一、角的概念推廣的必要性 過去我們學習了0～360范圍的角，但在生活、生產(chǎn)和科學實驗的實踐中還會遇到其它角。如在體操、花樣滑冰、跳臺跳水比賽中，常常聽到“轉體三周”（即“轉體1080”）、“轉體三周半”（即“轉體1260”）這樣的解說。還如我們騎的自行車，自行車的車輪按逆時針方向旋轉一周的過程中，其中一根輻條轉動了0～360的所有角；在車輪繼續(xù)轉第二周的過程中，那根輻條就轉過了360～720的所有角。再如鐘表的指針、擰動螺絲的扳手、機器上的輪盤，它們按照不同方向旋轉所成的角都不僅是0～360范圍內的角，……。為了研究它們的運動規(guī)律，我們有必要將角的概念進行推廣。 二、任意角的概念 角可以看成由一條射線繞著端點從一個位置轉到另一個位置所成的圖形。旋轉開始時的射線OA叫做角α的始邊；旋轉終止時的射線OB叫做角α的終邊；射線的端點O叫做角α的頂點。如圖。 掌握角的概念應注意角的三要素：頂點、始邊、終邊。角可以是任意大小的。 任意角包括正角、負角和零角。 三、正角、負角、零角 按逆時針方向旋轉形成的角叫做正角，按順時針方向旋轉形成的角叫做負角，如果一條射線沒有作任何旋轉，就稱它形成了一個零角，零角的始邊和終邊重合 正確理解正角、負角、零角的概念，由定義可知，關鍵是抓住終邊的旋轉方向是逆時針、順時針還是沒有轉動。 四、象限角、軸線角 象限角的定義 角的頂點在原點，始邊在x軸的正半軸上，角的終邊（除端點外）在第幾象限，就說這個角是第幾象限角，并且稱它為象限角。這里強調以“角的頂點在原點，始邊在x軸的非負半軸”為前提，否則就不能從終邊的位置來判斷某角屬于第幾象限。 比如60，420，－300都是第一象限角；120，480，－240都是第二象限角；210，570，－150都是第三象限角；300，660，－60都是第四象限角。 如果角的頂點不與坐標原點重合，或者角的始邊不與x軸非負半軸重合，則不能判斷角在哪一個象限，也就是它不能稱做象限角 象限角的集合 第一象限角集合為 。 第二象限角集合為 。 第三象限角集合為 。 第四象限角集合為 。 象限角的集合的表示形式并不唯一，也還有其它的表示形式。 軸線角的定義 角的頂點在原點，始邊在x軸的正半軸上，如果角的終邊在坐標軸上，就稱這個角為軸線角，它不屬于任一象限。 比如0，90，180，270，360，－90，－180，－270，－360，－1080等都是軸線角。 軸線角的集合 終邊落在x軸的非負半軸上，角的集合為 。 終邊落在x軸的非正半軸上，角的集合為 。 終邊落在x軸上，角的集合為 。 終邊落在y軸的非負半軸上，角的集合為 。 終邊落在y軸的非正半軸上，角的集合為 。 終邊落在y軸上，角的集合為 。 五、終邊相同的角 所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合Ｓ＝｛β｜β＝α＋k360，k∈Ｚ｝，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和。 這里應明確： k是整數(shù)； α是任意角； k360與α之間是“＋”號。如k360－30應看成k360＋（－30）（k∈Ｚ）； 終邊相同的角不一定相等，但相等的角，終邊一定相等； 終邊相同的角有無數(shù)多個，它們相差360的整數(shù)倍。 六、準確區(qū)分“0～90間的角”、“第一象限的角”、“銳角”和“小于90的角” 要正確理解“0～90間的角”、“第一象限的角”、“銳角”和“小于90的角”，這里應明確“0～90間的角”指的是一個前閉后開的區(qū)間0≤θ＜90，后面三種角的集合可分別表示為{θ|k360＜θ＜k360＋90}，{θ|0＜θ＜90}，{θ|θ＜90}。 下列各命題正確的是（　?。? A．終邊相同的角一定相等　　B．第一象限角都是銳角 C．銳角都是第一象限角　　　D．小于90的角都是銳角 分析1：可根據(jù)各種角的定義，利用排除法予以解答； 解答：對于A，－60和300是終邊相同的角，它們并不相等，∴應排除A。 對于B，390是第一象限角，可它不是銳角，∴應排除B。 對于D，－60是小于90的角，但它不是銳角，∴應排除D。 綜上，∴　應選C。 小結：要想否定一個命題，只須舉出一個反例即可，本解法就是恰當?shù)嘏e出反例，將A、B、D三個選項予以排除，從而確定選項C。 分析2：可根據(jù)銳角和第一象限角的定義，利用定義直接判斷。 解答：∵　銳角的集合是 。　　　　　　　　　　　 　?、? 第一象限角的集合是 ?！　　、? 對于②當k＝0時，②與①相同。 ∴ 銳角是第一象限角。 ∴ 應選C。 例題若90＜β＜α＜135，則α－β的范圍是_______，α＋β的范圍是_______。 解答：∵ 90＜β＜α＜135， 則有　90＜α＜135，　　　　?、? 90＜β＜135，　　　　?、? 0＜α－β，　　　　　　?、? －135＜－β＜－90?！　、? 由①、④、③得　　0＜α－β＜45， 由①、②得　　180＜α＋β＜270。 小結：在給定角的范圍的條件下，求兩角和、差，可利用不等式性質、在正角、零角、負角范圍內施行。 例題已知角α，β的終邊相同，那么α－β的終邊在（　?。? A．x軸的非負半軸上　　　B．y軸的非負半軸上 C．x軸的非正半軸上　　　D．y軸的非正半軸上 分析：將角α、β按終邊相同角公式寫出，然后作差α－β，對其研究即可作出判斷。 解答：∵　角α、β終邊相同， ∴　α＝k360＋β，k∈Z。 作差α－β＝k360＋β－β＝k360，k∈Z， ∴　α－β的終邊在x軸的非負半軸上。 ∴　應選A。 例題 若α是第一象限角，求 是第幾象限角。 解答∵　α是第一象限角，所以k360＜α＜k360＋90，k∈Z， ∴　 ，k∈Z。 1)當k＝3n時，則有 ，n∈Z ∴　 是第一象限角。 2)當k＝3n＋1時， ，n∈Z ∴ 為第二象限角。 3)當k＝3n＋2時， ，n∈Z ∴ 為第三象限角。 綜上，知 為第一、二、三象限角 小結：將k分為3n，3n＋1，3n＋2三種情況分別判斷之。 例題 若將時鐘撥慢5分鐘，則分針轉了_______度；時針轉了_______度。 解答：將時鐘撥慢了5分鐘，分針、時針都是按逆時針方向轉動，轉過的是正角。 這時，分針轉過的角度是： ； 時針轉過的角度是： 。 ∴ 應填：30；2.5