高考數(shù)學(xué) 考前3個(gè)月知識(shí)方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識(shí)方法篇 專題9 平面直角坐標(biāo)與不等式 第35練 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 文

第35練坐標(biāo)系與參數(shù)方程題型分析高考展望高考主要考查平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換、直線和圓的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程與普通方程的互化，常見曲線的參數(shù)方程及參數(shù)方程的簡單應(yīng)用以極坐標(biāo)、參數(shù)方程與普通方程的互化為主要考查形式，同時(shí)考查直線與曲線位置關(guān)系等解析幾何知識(shí)體驗(yàn)高考1(2016課標(biāo)全國甲)在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為(x6)2y225.(1)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求C的極坐標(biāo)方程；(2)直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，l與C交于A、B兩點(diǎn)，|AB|，求l的斜率解(1)由xcos，ysin可得圓C的極坐標(biāo)方程212cos 110.(2)在(1)中建立的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為(R)設(shè)A，B所對(duì)應(yīng)的極徑分別為1，2，將l的極坐標(biāo)方程代入C的極坐標(biāo)方程得212cos 110.于是1212cos ，1211.|AB|12|.由|AB|得cos2，tan .所以l的斜率為或.2(2015江蘇)已知圓C的極坐標(biāo)方程為22sin40，求圓C的半徑解以極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，以極軸為x軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系xOy.圓C的極坐標(biāo)方程為2240，化簡，得22sin 2cos 40.則圓C的直角坐標(biāo)方程為x2y22x2y40，即(x1)2(y1)26，所以圓C的半徑為.高考必會(huì)題型題型一極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸正半軸作為極軸，且在兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位如圖，設(shè)M是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)分別為(x，y)和(，)，則例1在極坐標(biāo)系中，曲線C1：(cossin )1與曲線C2：a(a>0)的一個(gè)交點(diǎn)在極軸上，求a的值解(cossin )1，即cossin1對(duì)應(yīng)的普通方程為xy10，a(a>0)對(duì)應(yīng)的普通方程為x2y2a2.在xy10中，令y0，得x.將代入x2y2a2得a.點(diǎn)評(píng)(1)在由點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)時(shí)，一定要注意點(diǎn)所在的象限和極角的范圍，否則點(diǎn)的極坐標(biāo)將不唯一(2)在與曲線的方程進(jìn)行互化時(shí)，一定要注意變量的范圍，要注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性變式訓(xùn)練1在以O(shè)為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系中，直線l與曲線C的極坐標(biāo)方程分別是cos()3和sin28cos ，直線l與曲線C交于點(diǎn)A、B，求線段AB的長解cos()coscossinsincossin3，直線l對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)方程為xy6.又sin28cos ，2sin28cos .曲線C對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)方程是y28x.解方程組得或所以A(2，4)，B(18,12)，所以AB16.即線段AB的長為16.題型二參數(shù)方程與普通方程的互化1直線的參數(shù)方程過定點(diǎn)M(x0，y0)，傾斜角為的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))2圓的參數(shù)方程圓心在點(diǎn)M(x0，y0)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為(為參數(shù)，02)3圓錐曲線的參數(shù)方程(1)橢圓1的參數(shù)方程為(為參數(shù))(2)拋物線y22px(p>0)的參數(shù)方程為(t為參數(shù))例2(2015福建)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))在極坐標(biāo)系(與平面直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸為極軸)中，直線l的方程為sinm(mR)(1)求圓C的普通方程及直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)圓心C到直線l的距離等于2，求m的值解(1)消去參數(shù)t，得到圓C的普通方程為(x1)2(y2)29.由sinm，得sincosm0.所以直線l的直角坐標(biāo)方程為xym0.(2)依題意，圓心C到直線l的距離等于2，即2，解得m32.點(diǎn)評(píng)(1)將參數(shù)方程化為普通方程，需要根據(jù)參數(shù)方程的結(jié)構(gòu)特征，選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒ǔＲ姷南麉⒎椒ㄓ写胂麉⒎?，加減消參法，平方消參法等(2)將參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，要注意兩種方程的等價(jià)性，不要增解、漏解，若x、y有范圍限制，要標(biāo)出x、y的取值范圍變式訓(xùn)練2已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，P是橢圓y21上的任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l的距離的最大值解由于直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，故直線l的普通方程為x2y0.因?yàn)镻為橢圓y21上的任意一點(diǎn)，故可設(shè)P(2cos ，sin )，其中R.因此點(diǎn)P到直線l的距離是d.所以當(dāng)k，kZ時(shí)，d取得最大值.題型三極坐標(biāo)、參數(shù)方程的綜合應(yīng)用解決與圓、圓錐曲線的參數(shù)方程有關(guān)的綜合問題時(shí)，要注意普通方程與參數(shù)方程的互化公式，主要是通過互化解決與圓、圓錐曲線上動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的問題，如最值、范圍等例3(2015課標(biāo)全國)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：(t為參數(shù)，t0)，其中0，在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：2sin ，曲線C3：2cos .(1)求C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；(2)若C1與C2相交于點(diǎn)A，C1與C3相交于點(diǎn)B，求|AB|的最大值解(1)曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2y22y0，曲線C3的直角坐標(biāo)方程為x2y22x0.聯(lián)立解得或所以C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0,0)和.(2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為(R，0)，其中0.因此A的極坐標(biāo)為(2sin ，)，B的極坐標(biāo)為(2cos ，)所以|AB|2sin 2cos |4.當(dāng)時(shí)，|AB|取得最大值，最大值為4.點(diǎn)評(píng)(1)利用參數(shù)方程解決問題，要理解參數(shù)的幾何意義(2)解決直線、圓和圓錐曲線的有關(guān)問題，將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程或?qū)?shù)方程化為普通方程，有助于對(duì)方程所表示的曲線的認(rèn)識(shí)，從而達(dá)到化陌生為熟悉的目的，這是轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用變式訓(xùn)練3(2015陜西)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，C的極坐標(biāo)方程為2sin .(1)寫出C的直角坐標(biāo)方程；(2)P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P到圓心C的距離最小時(shí)，求P的直角坐標(biāo)解(1)由2sin ，得22sin ，從而有x2y22y，所以x2(y)23.(2)設(shè)P，又C(0，)，則|PC|，故當(dāng)t0時(shí)，|PC|取得最小值，此時(shí)，P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(3,0)高考題型精練1已知圓的極坐標(biāo)方程為4cos ，圓心為C，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(4，)，求CP的長解由4cos 得24cos ，即x2y24x，即(x2)2y24，圓心C(2,0)，又由點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(4，)可得點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(2,2)，CP2.2(2015安徽改編)在極坐標(biāo)系中，求圓8sin 上的點(diǎn)到直線(R)距離的最大值解圓8sin 化為直角坐標(biāo)方程為x2y28y0，即x2(y4)216，直線(R)化為直角坐標(biāo)方程為yx，結(jié)合圖形知圓上的點(diǎn)到直線的最大距離可轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離再加上半徑圓心(0,4)到直線yx的距離為2，又圓的半徑r4，所以圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為6.3在極坐標(biāo)系中，已知三點(diǎn)M(2，)、N(2,0)、P(2，)(1)將M、N、P三點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)；(2)判斷M、N、P三點(diǎn)是否在一條直線上解(1)由公式得M的直角坐標(biāo)為(1，)；N的直角坐標(biāo)為(2,0)；P的直角坐標(biāo)為(3，)(2)kMN，kNP.kMNkNP，M、N、P三點(diǎn)在一條直線上4(2015重慶改編)已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為2cos 24，求直線l與曲線C的交點(diǎn)的極坐標(biāo)解直線l的直角坐標(biāo)方程為yx2，由2cos 24得2(cos2sin2)4，直角坐標(biāo)方程為x2y24，把yx2代入雙曲線方程解得x2，因此交點(diǎn)為(2,0)，其極坐標(biāo)為(2，)5以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位已知直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，圓C的極坐標(biāo)方程是4cos ，求直線l被圓C截得的弦長解直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))化為直角坐標(biāo)方程是yx4，圓C的極坐標(biāo)方程4cos 化為直角坐標(biāo)方程是x2y24x0.圓C的圓心(2,0)到直線xy40的距離為d.又圓C的半徑r2，因此直線l被圓C截得的弦長為22.6(2016江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，橢圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))設(shè)直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長解直線l的方程化為普通方程為xy0，橢圓C的方程化為普通方程為x21，聯(lián)立方程組得解得或A(1,0)，B.故AB.7(2015湖南)已知直線l：(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為2cos .(1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(5，)，直線l與曲線C的交點(diǎn)為A，B，求|MA|MB|的值解(1)2cos 等價(jià)于22cos .將2x2y2，cosx代入即得曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2y22x0.(2)將代入式，得t25t180.設(shè)這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)根分別為t1，t2，則由參數(shù)t的幾何意義即知，|MA|MB|t1t2|18.8已知直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，圓C的極坐標(biāo)方程為4cos.(1)將圓C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)若圓上有且僅有三個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為，求實(shí)數(shù)a的值解(1)由4cos，得4cos 4sin .即24cos 4sin .由得x2y24x4y0，得(x2)2(y2)28.所以圓C的直角坐標(biāo)方程為(x2)2(y2)28.(2)直線l的參數(shù)方程可化為y2xa，則由圓的半徑為2知，圓心(2，2)到直線y2xa的距離恰好為.所以，解得a6.