高考數(shù)學 考前3個月知識方法專題訓練 第一部分 知識方法篇 專題9 平面直角坐標與不等式 第35練 坐標系與參數(shù)方程 文

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第35練　坐標系與參數(shù)方程 [題型分析高考展望]　高考主要考查平面直角坐標系中的伸縮變換、直線和圓的極坐標方程；參數(shù)方程與普通方程的互化，常見曲線的參數(shù)方程及參數(shù)方程的簡單應用．以極坐標、參數(shù)方程與普通方程的互化為主要考查形式，同時考查直線與曲線位置關系等解析幾何知識． 體驗高考 1．(2016課標全國甲)在直角坐標系xOy中，圓C的方程為(x＋6)2＋y2＝25. (1)以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求C的極坐標方程； (2)直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，l與C交于A、B兩點，|AB|＝，求l的斜率． 解　(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圓C的極坐標方程ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的極坐標系中，直線l的極坐標方程為θ＝α(ρ∈R)． 設A，B所對應的極徑分別為ρ1，ρ2，將l的極坐標方程代入C的極坐標方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0. 于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝. 由|AB|＝得cos2α＝，tan α＝. 所以l的斜率為或－. 2．(2015江蘇)已知圓C的極坐標方程為ρ2＋2ρsin－4＝0，求圓C的半徑． 解　以極坐標系的極點為平面直角坐標系的原點O，以極軸為x軸的正半軸，建立直角坐標系xOy. 圓C的極坐標方程為ρ2＋2ρ－4＝0， 化簡，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0. 則圓C的直角坐標方程為x2＋y2－2x＋2y－4＝0， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝6， 所以圓C的半徑為. 高考必會題型 題型一　極坐標與直角坐標的互化 直角坐標與極坐標的互化 把直角坐標系的原點作為極點，x軸正半軸作為極軸，且在兩坐標系中取相同的長度單位．如圖，設M是平面內的任意一點，它的直角坐標、極坐標分別為(x，y)和(ρ，θ)，則 例1　在極坐標系中，曲線C1：ρ(cosθ＋sin θ)＝1與曲線C2：ρ＝a(a>0)的一個交點在極軸上，求a的值． 解　ρ(cosθ＋sin θ)＝1， 即ρcosθ＋ρsinθ＝1對應的普通方程為 x＋y－1＝0， ρ＝a(a>0)對應的普通方程為 x2＋y2＝a2. 在x＋y－1＝0中，令y＝0，得x＝. 將代入x2＋y2＝a2得a＝. 點評　(1)在由點的直角坐標化為極坐標時，一定要注意點所在的象限和極角的范圍，否則點的極坐標將不唯一． (2)在與曲線的方程進行互化時，一定要注意變量的范圍，要注意轉化的等價性． 變式訓練1　在以O為極點的極坐標系中，直線l與曲線C的極坐標方程分別是ρcos(θ＋)＝3和ρsin2θ＝8cos θ，直線l與曲線C交于點A、B，求線段AB的長． 解　∵ρcos(θ＋)＝ρcosθcos－ρsinθsin ＝ρcosθ－ρsinθ＝3， ∴直線l對應的直角坐標方程為x－y＝6. 又∵ρsin2θ＝8cos θ，∴ρ2sin2θ＝8ρcos θ. ∴曲線C對應的直角坐標方程是y2＝8x. 解方程組 得或 所以A(2，－4)，B(18,12)， 所以AB＝＝16. 即線段AB的長為16. 題型二　參數(shù)方程與普通方程的互化 1．直線的參數(shù)方程 過定點M(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． 2．圓的參數(shù)方程 圓心在點M(x0，y0)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)，0≤θ≤2π)． 3．圓錐曲線的參數(shù)方程 (1)橢圓＋＝1的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． (2)拋物線y2＝2px(p>0)的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． 例2　(2015福建)在平面直角坐標系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．在極坐標系(與平面直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸非負半軸為極軸)中，直線l的方程為ρsin＝m(m∈R)． (1)求圓C的普通方程及直線l的直角坐標方程； (2)設圓心C到直線l的距離等于2，求m的值． 解　(1)消去參數(shù)t，得到圓C的普通方程為 (x－1)2＋(y＋2)2＝9. 由ρsin＝m，得ρsinθ－ρcosθ－m＝0. 所以直線l的直角坐標方程為x－y＋m＝0. (2)依題意，圓心C到直線l的距離等于2，即＝2，解得m＝－32. 點評　(1)將參數(shù)方程化為普通方程，需要根據(jù)參數(shù)方程的結構特征，選取適當?shù)南麉⒎椒ǎＲ姷南麉⒎椒ㄓ写胂麉⒎ǎ訙p消參法，平方消參法等． (2)將參數(shù)方程化為普通方程時，要注意兩種方程的等價性，不要增解、漏解，若x、y有范圍限制，要標出x、y的取值范圍． 變式訓練2　已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，P是橢圓＋y2＝1上的任意一點，求點P到直線l的距離的最大值． 解　由于直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))， 故直線l的普通方程為x＋2y＝0. 因為P為橢圓＋y2＝1上的任意一點， 故可設P(2cos θ，sin θ)，其中θ∈R. 因此點P到直線l的距離是 d＝＝. 所以當θ＝kπ＋，k∈Z時，d取得最大值. 題型三　極坐標、參數(shù)方程的綜合應用 解決與圓、圓錐曲線的參數(shù)方程有關的綜合問題時，要注意普通方程與參數(shù)方程的互化公式，主要是通過互化解決與圓、圓錐曲線上動點有關的問題，如最值、范圍等． 例3　(2015課標全國Ⅱ)在直角坐標系xOy中，曲線C1：(t為參數(shù)，t≠0)，其中0≤α＜π，在以O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：ρ＝2sin θ，曲線C3：ρ＝2cos θ. (1)求C2與C3交點的直角坐標； (2)若C1與C2相交于點A，C1與C3相交于點B，求|AB|的最大值． 解　(1)曲線C2的直角坐標方程為x2＋y2－2y＝0，曲線C3的直角坐標方程為x2＋y2－2x＝0. 聯(lián)立 解得或 所以C2與C3交點的直角坐標為(0,0)和. (2)曲線C1的極坐標方程為θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A的極坐標為(2sin α，α)，B的極坐標為(2cos α，α)． 所以|AB|＝|2sin α－2cos α|＝4. 當α＝時，|AB|取得最大值，最大值為4. 點評　(1)利用參數(shù)方程解決問題，要理解參數(shù)的幾何意義． (2)解決直線、圓和圓錐曲線的有關問題，將極坐標方程化為直角坐標方程或將參數(shù)方程化為普通方程，有助于對方程所表示的曲線的認識，從而達到化陌生為熟悉的目的，這是轉化與化歸思想的應用． 變式訓練3　(2015陜西)在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，⊙C的極坐標方程為ρ＝2sin θ. (1)寫出⊙C的直角坐標方程； (2)P為直線l上一動點，當P到圓心C的距離最小時，求P的直角坐標． 解　(1)由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ， 從而有x2＋y2＝2y，所以x2＋(y－)2＝3. (2)設P，又C(0，)， 則|PC|＝＝， 故當t＝0時，|PC|取得最小值， 此時，P點的直角坐標為(3,0)． 高考題型精練 1．已知圓的極坐標方程為ρ＝4cos θ，圓心為C，點P的極坐標為(4，)，求CP的長． 解　由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ， 即x2＋y2＝4x， 即(x－2)2＋y2＝4，∴圓心C(2,0)，又由點P的極坐標為(4，)可得點P的直角坐標為(2,2)， ∴CP＝＝2. 2．(2015安徽改編)在極坐標系中，求圓ρ＝8sin θ上的點到直線θ＝(ρ∈R)距離的最大值． 解　圓ρ＝8sin θ化為直角坐標方程為x2＋y2－8y＝0，即x2＋(y－4)2＝16，直線θ＝(ρ∈R)化為直角坐標方程為y＝x，結合圖形知圓上的點到直線的最大距離可轉化為圓心到直線的距離再加上半徑． 圓心(0,4)到直線y＝x的距離為＝2，又圓的半徑r＝4，所以圓上的點到直線的最大距離為6. 3．在極坐標系中，已知三點M(2，－)、N(2,0)、P(2，)． (1)將M、N、P三點的極坐標化為直角坐標； (2)判斷M、N、P三點是否在一條直線上． 解　(1)由公式得M的直角坐標為(1，－)； N的直角坐標為(2,0)；P的直角坐標為(3，)． (2)∵kMN＝＝，kNP＝＝. ∴kMN＝kNP，∴M、N、P三點在一條直線上． 4．(2015重慶改編)已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ2cos 2θ＝4，求直線l與曲線C的交點的極坐標． 解　直線l的直角坐標方程為y＝x＋2，由ρ2cos 2θ＝4得ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4，直角坐標方程為x2－y2＝4，把y＝x＋2代入雙曲線方程解得x＝－2，因此交點為(－2,0)，其極坐標為(2，π)． 5．以平面直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，兩種坐標系中取相同的長度單位．已知直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，圓C的極坐標方程是ρ＝4cos θ，求直線l被圓C截得的弦長． 解　直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))化為直角坐標方程是y＝x－4，圓C的極坐標方程ρ＝4cos θ化為直角坐標方程是x2＋y2－4x＝0.圓C的圓心(2,0)到直線x－y－4＝0的距離為d＝＝.又圓C的半徑r＝2，因此直線l被圓C截得的弦長為2＝2. 6．(2016江蘇)在平面直角坐標系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，橢圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))．設直線l與橢圓C相交于A，B兩點，求線段AB的長． 解　直線l的方程化為普通方程為x－y－＝0， 橢圓C的方程化為普通方程為x2＋＝1， 聯(lián)立方程組得 解得或 ∴A(1,0)，B. 故AB＝＝. 7．(2015湖南)已知直線l：(t為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ＝2cos θ. (1)將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程； (2)設點M的直角坐標為(5，)，直線l與曲線C的交點為A，B，求|MA||MB|的值． 解　(1)ρ＝2cos θ等價于ρ2＝2ρcos θ.① 將ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x代入①即得曲線C的直角坐標方程為x2＋y2－2x＝0.② (2)將代入②式，得t2＋5t＋18＝0. 設這個方程的兩個實根分別為t1，t2，則由參數(shù)t的幾何意義即知，|MA||MB|＝|t1t2|＝18. 8．已知直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，圓C的極坐標方程為ρ＝4cos. (1)將圓C的極坐標方程化為直角坐標方程； (2)若圓上有且僅有三個點到直線l的距離為，求實數(shù)a的值． 解　(1)由ρ＝4cos， 得ρ＝4cos θ－4sin θ. 即ρ2＝4ρcos θ－4ρsin θ. 由得x2＋y2－4x＋4y＝0， 得(x－2)2＋(y＋2)2＝8. 所以圓C的直角坐標方程為(x－2)2＋(y＋2)2＝8. (2)直線l的參數(shù)方程可化為y＝2x＋a， 則由圓的半徑為2知，圓心(2，－2)到直線y＝2x＋a的距離恰好為. 所以＝，解得a＝－6.