用匈牙利算法解決相親類型問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型.doc

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關(guān)于玫瑰有約的數(shù)學(xué)模型 摘要：現(xiàn)在城市大齡青年的婚姻問(wèn)題收起了社會(huì)的廣泛關(guān)注，針對(duì)這一社會(huì)現(xiàn)象，我們假設(shè)某單位有20對(duì)大齡青年男女，每個(gè)人的基本條件都不相同，并且每個(gè)人的擇偶條件也不相同。該單位的婦聯(lián)組織擬根據(jù)他們的年齡，基本條件和要求條件牽線搭橋。本文根據(jù)每個(gè)人的情況和要求，建立數(shù)學(xué)模型幫助婦聯(lián)解決3個(gè)問(wèn)題。 關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)模型；滿意度；匈牙利算法；KM算法 The mathematical model about making an appointment for life Li wei (Department of Mathematics and Computational Science Hunan University of Science and Engineering,Yongzhou,425100,Hunan） Abstract: Nowadays, the problem of the young’s marriage has roused more and more public’s concern. According to this phenomenon, we assume that there are twenty pairs of aged people in a company, all of which have different basic condition and their demanding。The Women's Federation of this company wants to wire-pull for them on the basis of their age, basic condition and demand. This paper, according to everyone’s condition and demands, helps the Women's Federation solving this problem. Key words: mathematical model; the measurement of satisfaction; Hungary algorithm; KM algorithm; 1.引言 現(xiàn)在在城市大齡青年的婚姻問(wèn)題引起了社會(huì)的廣泛關(guān)注，針對(duì)這一現(xiàn)象，我們給出20對(duì)青年男女的基本條件和擇偶條件的抽樣是真實(shí)可靠的。首先，我們將所給的兩個(gè)表格按年齡升序重新進(jìn)行排列，分別編號(hào)為1，2，3……20。并且將外貌、性格、氣質(zhì)、事業(yè)、財(cái)富五個(gè)方面的五個(gè)等級(jí)A、B、C、D、E分別賦值為5、4、3、2、1，這樣我們就得到了男女青年的基本條件和要求條件的四個(gè)矩陣；其次，我們定義了“滿意度”的概念，利用圖論（二部圖）的方法解決這個(gè)問(wèn)題。 在模型中，根據(jù)男青年的基本條件和女青年的要求條件構(gòu)造度量矩陣（權(quán)值矩陣）A，男1號(hào)的基本條件和女1號(hào)的要求條件，比如在外貌方面，男1號(hào)滿足女1號(hào)的要求則賦值為5-3+1，在事業(yè)方面，男1號(hào)不滿足女1號(hào)的要求，則賦值為0，按照這個(gè)方法，如果滿足條件則按公式（男青年基本條件值-女青年相應(yīng)的要求條件+1）賦值，反之賦值為0，這樣可以得到外貌，性格，氣質(zhì)，事業(yè)，財(cái)富五個(gè)方面的數(shù)值，并將這些數(shù)值相加得到，最終得到權(quán)值矩陣T=（）2020，同理可得，女青年的基本條件和男青年的要求條件所構(gòu)成的權(quán)值矩陣S=()2020，那么男女青年配對(duì)的總權(quán)值矩陣（即為滿意度矩陣）為R1=T+S，（因?yàn)楸硎灸衖號(hào)的基本條件對(duì)j號(hào)的要求條件，表示女j號(hào)的基本條件對(duì)男i號(hào)的要求條件，那么用+ 表示男i號(hào)對(duì)女j號(hào)的總權(quán)數(shù)即為他們之間的滿意度）：再次，我們根據(jù)年齡的限制在矩陣R1中將不滿足條件的賦0，得到矩陣R，利用匈牙利算法可得到問(wèn)題（1）的結(jié)果。再在矩陣R中將大于2的數(shù)字賦1反之賦0，再利用KM算法可得問(wèn)題（2）的結(jié)果。 由于以上的模型在構(gòu)造權(quán)值矩陣R時(shí)，男青年基本條件不滿足女青年要求條件時(shí)賦值為0，實(shí)際上還存在男女青年的失望度，故在模型改進(jìn)中針對(duì)失望度將模型中賦值為0的另外賦值為（女青年要求條件值–男青年相應(yīng)的基本條件值）即考慮到可能單向面的滿意度較大而另一方面的失望度也較大時(shí)同樣不能配對(duì)成功，且在把模型無(wú)向化時(shí)是采用把每個(gè)結(jié)點(diǎn)分成兩個(gè)結(jié)點(diǎn)的方法即把有向的平行邊分成各自帶自己權(quán)的無(wú)向邊，同時(shí)在此模型中將初等模型中的五個(gè)等級(jí)A、B、C、D、E量化為9、7、5、3、1（由于模型中的賦值尺度比較粗糙），其余的步驟與模型相同，從而得到了模型改進(jìn)。 2.問(wèn)題的提出 目前，在許多城市大齡青年的婚姻問(wèn)題已引起了婦聯(lián)和社會(huì)團(tuán)體組織的關(guān)注。某單位現(xiàn)在有20對(duì)大齡青年男女，每個(gè)人的基本條件都不相同，如外貌、性格、氣質(zhì)、事業(yè)、財(cái)富等。每項(xiàng)條件通?？梢苑譃槲鍌€(gè)等級(jí)A、B、C、D、E，如外貌、性格、氣質(zhì)、事業(yè)可分為很好、好、較好、一般、差；財(cái)富可以分為很多、多、較多、一般、少。每個(gè)人的擇偶條件也不盡相同，即對(duì)每項(xiàng)基本條件的要求是不同的。該單位的婦聯(lián)組織擬根據(jù)他（她）們的年齡、基本條件和要求條件進(jìn)行牽線搭橋。下面給出20對(duì)大齡青年男女的年齡、基本條件和要求條件（如下表）。一般認(rèn)為，男青年至多比女青年的年齡大5歲，或女青年的年齡比男青 年的大2歲，并且要至少滿足個(gè)人要求5項(xiàng)條件中的2項(xiàng)，才有可能配對(duì)成功。本文根據(jù)每個(gè)人的情況要求，建立數(shù)學(xué)模型幫助婦聯(lián)解決如下問(wèn)題： (1)給出可能的配對(duì)方案，使得在盡量滿足個(gè)人要求的條件下，使得配對(duì)成功率盡可能的高。 (2)給出一種20對(duì)男女青年可同時(shí)配對(duì)的最佳方案，使得全部配對(duì)成功的可能性最大。 (3)假設(shè)男女雙方都相互了解了對(duì)方的條件和要求，讓每一個(gè)人出一次選擇，只有當(dāng)男女雙方相互選中對(duì)方時(shí)才認(rèn)為配對(duì)成功，每一個(gè)人只有一次選擇機(jī)會(huì)。怎樣告訴20對(duì)男女青年都應(yīng)該如何做出選擇，使得自己的成功的可能性最大？選擇的方案最多能配對(duì)成功多少對(duì)？ 男 青 年 基本條件 要求條件 外 貌 性格 氣質(zhì) 事業(yè) 財(cái)富 年 齡 外 貌 性格 氣質(zhì) 事業(yè) 財(cái)富 A C B C A 29 A A C B D C A B A D 29 B A B B C B B A B B 28 B A A B C C A B B D 28 C A B C D D B C A A 30 C B B B E C B C B B 28 B B C D C A B B D C 30 C B B D C B A B C D 30 A B C C D A D C E B 28 A A A C C D B A A A 28 A B A D E B A C D A 32 A B C D B A B C A B 29 B A B B C B A D E C 28 A C B B C A A B B D 30 A C C D C A B B C C 28 A A B C D D E B A A 30 A A A E E C A B A D 28 A A A E E A B A C B 31 B B A C C C D A A A 29 A B A E D A B C D E 27 B C B D B 女 青 年 基 本 條 件 要 求 條 件 外貌 性格 氣質(zhì) 事業(yè) 財(cái)富 年齡 外貌 性格 氣質(zhì) 事業(yè) 財(cái)富 A C C D A 28 B A B A D B A B A D 25 C B B A B C B A E A 26 B A C B C A B B C D 27 A A B B A B D C E C 25 A B C B B A C B C A 26 B A B B C D C B A B 30 C B A A C A B A E C 31 B A B A B A A A C E 26 C B B B A B C D B B 27 B B A A C A B B C B 28 C B A B C B E C E A 26 A A B B E E A C B B 26 C A B C C B B C A A 25 B A A B D C B A A C 29 B A B B B B A C D C 28 B A B B A A E E D A 25 A A D A C A A B B C 28 C A B A C B A C C E 25 B B B A A D B A C D 29 B B A B B 注：表中的要求條件一般是指不低于所給的條件。 為了方便后面的計(jì)算，我們按年齡升序重新對(duì)上述兩個(gè)表格進(jìn)行排列并且編號(hào)： 男 青 年 基 本 條 件 要 求 條 件 外貌 性格 氣質(zhì) 事業(yè) 財(cái)富 年齡 外貌 性格 氣質(zhì) 事業(yè) 財(cái)富 1 A B C D E 27 B C B D B 2 B B A B B 28 B A A B C 3 C A B B D 28 C A B C D 4 C B C B B 28 B B C D C 5 A D C E B 28 A A A C C 6 D B A A A 28 A B A D E 7 B A D E C 28 A C B B C 8 A B B C C 28 A A B C D 9 C A B A D 28 B A B B C 10 A C B C A 29 A A C B D 11 C A B A D 29 B A B B C 12 A B C A B 29 B A B B C 13 C D A A A 29 A B A E D 14 D B C A A 30 C B B B E 15 A B B D C 30 C B B D C 16 B A B C D 30 A B C C D 17 A A B B D 30 A C C D C 18 D E B A A 30 A A A E E 19 A B A C B 31 B B A C C 20 B A C D A 32 A B C D B 女 青 年 基 本 條 件 要 求 條 件 外貌 性格 氣質(zhì) 事業(yè) 財(cái)富 年齡 外貌 性格 氣質(zhì) 事業(yè) 財(cái)富 1 B A B A D 25 C B B A B 2 B D C E C 25 A B C A B 3 B B C A A 25 B A A B D 4 A E E D A 25 A A D A C 5 B A C C E 25 B B B A A 6 C B A E A 26 B A C B C 7 A C B C A 26 B A B B C 8 A A A C E 26 C B B B A 9 B E C E A 26 A A B B E 10 E A C B B 26 C A B C C 11 A B B C D 27 A A B B A 12 B C D B B 27 B B A A C 13 A C C D A 28 B A B A D 14 A B B C B 28 C B A B C 15 B A C D C 28 B A B B A 16 A A B B C 28 C A B A C 17 C B A A C 29 B A B B B 18 D B A C D 29 B B A B B 19 D C B A B 30 C B A A C 20 A B A E C 31 B A B A B 注：表格中的要求條件一般是指不低于所給條件 3.問(wèn)題分析 該問(wèn)題是現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問(wèn)題，主要就是確定合理配對(duì)方案，使得在盡量滿足個(gè)人要求條件下，使配對(duì)成功率盡可能的高。由于每個(gè)人的基本條件和要求條件都是給定的，雙方彼此是知道的，而且是相互之間有很大的差異，如果完全按照要求條件組合配對(duì)成功。任意一對(duì)男女的配對(duì)可以看成一個(gè)隨機(jī)事件，按某一概率可能配對(duì)成功，或不成功。在這里雙方的滿意度主要反映出一個(gè)人對(duì)另一個(gè)人的客觀和主觀看法，因此，滿意度的定義成為解決問(wèn)題的一個(gè)關(guān)鍵。 所謂的“成功率”，就是男女雙方最終配對(duì)的概率。實(shí)際上，可以用他們相互之間的滿意度來(lái)間接刻畫。相互的滿意度越高，雙方配對(duì)的成功率就越大。對(duì)于問(wèn)題（1），要使配對(duì)成功率盡可能的高明，也就是給出一種方案，使得20對(duì)男女的配對(duì)后的滿意度之和最高。 對(duì)于問(wèn)題（2），要使20對(duì)男女青年同時(shí)配對(duì)，使得全部同時(shí)成功的可能性（概率）最大。 對(duì)于問(wèn)題（3），因?yàn)槊咳藗€(gè)只能選擇一次，能不配對(duì)成功取決于雙方是不是選中對(duì)方，即要看雙方彼此的滿意度如何。實(shí)際中，假如一個(gè)男青年（）對(duì)一個(gè)女青年（）的滿意度最高，但對(duì)的滿意度不一定最高，即若選擇，但不一定選擇。因此，與不一定配成對(duì)，反之亦然?，F(xiàn)在的問(wèn)題是誰(shuí)選誰(shuí)，使配對(duì)成功的可能性最大呢？這個(gè)問(wèn)題實(shí)際上是男女雙方在彼此基本了解的情況下，在保證自己一定滿意的條件下做出自己的選擇，也需要猜測(cè)對(duì)方會(huì)做出怎樣的選擇。因此，這個(gè)問(wèn)題可能轉(zhuǎn)化為男女雙方的對(duì)策問(wèn)題，即轉(zhuǎn)化為求男女雙方的非零和對(duì)策的納什平衡點(diǎn)的問(wèn)題。 4. 模型的假設(shè)與符號(hào)說(shuō)明 4．1模型的假設(shè) (1)題目所給出的男女青年的評(píng)價(jià)是客觀真實(shí)的; (2)每個(gè)人在選擇雙方的時(shí)候是理智的; (3)男女青年不會(huì)受當(dāng)時(shí)環(huán)境的影響。 4．2符號(hào)說(shuō)明 K=1,2,3,4,5.分別表示外貌、性格、氣質(zhì)、事業(yè)、財(cái)富這5個(gè)條件； (i=1,2…… 20)表示年齡升序排列后男青年編號(hào)； （j=1,2…… 20）表示年齡升序排列后女青年編號(hào)； ( i=1,2…… 20,k=1,2,3,4,5)表示男青年在k方面的基本條件； ( i=1,2…… 20,k=1,2,3,4,5)表示男青年在k方面的要求； ( j=1,2…… 20,k=1,2,3,4,5)表示女青年在k方面的基本條件； ( j=1,2…… 20,k=1,2,3,4,5)表示女青年在k方面的要求； 表示男青年i對(duì)女青年j在k方面的滿意度； 表示女青年j對(duì)男青年i在k方面的滿意度； 表示男青年i與女青年j在k方面的滿意度之和. 5．模型的建立和求解 5.1條件量化處理 對(duì)于每個(gè)人的外貌、性格、氣質(zhì)、事業(yè)、財(cái)富五項(xiàng)條件的5個(gè)等級(jí)A，B，C，D，E分別作量化處理為5，4，3，2，1。于是根據(jù)上表可以得到男女青年的基本條件量化矩陣和要求條件量化矩陣（或稱權(quán)值矩陣）以及滿意度分量分別記為： 5.2 滿意度 現(xiàn)在，我們對(duì)滿意度進(jìn)行說(shuō)明，要確定對(duì)的第K項(xiàng) 條件的滿意度。先對(duì)年齡進(jìn)行篩選，年齡為大于或大于的滿意度為0；如果基本條件達(dá)不到的要求即,給它賦值為0值.否則，滿意度記為剛好達(dá)到為1，超過(guò)一個(gè)等級(jí)加1。即滿意度為。這樣就體現(xiàn)了，當(dāng)一方實(shí)際條件高于對(duì)方期望（要求）條件時(shí)，則對(duì)方對(duì)他（她）的好感（相對(duì)于要求條件）就會(huì)增加，超過(guò)得越多，好感增加得越多。 5.3模型的建立 我們把二十個(gè)青年男女抽象化為40個(gè)結(jié)點(diǎn)得到一個(gè)帶權(quán)二部圖，其中Aj表示二十個(gè)男青年，Bj表示二十個(gè)女青年，而從男青年到女青年有一條帶權(quán)邊，權(quán)則由上面求得的滿意度矩陣決定，然后，我們用最大二部圖匹配算法（匈牙利算法）求出一個(gè)最大匹配的解；但是，一開(kāi)始所求得的是一個(gè)有向圖，因此我們必須把它無(wú)向化，至此對(duì)問(wèn)題（1）我們僅僅是采用把兩結(jié)點(diǎn)間權(quán)值相加而轉(zhuǎn)化為一個(gè)無(wú)向圖，進(jìn)而就可以用匈牙利算法對(duì)其求解了。而對(duì)于問(wèn)題（2）則要采用圖的完美匹配算法（KM算法）進(jìn)行求解，從而使全部配對(duì)成功的可能性最大，對(duì)于問(wèn)題（3），則同樣采用匈牙利算法只是把權(quán)值改變即可，這里我們把結(jié) 點(diǎn)間有向邊的權(quán)值同時(shí)大于2且滿意度和不滿意度差別不是很大時(shí)才有可能配對(duì)成功此時(shí)把它賦為1，而在不滿足條件時(shí)則賦為0,從而得出能配對(duì)成功最多的方案。 下面對(duì)匈牙利算法和KM算法進(jìn)行說(shuō)明。 匈牙利算法的主要思想是在每次增廣的時(shí)候不是找一條增廣路而是同時(shí)找?guī)讞l點(diǎn)不相交的最短增廣路，形成極大增廣路集，隨后可以沿著這幾條增廣路同時(shí)進(jìn)行增廣?？梢宰C明在尋找增廣路集的每一個(gè)階段所尋找到的最短增廣路都具有相等的長(zhǎng)度，并且隨著算法的進(jìn)行最短增廣路的長(zhǎng)度是越來(lái)越長(zhǎng)的，更進(jìn)一步分析可以證明最多只需增廣ceil(sqrt(n))次就可以得到最大匹配（證明在這里略去）。 KM算法：（全稱是Kuhn-Munkras,是這二個(gè)人在1957年提出來(lái)的），首先為每個(gè)點(diǎn)設(shè)立一個(gè)頂標(biāo)Li，設(shè)vi,j-為（i,j）邊的權(quán)，如果可以求得一個(gè)完美匹配，使得每條匹配邊vi,，其余邊。此時(shí)的解就是最優(yōu)的，因?yàn)槠ヅ溥叺臋?quán)和=，其余任意解的權(quán)和都不可能比這個(gè)大。 5.4模型的求解 以題中所給數(shù)據(jù)為例，我們用EXCEL處理后得到權(quán)值，然后編程求得結(jié)果為： 問(wèn)題(1) 男 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 女 B18 B17 B16 B15 B2 B19 B3 B12 B1 B14 男 A11 A12 A13 A14 A15 A16 A17 A18 A19 A20 女 B20 B10 B7 B8 B6 B5 B4 B11 B9 B13 問(wèn)題(2) 男 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 女 B11 B12 B19 B18 B8 B5 B3 B6 B2 B20 男 A11 A12 A13 A14 A15 A16 A17 A18 A19 A20 女 B1 B17 B7 B14 B15 B13 B16 B9 B4 B10 問(wèn)題(3) 男 A1 A3 A5 A10 A12 A14 A15 A17 A18 A19 女 B15 B18 B19 B9 B2 B6 B4 B14 B11 B8 5.5模型修正 （1）對(duì)滿意度的說(shuō)明 首先要注意到兩個(gè)事實(shí)：其一，如果基本條件比的要求條件差得越多，則對(duì)的第K項(xiàng)條件的滿意度就越小，反之亦然。也就是說(shuō)，如果一方的實(shí)際條件比對(duì)方期望（要求）的條件差距越大，則對(duì)方對(duì)另一方失望就越大，即滿意度就越小。其二，如果的基本條件比的要求條件高，則對(duì)的第k項(xiàng)條件的滿意度（k）就會(huì)增加，但增加不會(huì)太多。即當(dāng)一方的實(shí)際條件高于對(duì)方期望（要求）的條件時(shí)，則對(duì)方對(duì)加一方的好感（相對(duì)要求條件）增加不會(huì)太大。 而在模型中只考慮了實(shí)際條件高于要求條件，好感會(huì)增加并考慮到實(shí)際條件低于要求條件時(shí)，失望會(huì)增加，即滿意度會(huì)減小?，F(xiàn)在模型的基礎(chǔ)上加以改進(jìn)：如果的基本條件達(dá)不到的要求，即（）時(shí)，給它賦值它是一個(gè)負(fù)值，體現(xiàn)了當(dāng)一方實(shí)際條件低于期望（要求）的條件時(shí)，則對(duì)方對(duì)他（她）失望（相對(duì)于要求條件）就會(huì)增加差距越大，失望度就越大，相應(yīng)的滿意度就越小。顯然，改進(jìn)后成功的解決了上面所提出的問(wèn)題，所以顯得更加合理。 滿意度矩陣中的各分量分別表示如下： (2) 模型的重新建立 首先,我們把量化的尺度改為1-9尺度把A,B,C,D,E五個(gè)等級(jí)分別量化為9、7、5、3、1，然后在給出的二部圖轉(zhuǎn)化為無(wú)向圖時(shí)則把每個(gè)結(jié)點(diǎn)分為兩個(gè)結(jié)點(diǎn)，從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求40對(duì)結(jié)點(diǎn)的二部圖的最大匹配和完美匹配問(wèn)題了，對(duì)問(wèn)題1和問(wèn)題2用同樣算法求解，而對(duì)于問(wèn)題3則當(dāng)滿意度矩陣中的權(quán)大于零時(shí)賦為1而在小于零時(shí)則賦為0。 （3）以題中所給數(shù)據(jù)為例，我們用EXCEL處理后得到權(quán)值，然后編程求得結(jié)果為： 問(wèn)題(1) 男 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 女 B4 B18 B15 B20 B2 B5 B3 B13 B17 B9 男 A11 A12 A13 A14 A15 A16 A17 A18 A19 A20 女 B16 B10 B7 B1 B6 B19 B14 B11 B8 B12 問(wèn)題(2) 男 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 女 B2 B18 B6 B14 B19 B5 B3 B13 B11 B20 男 A11 A12 A13 A14 A15 A16 A17 A18 A19 A20 女 B1 B17 B7 B12 B15 B9 B16 B8 B4 B10 問(wèn)題(3) 男 A1 A3 A5 A10 A12 A14 A15 A17 A18 A19 女 B15 B18 B19 B9 B2 B6 B4 B14 B11 B8 6. 模型結(jié)果的分析 從所得的結(jié)果分析可知，模型改進(jìn)后所得到的結(jié)果比改進(jìn)前所得到的結(jié)果更加合理，對(duì)問(wèn)題1是為了要盡量滿足個(gè)人要求的條件使配對(duì)成功率更高，即要使得二部圖中的邊的權(quán)值相對(duì)來(lái)說(shuō)是比較大的，而對(duì)問(wèn)題2則是要全部配對(duì)成功的可能性最高，即是要使得所得到的完美配對(duì)圖的權(quán)值之和最大即使得要20對(duì)同進(jìn)配對(duì)的可能性最大的方案。而對(duì)問(wèn)題3則要在男女雙方都滿意的前提下并且是雙方都選擇了雙方。則從我們得到的結(jié)果可知模型改進(jìn)后得到的結(jié)果比模型要更優(yōu)。 7. 模型的優(yōu)缺點(diǎn) 對(duì)于兩個(gè)模型，改進(jìn)前的模型顯然比改進(jìn)后的模型粗糙得多，但是運(yùn)行起來(lái)相對(duì)簡(jiǎn)單，而且在模型中我們運(yùn)用了匈牙利算法使問(wèn)題更加簡(jiǎn)單化，充分體現(xiàn)了熟練運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件在我們運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決實(shí)際問(wèn)題中的重要性。 而在改進(jìn)后的模型中，我們利用圖論的思想，運(yùn)用匈牙利算法（二部圖的最大匹配算法）和KM算法（二部圖的完美匹配算法），并且將原精度提高，采用1-9尺度，使得問(wèn)題的解答更加精確，但是由于算法太復(fù)雜，在計(jì)算機(jī)計(jì)算方面顯得比較吃力，運(yùn)行也相對(duì)難以實(shí)現(xiàn)一點(diǎn)。 在社會(huì)上各人的擇偶標(biāo)準(zhǔn)不同，所以他們?cè)谶x擇對(duì)象的側(cè)重點(diǎn)也會(huì)不同，比方說(shuō)；有的人會(huì)特別注重外表，然而有的人特別注重對(duì)方的事業(yè)和個(gè)人的氣質(zhì)等等。 而我們?cè)趦蓚€(gè)模型中，只是簡(jiǎn)單的將五個(gè)方面的五個(gè)等級(jí)分別賦值為幾個(gè)數(shù)值，不能體現(xiàn)個(gè)人的側(cè)重點(diǎn)。同時(shí)，我們?cè)谀Ｐ椭屑僭O(shè)了對(duì)各人的抽樣是真實(shí)可靠的，然而各人的擇偶標(biāo)準(zhǔn)還會(huì)隨時(shí)間不斷改變，所以假設(shè)不一定會(huì)長(zhǎng)久成立，若在模型的改進(jìn)方向上再注意這些問(wèn)題，結(jié)果會(huì)更接近現(xiàn)實(shí)。 參考文獻(xiàn) [1]韓中庚.數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用[M].北京:高等教育出版社，2005.5. 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New York: PlenumBe Press, 1981. 致謝 本文的選題得到了林依勤老師的指導(dǎo)，從撰寫到完稿都得到了曾立波老師的悉心指導(dǎo)，在此，對(duì)曾立波老師和林依勤老師的幫助表示衷心的感謝。另外本文的完成還得到了羅光輝同學(xué)和李鵬同學(xué)的幫助，在此也對(duì)他們表示衷心的感謝。 附 錄 匈牙利算法 #include #include #include using namespace std; bool mark1[100],mark2[100]; int list[100]; int n,m,edge,num;c ector > v; bool dfs(int to) { register int i,point,s = list[to]; for(i=0;i>n) { if(n == 0)break; v.clear(); v.resize(n); cin >> m >> edge; for(i=0;i> j >> s >> d; v[s].push_back(d); } Solve(); } return 0; } KM算法： #include #include #include using namespace std; const int size = 160; const int INF = 100000000;? //? 相對(duì)無(wú)窮大 bool map[size][size];? ? ? ? ?// 二分圖的相等子圖, map[i][j] = true 代表Xi與Yj有邊 bool xckd[size], yckd[size];? // 標(biāo)記在一次DFS中，Xi與Yi是否在交錯(cuò)樹(shù)上 int match[size];? ? ? ? ? ? ?// 保存匹配信息，其中i為Y中的頂點(diǎn)標(biāo)號(hào)，match[i]為X中頂點(diǎn)標(biāo)號(hào) bool DFS(int, const int); void KM_Perfect_Match(const int n, const int edge[][size]) { ? ?int i, j; ? ?int lx[size], ly[size];? ?//? KM算法中Xi與Yi的標(biāo)號(hào) ? ?for(i = 0; i < n; i++) { ? ?? ?lx[i] = -INF; ? ?? ?ly[i] = 0; ? ?? ?for(j = 0; j < n; j++) { ? ?? ?? ?lx[i] = max(lx[i], edge[i][j]); ? ?? ?} ? ?} ? ? bool perfect = false; ? ? while(!perfect) { ? ?? ?//? 初始化鄰接矩陣 ? ? ? ? for(i = 0; i < n; i++) { ? ? ? ? ? ? for(j = 0; j < n; j++) { ? ?? ?? ?? ?if(lx[i]+ly[j] == edge[i][j]) map[i][j] = true; ? ?? ?? ?? ?else map[i][j] = false; ? ?? ?? ?} ? ?? ?} ? ?? ?// 匹配過(guò)程 ? ?? ?int live = 0; ? ?? ?memset(match, -1, sizeof(match)); ? ?? ?for(i = 0; i < n; i++) { ? ?? ?? ?memset(xckd, false, sizeof(xckd)); ? ?? ?? ?memset(yckd, false, sizeof(yckd)); ? ?? ?? ?if(DFS(i, n)) live++; ? ?? ?? ?else { ? ?? ?? ?? ?xckd[i] = true; ? ?? ?? ?? ?break; ? ?? ?? ?} ? ?? ?} ? ?? ?if(live == n) perfect = true; ? ?? ?else { ? ?? ?? ?// 修改標(biāo)號(hào)過(guò)程 ? ?? ?? ?int ex = INF; ? ?? ?? ?for(i = 0; i < n; i++) { ? ?? ?? ?? ?for(j = 0; xckd[i] && j < n; j++) { ? ?? ?? ?? ?? ?if(!yckd[j]) ex = min(ex, lx[i]+ly[j]-edge[i][j]); ? ?? ?? ?? ?} ? ?? ?? ?} ? ?? ?? ?for(i = 0; i < n; i++) { ? ?? ?? ?? ?if(xckd[i]) lx[i] -= ex; ? ?? ?? ?? ?if(yckd[i]) ly[i] += ex; ? ?? ?? ?} ? ?? ?} ? ?} } // 此函數(shù)用來(lái)尋找是否有以Xp為起點(diǎn)的增廣路徑，返回值為是否含有增廣路 bool DFS(int p, const int n) { ? ?int i; ? ?for(i = 0; i < n; i++) { ? ?? ?if(!yckd[i] && map[p][i]) { ? ?? ?? ?yckd[i] = true; ? ?? ?? ?int t = match[i]; ? ?? ?? ?match[i] = p; ? ?? ?? ?if(t == -1 || DFS(t, n)) { ? ?? ?? ?? ?return true; ? ?? ?? ?} ? ?? ?? ?match[i] = t; ? ?? ?? ?if(t != -1) xckd[t] = true; ? ?? ?} ? ?} ? ?return false; } int main() { ? ?int n, edge[size][size]; //? edge[i][j]為連接X(jué)i與Yj的邊的權(quán)值 ? ?int i; ? ? ? ?/*************************************************** ? ? *? ? ? ?在此處要做的工作 : ? ? *? ? ? ?讀取二分圖每?jī)牲c(diǎn)間邊的權(quán)并保存在edge[][]中, ? ? *? 若X與Y數(shù)目不等，應(yīng)添加配合的頂點(diǎn) ? ? *? ? ? ?保存二分圖中X與Y的頂點(diǎn)數(shù)n,若上一步不等應(yīng)保 ? ? *? 存添加頂點(diǎn)完畢后的n ? ? ***************************************************/ ? ? ? ?KM_Perfect_Match(n, edge); ? ?int cost = 0; ? ?for(i = 0; i < n; i++) { ? ?? ?cost += edge[match[i]][i]; ? ?} ? ?// cost 為最大匹配的總和, match[]中保存匹配信息 ? ? ? ?return 0; } 17