高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 第四篇 回歸教材 糾錯(cuò)分析5 立體幾何練習(xí) 理
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5．立體幾何 1．幾何體的三視圖排列規(guī)則：俯視圖放在正(主)視圖下面，側(cè)(左)視圖放在正(主)視圖右面，“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等．” 由幾何體的三視圖確定幾何體時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)： (1)還原后的幾何體一般為較熟悉的柱、錐、臺(tái)、球的組合體． (2)注意圖中實(shí)、虛線(xiàn)，實(shí)際是原幾何體中的可視線(xiàn)與被遮擋線(xiàn)． (3)想象原形，并畫(huà)出草圖后進(jìn)行三視圖還原，把握三視圖和幾何體之間的關(guān)系，與所給三視圖比較，通過(guò)調(diào)整準(zhǔn)確畫(huà)出原幾何體． [問(wèn)題1] 如圖，若一個(gè)幾何體的正(主)視圖、側(cè)(左)視圖、俯視圖均為面積等于2的等腰直角三角形，則該幾何體的體積為_(kāi)_______． 答案 2．空間幾何體表面積和體積的求法 幾何體的表面積是各個(gè)面的面積之和，組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理，求幾何體的體積常用公式法、割補(bǔ)法、等積變換法． [問(wèn)題2] 如圖所示，一個(gè)空間幾何體的正(主)視圖和俯視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)(左)視圖是一個(gè)直徑為1的圓，那么這個(gè)幾何體的表面積為( ) A．4π B．3π C．2π D.π 答案 D 3．空間平行問(wèn)題的轉(zhuǎn)化關(guān)系 平行問(wèn)題的核心是線(xiàn)線(xiàn)平行，證明線(xiàn)線(xiàn)平行的常用方法有：三角形的中位線(xiàn)、平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例(三角形相似)、平行四邊形等． [問(wèn)題3] 判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫(huà)“√”號(hào)，錯(cuò)誤的畫(huà)“”號(hào)． (1)如果a，b是兩條直線(xiàn)，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過(guò)b的任何平面．( ) (2)如果直線(xiàn)a和平面α滿(mǎn)足a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線(xiàn)平行．( ) (3)如果直線(xiàn)a，b和平面α滿(mǎn)足a∥α，b∥α，那么a∥b.( ) (4)如果直線(xiàn)a，b和平面α滿(mǎn)足a∥b，a∥α，b?α，那么b∥α.( ) 答案 (1) (2) (3) (4)√ 4．空間垂直問(wèn)題的轉(zhuǎn)化關(guān)系 垂直問(wèn)題的核心是線(xiàn)線(xiàn)垂直，證明線(xiàn)線(xiàn)垂直的常用方法有： 等腰三角形底邊上的中線(xiàn)、勾股定理、平面幾何方法等． [問(wèn)題4] 已知兩個(gè)平面垂直，下列命題 ①一個(gè)平面內(nèi)已知直線(xiàn)必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線(xiàn)； ②一個(gè)平面內(nèi)的已知直線(xiàn)必垂直于另一個(gè)平面的無(wú)數(shù)條直線(xiàn)； ③一個(gè)平面內(nèi)的任一條直線(xiàn)必垂直于另一個(gè)平面； ④過(guò)一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線(xiàn)的垂線(xiàn)，則此垂線(xiàn)必垂直于另一個(gè)平面． 其中正確命題的個(gè)數(shù)是( ) A．3 B．2 C．1 D．0 答案 C 5．多面體與球接、切問(wèn)題的求解策略 (1)涉及球與棱柱、棱錐的接、切問(wèn)題時(shí)，一般過(guò)球心及多面體中的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線(xiàn)作截面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫(huà)內(nèi)接、外切的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解． (2)若球面上四點(diǎn)P，A，B，C構(gòu)成的三條線(xiàn)段PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長(zhǎng)方體，則4R2＝a2＋b2＋c2求解． [問(wèn)題5] 一個(gè)球與一個(gè)正三棱柱的三個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面都相切，已知這個(gè)球的體積是，那么這個(gè)三棱柱的體積是( ) A．96 B．16 C．24 D．48 答案 D 解析 如圖，設(shè)球的半徑為R，由πR3＝，得R＝2. 所以正三棱柱的高h(yuǎn)＝4. 設(shè)其底面邊長(zhǎng)為a， 則a＝2， 所以a＝4， 所以V＝(4)24＝48. 6．求平面的法向量的方法 (1)性質(zhì)法：根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定找出與平面垂直的直線(xiàn)，則此直線(xiàn)的方向向量就是平面的法向量． (2)賦值法：在平面內(nèi)取兩個(gè)不共線(xiàn)向量，設(shè)出平面的法向量建立方程組，通過(guò)賦值求出其中的一個(gè)法向量． 7．“轉(zhuǎn)化法”求空間角 (1)設(shè)兩條異面直線(xiàn)a，b所成的角為θ，兩條直線(xiàn)的方向向量分別為a，b. 因?yàn)棣取?0，]，故有cos θ＝|cos〈a，b〉|＝||. (2)設(shè)直線(xiàn)l和平面α所成的角為θ，l是斜線(xiàn)l的方向向量，n是平面α的法向量，則sin θ＝|cos〈l，n〉|＝||. (3)設(shè)二面角α—l—β的大小為θ，n1，n2是二面角α—l—β的兩個(gè)半平面的法向量，則|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，兩個(gè)角之間的關(guān)系需要根據(jù)二面角的取值范圍來(lái)確定． [問(wèn)題6] 在三棱錐P—ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，點(diǎn)O，D分別是AC，PC的中點(diǎn)，OP⊥底面ABC，求直線(xiàn)PA與平面PBC所成角的正弦值． 解 ∵OP⊥平面ABC，OA＝OC，AB＝BC， ∴OA⊥OB，OA⊥OP，OB⊥OP. 以O(shè)為原點(diǎn)，射線(xiàn)OP為z軸正方向，OA為x軸正方向，OB為y軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz(如圖)． 設(shè)AB＝a，則A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)， 設(shè)OP＝h，則P(0,0，h)，由PA＝AB，則PA＝2a， 則P＝(0,0, a)，＝( a,0，－ a)． 可求得平面PBC的一個(gè)法向量為n＝(1，－1，－)， ∴cos〈，n〉＝＝， 設(shè)PA與平面PBC所成的角為θ， 則sin θ＝|cos〈，n〉|＝. 8．求點(diǎn)到平面的距離的方法 (1)“等積法”：求解點(diǎn)到面的距離常轉(zhuǎn)化為錐體的高，利用三棱錐體積公式求點(diǎn)到平面的距離． (2)“向量法”：如圖，設(shè)P在平面α外，n為平面α的法向量，在平面α內(nèi)任取一點(diǎn)Q，則點(diǎn)P到平面α的距離d＝. [問(wèn)題7] 正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，O是底面A1B1C1D1的中心，則點(diǎn)O到平面ABC1D1的距離為_(kāi)_______． 答案 解析 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，C1(0,1,1)，O. 設(shè)平面ABC1D1的法向量為 n＝(x，y，z)，則 ∴ 令z＝1，得∴n＝(1,0,1)， 又＝， ∴O到平面ABC1D1的距離d＝＝＝. 易錯(cuò)點(diǎn)1 三視圖識(shí)圖不準(zhǔn) 例1 如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為_(kāi)_______． 易錯(cuò)分析 解本題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有：(1)還原空間幾何體的形狀時(shí)出錯(cuò)，不能正確判斷其對(duì)應(yīng)的幾何體；(2)計(jì)算時(shí)不能準(zhǔn)確把三視圖中的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)幾何體中的線(xiàn)段長(zhǎng)度，尤其側(cè)視圖中的數(shù)據(jù)處理很容易出錯(cuò)． 解析 該幾何體為一個(gè)四棱錐，如圖所示． CD⊥底面PAD，BA⊥底面PAD， PA⊥AD，PA＝AD＝CD＝2，AB＝1. PC＝2，PB＝，BC＝. ∴S△PBC＝2＝. 該幾何體的表面積 S＝＋21＋22＋22＋＝6＋2＋. 答案 6＋2＋ 易錯(cuò)點(diǎn)2 旋轉(zhuǎn)體辨識(shí)不清 例2 如圖所示(單位：cm)，求圖中陰影部分繞AB旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積． 易錯(cuò)分析 注意這里是旋轉(zhuǎn)圖中的陰影部分，不是旋轉(zhuǎn)梯形ABCD.在旋轉(zhuǎn)的時(shí)候邊界形成一個(gè)圓臺(tái)，并在上面挖去了一個(gè)“半球”，其體積應(yīng)是圓臺(tái)的體積減去半球的體積．解本題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是誤以為旋轉(zhuǎn)的是梯形ABCD，在計(jì)算時(shí)沒(méi)有減掉半球的體積． 解 由題圖中數(shù)據(jù)，根據(jù)圓臺(tái)和球的體積公式，得 V圓臺(tái)＝π(22＋25＋52)4＝52π(cm3)， V半球＝π23＝π(cm3)． 所以旋轉(zhuǎn)體的體積為 V圓臺(tái)－V半球＝52π－π＝π(cm3)． 易錯(cuò)點(diǎn)3 線(xiàn)面關(guān)系把握不準(zhǔn) 例3 設(shè)a，b為兩條直線(xiàn)，α，β為兩個(gè)平面，且a?α，a?β，則下列結(jié)論中不成立的是( ) A．若b?β，a∥b，則a∥β B．若a⊥β，α⊥β，則a∥α C．若a⊥b，b⊥α，則a∥α D．若α⊥β，a⊥β，b∥a，則b∥α 易錯(cuò)分析 本題易出現(xiàn)的問(wèn)題就是對(duì)空間點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系把握不準(zhǔn)，考慮問(wèn)題不全面，不能準(zhǔn)確把握題中的前提——a?α，a?β，對(duì)空間中的平行、垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理中的條件把握不準(zhǔn)導(dǎo)致判斷失誤．如A項(xiàng)中忽視已知條件中的a?β，誤以為該項(xiàng)錯(cuò)誤等． 解析 對(duì)于選項(xiàng)A，若有b?β，a∥b，且已知a?β，所以根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理可得a∥β，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，若a⊥β，α⊥β，則根據(jù)空間線(xiàn)面位置關(guān)系可知a?α或a∥α，而由已知可知a?α，所以有a∥α，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，若a⊥b，b⊥α，所以a?α或a∥α，而由已知可得a?α，所以a∥α，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，由a⊥β，b∥a可得b⊥β，又因?yàn)棣痢挺?，所以b?α或b∥α，故不能得到b∥α，所以選項(xiàng)D錯(cuò)，故選D. 答案 D 易錯(cuò)點(diǎn)4 線(xiàn)面關(guān)系論證不嚴(yán)謹(jǐn) 例4 在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為DD1，DB的中點(diǎn)． (1)求證：EF∥平面ABC1D1； (2)求證：EF⊥B1C. 易錯(cuò)分析 利用空間線(xiàn)面關(guān)系的判定或性質(zhì)定理證題時(shí)，推理論證一定要嚴(yán)格按照定理中的條件進(jìn)行，否則出現(xiàn)證明過(guò)程不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膯?wèn)題． 證明 (1)連接BD1，如圖所示． 在△DD1B中，E，F(xiàn)分別為DD1，DB的中點(diǎn)，則 ?EF∥平面ABC1D1. (2)ABCD—A1B1C1D1為正方體?AB⊥平面BCC1B1 ? ?EF⊥B1C. 易錯(cuò)點(diǎn)5 混淆空間角與向量夾角 例5 如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120，E，F(xiàn)分別為AC，DC的中點(diǎn)． (1)求證：EF⊥BC； (2)求二面角E—BF—C的正弦值． 易錯(cuò)分析 本題易錯(cuò)點(diǎn)在于認(rèn)為兩個(gè)平面法向量的夾角等于所求二面角的大小．根據(jù)向量計(jì)算出二面角的余弦值的絕對(duì)值后，其大小還要通過(guò)二面角的取值范圍確定． (1)證明 由題意，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，在平面DBC內(nèi)過(guò)B作垂直BC的直線(xiàn)為x軸，BC所在直線(xiàn)為y軸，在平面ABC內(nèi)過(guò)B作垂直BC的直線(xiàn)為z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系． 易得B(0,0,0)，A(0，－1，)，D(，－1,0)，C(0,2,0)， 因而E(0，，)，F(xiàn)(，，0)， 所以＝(，0，－)，＝(0,2,0)， 因此＝0. 從而⊥，所以EF⊥BC. (2)解 在圖中，平面BFC的一個(gè)法向量為n1＝(0,0,1)． 設(shè)平面BEF的法向量為n2＝(x，y，z)． 又＝(，，0)，＝(0，，)， 由得其中一個(gè)法向量n2＝(1，－，1)． 設(shè)二面角E—BF—C的大小為θ，且由題意知θ為銳角， 則cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝||＝. 因此sin θ＝＝，即所求二面角的正弦值為. 1．已知m，n為空間中兩條不同的直線(xiàn)，α，β為空間中兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是( ) A．若m∥α，m∥β，則α∥β B．若m⊥α，m⊥n，則n∥α C．若m∥α，m∥n，則n∥α D．若m⊥α，m∥β，則α⊥β 答案 D 解析 對(duì)于選項(xiàng)A，若m∥α，m∥β，則可能α，β相交，或者α∥β，所以選項(xiàng)A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B，若m⊥α，m⊥n，則可能n?α，或n∥α，所以選項(xiàng)B不正確；對(duì)于選項(xiàng)C，若m∥α，m∥n，則n?α，或n∥α，所以選項(xiàng)C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D，若m⊥α，m∥β，則由線(xiàn)面平行可得在平面β內(nèi)存在一條直線(xiàn)l，使得m∥l，然后由m⊥α可得l⊥α，進(jìn)而得出α⊥β，故應(yīng)選D. 2．(2015浙江)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積是( ) A．8 cm3 B．12 cm3 C. cm3 D. cm3 答案 C 解析 該幾何體是棱長(zhǎng)為2 cm的正方體與一底面邊長(zhǎng)為2 cm的正方形、高為2 cm的正四棱錐組成的組合體， V＝222＋222＝ cm3.故選C. 3．如圖，已知△ABC為直角三角形，其中∠ACB＝90，M為AB的中點(diǎn)，PM垂直于△ABC所在平面，那么( ) A．PA＝PB>PC B．PA＝PB下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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