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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明單元測(cè)試 新人教A版選修1-2
一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1．有如下一段演繹推理：“有些有理數(shù)是真分?jǐn)?shù)，整數(shù)是有理數(shù)，則整數(shù)是真分?jǐn)?shù)”，這個(gè)推理的結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，是因?yàn)? )
A．大前提錯(cuò)誤 B．小前提錯(cuò)誤
C．推理形式錯(cuò)誤 D．非以上錯(cuò)誤
[答案] C
[解析] 推理形式不完全符合三段論推理的要求，故推出的結(jié)論是錯(cuò)誤的．
2．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通過(guò)計(jì)算a2、a3、a4，猜想an＝( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 考查歸納推理．
a2＝S2－S1＝22a2－1∴a2＝
a3＝S3－S2＝32a3－22a2＝9a3－4
∴a3＝
a4＝S4－S3＝42a4－32a3＝16a4－9
∴a4＝
由此猜想an＝
3．觀察數(shù)列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…的特點(diǎn)，問(wèn)第100項(xiàng)為( )
A．10 B．14
C．13 D．100
[答案] B
[解析] 設(shè)n∈N*，則數(shù)字n共有n個(gè)
所以≤100即n(n＋1)≤200，
又因?yàn)閚∈N*，所以n＝13，到第13個(gè)13時(shí)共有＝91項(xiàng)，從第92項(xiàng)開(kāi)始為14，故第100項(xiàng)為14.
4．如果x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0與x軸相切于原點(diǎn)，那么( )
A．F＝0，D≠0，E≠0 B．E＝0，F(xiàn)＝0，D≠0
C．D＝0，F(xiàn)＝0，E≠0 D．D＝0，E＝0，F(xiàn)≠0
[答案] C
[解析] ∵圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0與x軸相切于原點(diǎn)，
∴圓過(guò)原點(diǎn)，F(xiàn)＝0，又圓心在y軸上，∴D＝0，E≠0.
5．已知a
0,4－b>4，∴a<4－b.
6．已知f1(x)＝cosx，f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，f4(x)＝f3′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)，則fxx(x)等于( )
A．sinx B．－sinx
C．cosx D．－cosx
[答案] D
[解析] 由已知，有f1(x)＝cosx，f2(x)＝－sinx，f3(x)＝－cosx，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，…，可以歸納出：
f4n(x)＝sinx，f4n＋1(x)＝cosx，f4n＋2(x)＝－sinx，f4n＋3(x)＝－cosx(n∈N*)．所以fxx(x)＝f3(x)＝－cosx.
7．已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，則a20等于( )
A．0 B．－
C. D.
[答案] B
[解析] a2＝＝－，a3＝＝，a4＝0，所以此數(shù)列具有周期性，0，－，依次重復(fù)出現(xiàn)．
因?yàn)?0＝36＋2，所以a20＝－.
8．已知1＋23＋332＋432＋…＋n3n－1＝3n(na－b)＋c對(duì)一切n∈N*都成立，那么a，b，c的值為( )
A．a(chǎn)＝，b＝c＝
B．a(chǎn)＝b＝c＝
C．a(chǎn)＝0，b＝c＝
D．不存在這樣的a，b，c
[答案] A
[解析] 令n＝1,2,3，得
所以a＝，b＝c＝.
9．已知f(x)＝x3＋x，a，b，c∈R，且a＋b>0，a＋c>0，b＋c>0，則f(a)＋f(b)＋f(c)的值( )
A．一定大于零 B．一定等于零
C．一定小于零 D．正負(fù)都有可能
[答案] A
[解析] f(x)＝x3＋x是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)，
由a＋b>0得a>－b，
所以f(a)>f(－b)，即f(a)＋f(b)>0，
同理f(a)＋f(c)>0，f(b)＋f(c)>0，所以f(a)＋f(b)＋f(c)>0.
10．用反證法證明命題“若整數(shù)系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a、b、c中至少有一個(gè)是偶數(shù)”，下列各假設(shè)中正確的是( )
A．假設(shè)a，b，c都是偶數(shù)
B．假設(shè)a，b，c都不是偶數(shù)
C．假設(shè)a，b，c中至多有一個(gè)是偶數(shù)
D．假設(shè)a，b，c中至多有兩個(gè)偶數(shù)
[答案] B
[解析] 對(duì)命題的結(jié)論“a，b，c中至少有一個(gè)是偶數(shù)”進(jìn)行否定假設(shè)應(yīng)是“假設(shè)a，b，c都不是偶數(shù)”．因?yàn)椤爸辽儆幸粋€(gè)”即有一個(gè)、兩個(gè)或三個(gè)，因此它的否定應(yīng)是“都不是”．
11．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝(n∈N*)，記f(n)＝(1－a1)(1－a2)(1－a3)…(1－an)，通過(guò)計(jì)算f(1)、f(2)、f(3)、f(4)的值，由此猜想f(n)＝( )
A. B.
C. D.
[答案] A
12．若＝＝，則△ABC是( )
A．等邊三角形
B．有一個(gè)內(nèi)角是30的直角三角形
C．等腰直角三角形
D．有一個(gè)內(nèi)角是30的等腰三角形
[答案] C
[解析] ∵＝＝，由正弦定理得，
＝＝，∴＝＝＝，
∴sinB＝cosB，sinC＝cosC，∴∠B＝∠C＝45，
∴△ABC是等腰直角三角形．
二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題4分，共16分，將正確答案填在題中橫線上)
13．對(duì)于“求證函數(shù)f(x)＝－x3在R上是減函數(shù)”，用“三段論”可表示為：大前提是“對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)f(x)，若對(duì)任意x1，x2∈D且x2－x1>0，有f(x2)－f(x1)<0，則函數(shù)f(x)在D上是減函數(shù)”，小前提是“
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________”，結(jié)論是“f(x)＝－x3在 R上是減函數(shù)”．
[答案] 對(duì)于任意x1，x2∈R且x2－x1>0，有f(x2)－f(x1)＝－x＋x＝－(x2－x1)(x＋x1x2＋x)＝－(x2－x1)<0
14．在△ABC中，D為邊BC的中點(diǎn)，則＝(＋)．將上述命題類比到四面體中去，得到一個(gè)類比命題：
________________________________________________________________________.
[答案] 在四面體A－BCD中，G為△BCD的重心，則＝(＋＋)
15．已知數(shù)列{an}，a1＝，an＋1＝，則a2、a3、a4、a5分別為_(kāi)_______，猜想an＝________.
[答案] ，，，，.
16．已知函數(shù)f(x)＝x2－cosx，對(duì)于上的任意x1，x2，有如下條件：
①x1>x2；②x>x；③|x1|>x2.
其中能使f(x1)>f(x2)恒成立的條件序號(hào)是______．
[答案] ②
[解析] 易知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，故能使f(x1)>f(x2)恒成立的條件只有②x>x.
三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共74分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)
17．(本題滿分12分)已知：a、b、c∈R，且a＋b＋c＝1.
求證：a2＋b2＋c2≥.
[解析] 證明：由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca.
三式相加得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
∴3(a2＋b2＋c2)≥(a2＋b2＋c2)＋2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b＋c)2.
由a＋b＋c＝1，得3(a2＋b2＋c2)≥1，
即a2＋b2＋c2≥.
18．(本題滿分12分)設(shè){an}，{bn}是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，若cn＝an＋bn，請(qǐng)證明數(shù)列{cn}不是等比數(shù)列．
[證明] 假設(shè)數(shù)列{cn}是等比數(shù)列，則
(an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)(an＋1＋bn＋1)．①
因?yàn)閧an}，{bn}是等比數(shù)列，設(shè)公比分別為p，q，則有
a＝an－1an＋1，b＝bn－1bn＋1.②
整理①式，并將②代入得
2anbn＝an＋1bn－1＋an－1bn＋1.
所以2anbn＝anp＋bnq，即2＝＋.
因?yàn)閜≠q，所以＋≠2，得出矛盾，所以假設(shè)不成立．
故數(shù)列{cn}不是等比數(shù)列．
19．(本題滿分12分)若x>0，y>0，用分析法證明：(x2＋y2)>(x3＋y3).
[證明] 要證(x2＋y2)>(x3＋y3)，
只需證(x2＋y2)3>(x3＋y3)2，
即證x6＋3x4y2＋3x2y4＋y6>x6＋2x3y3＋y6，
即證3x4y2＋3y4x2>2x3y3.
又因?yàn)閤>0，y>0，所以x2y2>0，
故只需證3x2＋3y2>2xy.
而3x2＋3y2>x2＋y2≥2xy成立，
所以(x2＋y2)>(x3＋y3)成立．
20．(本題滿分12分)證明下列等式，并從中歸納出一個(gè)一般性的結(jié)論．
2cos＝，
2cos＝，
2cos＝，
……
[證明] 2cos＝2＝
2cos＝2
＝2＝
2cos＝2
＝2
＝
…
2cos＝
21．(本題滿分12分)已知數(shù)列{an}滿足a1＝3，anan－1＝2an－1－1.
(1)求a2，a3，a4；
(2)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
[解析] (1)由anan－1＝2an－1－1得
an＝2－，
代入a1＝3，n依次取值2,3,4，得
a2＝2－＝，a3＝2－＝，a4＝2－＝.
(2)證明：由anan－1＝2an－1－1變形，得
(an－1)(an－1－1)＝－(an－1)＋(an－1－1)，
即－＝1，
所以{}是等差數(shù)列．
由＝，所以＝＋n－1，變形得an－1＝，
所以an＝為數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
22．(本題滿分14分)已知函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)a、b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>1.
(1)求證：f(x)是R上的增函數(shù)．
(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)<3.
[解析] (1)證明：設(shè)任意x1，x2∈R，且x2>x1，
則有x2－x1>0，利用已知條件“當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>1”得f(x2－x1)>1，
而f(x2)－f(x1)
＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)
＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)
＝f(x2－x1)－1>0，
即f(x2)>f(x1)，
所以f(x)是R上的增函數(shù)．
(2)由于f(4)＝f(2)＋f(2)－1＝5，所以f(2)＝3.
由f(3m2－m－2)<3得f(3m2－m－2)
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