《理論力學(xué)》靜力學(xué)典型習(xí)題答案.doc

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1-3 試畫出圖示各結(jié)構(gòu)中構(gòu)件AB的受力圖 1-4 試畫出兩結(jié)構(gòu)中構(gòu)件ABCD的受力圖 1-5 試畫出圖a和b所示剛體系整體各個構(gòu)件的受力圖 1-5a 1-5b 1- 8在四連桿機構(gòu)的ABCD的鉸鏈B和C上分別作用有力F1和F2，機構(gòu)在圖示位置平衡。試求二力F1和F2之間的關(guān)系。 解：桿AB，BC，CD為二力桿，受力方向分別沿著各桿端點連線的方向。 解法1(解析法) 假設(shè)各桿受壓，分別選取銷釘B和C為研究對象，受力如圖所示： F2 FBC FAB B 45o y x FBC FCD C 60o F1 30o x y 由共點力系平衡方程，對B點有： 對C點有： 解以上二個方程可得： 解法2(幾何法) FBC FCD 60o F1 30o F2 FBC FAB 45o 分別選取銷釘B和C為研究對象，根據(jù)匯交力系平衡條件，作用在B和C點上的力構(gòu)成封閉的力多邊形，如圖所示。 對B點由幾何關(guān)系可知： 對C點由幾何關(guān)系可知： 解以上兩式可得： 2-3 在圖示結(jié)構(gòu)中，二曲桿重不計，曲桿AB上作用有主動力偶M。試求A和C點處的約束力。 解：BC為二力桿(受力如圖所示)，故曲桿AB在B點處受到約束力的方向沿BC兩點連線的方向。曲桿AB受到主動力偶M的作用，A點和B點處的約束力必須構(gòu)成一個力偶才能使曲桿AB保持平衡。AB受力如圖所示，由力偶系作用下剛體的平衡方程有（設(shè)力偶逆時針為正）： 其中：。對BC桿有： A，C兩點約束力的方向如圖所示。 2-4 解：機構(gòu)中AB桿為二力桿，點A,B出的約束力方向即可確定。由力偶系作用下剛體的平衡條件，點O,C處的約束力方向也可確定，各桿的受力如圖所示。對BC桿有： 對AB桿有： 對OA桿有： 求解以上三式可得：， ，方向如圖所示。 // 2-6求最后簡化結(jié)果。 解：2-6a 坐標(biāo)如圖所示，各力可表示為: ， ， 先將力系向A點簡化得（紅色的）： ， 方向如左圖所示。由于，可進(jìn)一步簡化為一個不過A點的力(綠色的)，主矢不變，其作用線距A點的距離，位置如左圖所示。 2-6b 同理如右圖所示，可將該力系簡化為一個不過A點的力（綠色的），主矢為： 其作用線距A點的距離，位置如右圖所示。 簡化中心的選取不同，是否影響最后的簡化結(jié)果？ 是 2-13 解：整個結(jié)構(gòu)處于平衡狀態(tài)。選擇滑輪為研究對象，受力如圖，列平衡方程（坐標(biāo)一般以水平向右為x軸正向，豎直向上為y軸正向，力偶以逆時針為正）： 選梁AB為研究對象，受力如圖，列平衡方程： 求解以上五個方程，可得五個未知量分別為： （與圖示方向相反） （與圖示方向相同） （逆時針方向） 2-18 解：選AB桿為研究對象，受力如圖所示，列平衡方程： 求解以上兩個方程即可求得兩個未知量，其中： 未知量不一定是力。 以下幾題可看一看！ 2-27 解：選桿AB為研究對象，受力如下圖所示。列平衡方程：（運用力對軸之矩！） 由和可求出。平衡方程可用來校核。 思考題：對該剛體獨立的平衡方程數(shù)目是幾個？ 2-29 解：桿1，2，3，4，5，6均為二力桿，受力方向沿兩端點連線方向，假設(shè)各桿均受壓。選板ABCD為研究對象，受力如圖所示，該力系為空間任意力系。采用六矩式平衡方程： (受拉) (受壓) (受壓) (受拉) 本題也可以采用空間任意力系標(biāo)準(zhǔn)式平衡方程，但求解代數(shù)方程組非常麻煩。類似本題的情況采用六矩式方程比較方便，適當(dāng)?shù)倪x擇六根軸保證一個方程求解一個未知量，避免求解聯(lián)立方程。 2-31 力偶矩 解：取棒料為研究對象，受力如圖所示。列平衡方程: 補充方程： 五個方程，五個未知量，可得方程： 解得。當(dāng)時有： 即棒料左側(cè)脫離V型槽，與提議不符，故摩擦系數(shù)。 2-33 解：當(dāng)時，取桿AB為研究對象，受力如圖所示。 列平衡方程： 附加方程： 四個方程，四個未知量，可求得。 2-35 解：選棱柱體為研究對象，受力如圖所示。假設(shè)棱柱邊長為a，重為P，列平衡方程： 如果棱柱不滑動，則滿足補充方程時處于極限平衡狀態(tài)。解以上五個方程，可求解五個未知量，其中： (1) 當(dāng)物體不翻倒時，則： (2) 即斜面傾角必須同時滿足(1)式和(2)式，棱柱才能保持平衡。 FCx FCy FBx FBy 3-10 解：假設(shè)桿AB，DE長為2a。取整體為研究對 象，受力如右圖所示，列平衡方程： 取桿DE為研究對象，受力如圖所示，列平 衡方程： 取桿AB為研究對象，受力如圖所示，列平衡方程： (與假設(shè)方向相反) (與假設(shè)方向相反) (與假設(shè)方向相反) 3-12 FCx FCy FD 解：取整體為研究對象，受力如圖所示，列平衡方程： 取桿AB為研究對象，受力如圖所示，列平衡方程： 桿AB為二力桿，假設(shè)其受壓。取桿AB和AD構(gòu)成的組合體為研究對象，受力如圖所示，列平衡方程： 解得，命題得證。 注意：銷釘A和C聯(lián)接三個物體。 FA FB 3-14 解：取整體為研究對象，由于平衡條件可知該力系對任一點之矩為零，因此有： 即必過A點，同理可得必過B點。也就是和是大小相等，方向相反且共線的一對力，如圖所示。 取板AC為研究對象，受力如圖所示，列平衡方程： 解得：(方向如圖所示) 3-20 解：支撐桿1，2，3為二力桿，假設(shè)各桿均受壓。選梁BC為研究對象，受力如圖所示。其中均布載荷可以向梁的中點簡化為一個集中力，大小為2qa，作用在BC桿中點。列平衡方程： (受壓) D F3 F2 F1 x y 選支撐桿銷釘D為研究對象，受力如右圖所示。列平衡方程： (受壓) (受拉) 選梁AB和BC為研究對象，受力如圖所示。列平衡方程： (與假設(shè)方向相反) (逆時針) FAx FAy FBx FBy 3-21 解：選整體為研究對象，受力如右圖所示。 列平衡方程： (1) 由題可知桿DG為二力桿，選GE為研究對象，作用于其上的力匯交于點G，受力如圖所示，畫出力的三角形，由幾何關(guān)系可得：。 取CEB為研究對象，受力如圖所示。列平衡方程： 代入公式(1)可得： 3-24 解：取桿AB為研究對象，設(shè)桿重為P，受力如圖所示。列平衡方程： 取圓柱C為研究對象，受力如圖所示。列平衡方程： 注意：由于繩子也拴在銷釘上，因此以整體為研究對象求得的A處的約束力不是桿AB對銷釘?shù)淖饔昧Α? 3-27 解：取整體為研究對象，設(shè)桿長為L，重為P，受力如圖所示。列平衡方程： (1) 取桿BC為研究對象，受力如圖所示。列平衡方程： (2) FAx FAy FN Fs P P 補充方程：， 將(1)式和(2)式代入有：，即。 3-29（…………………………） 證明：（1）不計圓柱重量 法1： 取圓柱為研究對象，圓柱在C點和D點分別受到法向約束力和摩擦力的作用，分別以全約束力來表示，如圖所示。如圓柱不被擠出而處于平衡狀態(tài)，則等值，反向，共線。由幾何關(guān)系可知，與接觸點C，D處法線方向的夾角都是，因此只要接觸面的摩擦角大于，不論F多大，圓柱不會擠出，而處于自鎖狀態(tài)。 FND FSD o FAx FAy 法2（解析法）： 首先取整體為研究對象，受力如圖所示。列平衡方程： 再取桿AB為研究對象，受力如圖所示。列平衡方程： 取圓柱為研究對象，受力如圖所示。假設(shè)圓柱半徑為R，列平衡方程： 由補充方程：，可得如果： 則不論F多大，圓柱都不被擠出，而處于自鎖狀態(tài)。 證明：（2）圓柱重量P時 取圓柱為研究對象，此時作用在圓柱上的力有重力P，C點和D點處的全約束力。如果圓柱保持平衡，則三力必匯交于D點（如圖所示）。全約束力與C點處法線方向的夾角仍為，因此如果圓柱自鎖在C點必須滿足： (1) 該結(jié)果與不計圓柱重量時相同。只滿足(1)式時C點無相對滑動，但在D點有可能滑動(圓柱作純滾動)。再選桿AB為研究對象，對A點取矩可得，由幾何關(guān)系可得： (2) 法1（幾何法）： P φ FRD FRC 圓柱保持平衡，則作用在其上的三個力構(gòu)成封閉得力三角形，如圖所示。由幾何關(guān)系可知： 將(2)式代入可得： 因此如果圓柱自鎖在D點必須滿足： (3) 即當(dāng)同時滿足(1)式和(3)式時，圓柱自鎖，命題得證。 法2（解析法）： 取圓柱為研究對象，受力如圖所示，列平衡方程： 解得：， 代入補充方程：， 可得如果圓柱自鎖在D點必須滿足： (3) 即當(dāng)同時滿足(1)式和(3)式時，圓柱自鎖，命題得證。 3-30 解：取整體為研究對象，受力如圖所示，列平衡方程： 由題可知，桿AC為二力桿。作用在桿BC上的力有主動力，以及B和C處的約束力和，由三力平衡匯交，可確定約束力和的方向如圖所示，其中：，桿AC受壓。 取輪A為研究對象，受力如圖所示，設(shè)的作用線與水平面交于F點，列平衡方程： 取輪B為研究對象，受力如圖所示，設(shè)的作用線與水平面交于G點，列平衡方程： 解以上六個方程，可得： ， ， ， 若結(jié)構(gòu)保持平衡，則必須同時滿足： ，，， 即：， 因此平衡時的最大值，此時： ， 3-35 解：由圖可見桿桁架結(jié)構(gòu)中桿CF，F(xiàn)G，EH為零力桿。用剖面SS將該結(jié)構(gòu)分為兩部分，取上面部分為研究對象，受力如圖所示，列平衡方程： (受拉) (受拉) (受壓) 3-38 解：假設(shè)各桿均受壓。取三角形BCG為研究對象，受力如圖所示。列平衡方程： (受壓) 取節(jié)點C為研究對象，受力如圖所示。列平衡方程： 其中：，解以上兩個方程可得：(受壓) 3-40 解：取整體為研究對象，受力如圖所示。列平衡方程： A B C 3 4 5 FAy FAx FB C S S 用截面S-S將桁架結(jié)構(gòu)分為兩部分，假設(shè)各桿件受拉，取右邊部分為研究對象，受力如圖所示。列平衡方程： (受拉) (受拉) 4-1 解： 1.選定由桿OA，O1C，DE組成的系統(tǒng)為研究對象，該系統(tǒng)具有理想約束。作用在系統(tǒng)上的主動力為。 2.該系統(tǒng)的位置可通過桿OA與水平方向的夾角θ完全確定，有一個自由度。選參數(shù)θ為廣義坐標(biāo)。 3.在圖示位置，不破壞約束的前提下，假定桿OA有一個微小的轉(zhuǎn)角δθ，相應(yīng)的各點的虛位移如下： ，， ，， 代入可得： 4.由虛位移原理有： 對任意有：，物體所受的擠壓力的方向豎直向下。 4-4 解：4a 1.選桿AB為研究對象，該系統(tǒng)具有理想約束。設(shè)桿重為P,作用在桿上的主動力為重力。 2.該系統(tǒng)的位置可通過桿AB與z軸的夾角θ完全確定，有一個自由度。選參數(shù)θ為廣義坐標(biāo)。由幾何關(guān)系可知： 桿的質(zhì)心坐標(biāo)可表示為： 3.在平衡位置，不破壞約束的前提下，假定桿AB逆時針旋轉(zhuǎn)一個微小的角度 δθ，則質(zhì)心C的虛位移： 4.由虛位移原理有： 對任意有： 即桿AB平衡時：。 解：4b 1.選桿AB為研究對象，該系統(tǒng)具有理想約束。設(shè)桿重為P,作用在桿上的主動力為重力。 2.該系統(tǒng)的位置可通過桿AB與z軸的夾角θ完全確定，有一個自由度。選參數(shù)θ為廣義坐標(biāo)。由幾何關(guān)系可知： 桿的質(zhì)心坐標(biāo)可表示為： 3.在平衡位置，不破壞約束的前提下，假定桿AB順時針旋轉(zhuǎn)一個微小的角度 δθ，則質(zhì)心C的虛位移： 4.由虛位移原理有： 對任意有： 即平衡時角滿足：。 4-5 解： 1.選整個系統(tǒng)為研究對象，此系統(tǒng)包含彈簧。設(shè)彈簧力，且，將彈簧力視為主動力。此時作用在系統(tǒng)上的主動力有，以及重力。 2. 該系統(tǒng)只有一個自由度，選定為廣義坐標(biāo)。由幾何關(guān)系可知： 3.在平衡位置，不破壞約束的前提下，假定有一個微小的虛位移δθ，則質(zhì)心的虛位移為： 彈簧的長度，在微小虛位移δθ下： 4.由虛位移原理有： 其中，代入上式整理可得： 由于，對任意可得平衡時彈簧剛度系數(shù)為： 4-6 解：解除A端的約束，代之以，并將其視為主動力，此外系統(tǒng)還受到主動力的作用。系統(tǒng)有三個自由度，選定A點的位移和梁AC的轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo)。 1．在不破壞約束的前提下給定一組虛位移，如圖所示。由虛位移原理有： 對任意可得： 2．在不破壞約束的前提下給定一組虛位移，如下圖所示。由虛位移原理有： (1) 由幾何關(guān)系可得各點的虛位移如下： 代入(1)式： 對任意可得：，方向如圖所示。 3．在不破壞約束的前提下給定一組虛位移，如上圖所示。由虛位移原理有： (2) 有幾何關(guān)系可得各點的虛位移如下： 代入(2)式： 對任意可得： ，逆時針方向。 4-7 解：將均布載荷簡化為作用在CD中點的集中載荷，大小為。 1.求支座B處的約束力 解除B點處的約束，代之以力，并將其視為主動力，系統(tǒng)還受到主動力的作用，如圖所示。在不破壞約束的前提下，桿AC不動，梁CDB只能繞C點轉(zhuǎn)動。系統(tǒng)有一個自由度，選轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo)。給定虛位移，由虛位移原理有： (1) 各點的虛位移如下： 代入(1)式整理可得： 對任意可得： ，方向如圖所示。 2.求固定端A處的約束力 解除A端的約束，代之以，并將其視為主動力，系統(tǒng)還受到主動力的作用。系統(tǒng)有三個自由度，選定A點的位移和梁AC的轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo)。 2a.求 在不破壞約束的前提下給定一組虛位移，此時整個結(jié)構(gòu)平移，如上圖所示。由虛位移原理有： (2) 各點的虛位移如下： 代入(2)式整理可得： 對任意可得： ，方向如圖所示。 2b.求 在不破壞約束的前提下給定一組虛位移，此時梁AC向上平移，梁CDB繞D點轉(zhuǎn)動，如上圖所示。由虛位移原理有： (3) 各點的虛位移如下： 代入(3)式整理可得： 對任意可得： ，方向如圖所示。 2c.求 在不破壞約束的前提下給定一組虛位移，此時梁AC繞A點轉(zhuǎn)動，梁CDB平移，如上圖所示。由虛位移原理有： (4) 各點的虛位移如下： 代入(4)式整理可得： 對任意可得： ，順時針方向。 4-8 解：假設(shè)各桿受拉，桿長均為a。 1．求桿1受力 去掉桿1，代之以力，系統(tǒng)有一個自由度，選AK與水平方向的夾角為廣義坐標(biāo)，如上圖所示。在不破壞約束的條件下給定一組虛位移，此時三角形ADK形狀不變，繞A點轉(zhuǎn)動，因此有，且： 滑動支座B處只允許水平方向的位移，而桿BK上K點虛位移沿鉛垂方向，故B點不動。三角形BEK繞B點旋轉(zhuǎn)，且： 對剛性桿CD和桿CE，由于，因此。由虛位移原理有： 代入各點的虛位移整理可得： 對任意可得： （受壓）。 2．求桿2受力 去掉桿2，代之以力，系統(tǒng)有一個自由度，選BK與水平方向的夾角為廣義坐標(biāo)，如上圖所示。在不破壞約束的條件下給定一組虛位移，桿AK繞A點轉(zhuǎn)動，因此有，且： 同理可知B點不動，三角形BEK繞B點旋轉(zhuǎn)，且： 桿AD繞A點轉(zhuǎn)動，由剛性桿DE上點E的虛位移可確定D點位移方向如圖所示，且： 同理可知。由虛位移原理有： 代入各點的虛位移整理可得： 對任意可得： （受壓）。 3．求桿3受力 去掉桿3，代之以力，系統(tǒng)有一個自由度，選AK與水平方向的夾角為廣義坐標(biāo)，如上圖所示。在不破壞約束的條件下給定一組虛位移，三角形ADK繞A點轉(zhuǎn)動，，且： 同理可知B點不動，，且： 由虛位移原理有： 代入各點的虛位移整理可得： 對任意可得： （受拉）。 θ 4-12鉛垂力F為常力 解：F大小和方向不變，常力也是有勢力。取 桿和彈簧構(gòu)成的系統(tǒng)為研究對象。該系統(tǒng)為保 守系統(tǒng)，有一個自由度，選為廣義坐標(biāo)，如 圖所示。取為零勢能位置，則系統(tǒng)在 任意位置的勢能為： 由平衡條件可得： 有： 和 即： 和 也就是： 和兩個平衡位置。 為判斷平衡的穩(wěn)定性，取勢能V的二階導(dǎo)數(shù)： 當(dāng)時， ，即時是不穩(wěn)定平衡。 當(dāng)時， 由上式可知： 1． 當(dāng)且時，即是穩(wěn)定平衡位置； 2． 當(dāng)且時，即是不穩(wěn)定平衡位置。 O x y h C θ θ β 4-15 解：取半徑為r的半圓柱為研究對象，圓心為C。半圓柱作純滾動，有一個自由度，取兩個半圓心連線與y軸夾角為廣義坐標(biāo)。作用在半圓柱上的主動力為重力，系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，如圖所示，其中。由于半圓柱作純滾動，有： （1） 取坐標(biāo)原點為零勢能位置，則半圓柱在任意位置的勢能為： 代入（1）式有： 由平衡條件可得為平衡位置。勢能V的二階導(dǎo)數(shù)： 由上式可得當(dāng)，是穩(wěn)定的。