高二數學下學期期中試題 理

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沁縣中學2015～2016學年第二學期期中考試試題 高二數學（理） 分值：150分 時間：120分 一、選擇題（每小題5分，共60分。每小題給出的四個選項中只有一個選項符合題目要求） 1．復數z＝(i為虛數單位)在復平面內對應的點所在象限為(　　) A．第一象限　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．設函數是函數的導函數，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的是 （ ） 3．下列計算錯誤的是(　　) A． B． C． D． 4．觀察式子：1＋＜，1＋＋＜，1＋＋＋＜，…，則可歸納出一般式子為(　　) A． 1＋＋＋…＋＜(n≥2) B． 1＋＋＋…＋＜(n≥2) C． 1＋＋＋…＋＜(n≥2) D． 1＋＋＋…＋＜(n≥2) 5．用反證法證明某命題時，對其結論：“自然數中恰有一個偶數”正確的反設 為（　?。? Ａ．都是奇數 Ｂ．都是偶數 Ｃ．中至少有兩個偶數 Ｄ．中至少有兩個偶數或都是奇數 6.滿足條件|z－i|＝|3－4i|的復數z在復平面上對應點的軌跡是(　　) A．一條直線 B．兩條直線 C．圓 D．橢圓 7．曲線處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為（ ） A． B． C． D． 8. 設函數，其中，則導數的取值范圍是（ ） A．[-2，2] B．[，] C．[，2] D．[，2] 9. 已知a、b、c、d是實數，e是自然對數的底數， 且eb=2a﹣1，d=2c+3， 則（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值為( ) A．4 B．5 C．6 D．7 10. 用數學歸納法證明1＋2＋3＋…＋n2＝，則當n＝k＋1時左端應在n＝k的基礎上加上(　　)． A．k2＋1 B. C．(k＋1)2 D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2 11.已知函數f（x）=3x3﹣ax2+x﹣5在區(qū)間[1，2]上單調遞增，則a的取值范圍是( ) A．（﹣∞，5] B．（﹣∞，5） C． D．（﹣∞，3] 12．設是定義在上的奇函數，且，當時，有恒成立，則不等式的解集為 （ ） A． B． C． D． 2、 填空題（每小題3分，共12分） 13.在△ABC中，D為BC的中點，則=（+）將命題類比到空間：在三棱錐A﹣BCD中，G為△BCD的重心，則= ． 14.(＋x)dx＝________. 15．函數的圖像如圖所示，為的導數， 則a=，b=， 的最大值 是　　　　　　　　?。? 16． 已知函數在R上滿足，則曲線在點處的切線方程是 . 三、解答題（本大題共6小題,共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．） 17．（本小題10分）求證：(1); (2) +>+。 18．（本小題12分）在數列中，，，。 （Ⅰ）計算，，的值； （Ⅱ）猜想數列的通項公式，并用數學歸納法加以證明. 19．（本小題滿分12分） 20．(本小題滿分12分) 設，曲線在處的切線與直線x＝0垂直． （1）求的值； （2）求函數的極值. 21. （本小題滿分12分） 對于企業(yè)來說，生產成本、銷售收入和利潤之間的關系是個重要的問題.對一家藥品生產企業(yè)的研究表明：該企業(yè)的生產成本（單位：萬元）和生產收入（單位：萬元）都是產量（單位：）的函數，它們分別為和. （1）試求出該企業(yè)獲得的生產利潤（單位：萬元）與產量之間的函數關系式； （2）當產量為多少時，該企業(yè)可獲得最大利潤？最大利潤為多少？ 22. （本小題共12分） 已知函數，． （Ⅰ）求函數的單調區(qū)間； （Ⅱ）若函數在區(qū)間的最小值為，求的值． 沁縣中學2015～2016學年度第二學期期中考試試題 高二數學（理）答題卡 二、填空題：本大題共4小題,每小題5分,共20分.將答案填在答卷紙上. 13. . 14. . 15．________ _____。 16．_________. 三、解答題：（本大題共6小題,共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．） 17、（本小題滿分10分） （1） （2） 18．（本小題滿分12分） 19．（本小題滿分12分）． 20．（本小題滿分12分） 21．(本小題滿分12分) （1） （2） 22．(本小題滿分12分) (1) (2) 沁縣中學2015～2016學年度第二學期期中考試試題 高二數學（理）答案 17.證明：（1） ∵,，將此三式相加得 ,∴原式成立 5分 （2）要證原不等式成立，只需證（+）>（2+） 即證?！呱鲜斤@然成立, ∴原不等式成立. 10分 18.（Ⅰ）解：由題意，得， （Ⅱ）解：由，猜想 以下用數學歸納法證明：對任何的。 證明：①當時，由已知，左邊，右邊，等式成立。 ②假設當時，成立， 則時， 所以當時，猜想也成立。 根據①和②，可知猜想對于任何都成立。 . 20. .解：(1) 因為f(x)在x＝1處的切線與直線x=0垂直， 所以所以a＝-1．…… …………………..4分 (2)函數的定義域為 ， 令得：（舍去） 當時，f (x)＜0，在上是減函數； 當時，f (x)＞0，在上是增函數 所以，函數f(x)在x =1處有極小值3．………………………………………….12分 (注：若沒有舍去，而得函數有極大值，扣去3分) 21. 【解析】（1） ……………………………………………………………2分 即……………………………4分（注：不寫定義域“”扣1分） （2） ……………………………………………………5分 令，得 或……………………………………………………………………………………6分 當變化時，的變化情況如下表： 極小值 極大值 由上表可知：是函數的唯一極大值點，也是最大值點.所以，當時，取得取最大值.…………………………………………………………………………………………………………11分 答：當產量為15時，該企業(yè)可獲得最大利潤，最大利潤為萬元. ……………………12分 22（本小題滿分12分） 解：函數的定義域是， ． （Ⅰ）（1）當時，，故函數在上單調遞減． （2）當時，恒成立，所以函數在上單調遞減． （3）當時，令，又因為，解得． ①當時，，所以函數在單調遞減． ②當時，，所以函數在單調遞增． 綜上所述，當時，函數的單調減區(qū)間是， 當時，函數的單調減區(qū)間是，單調增區(qū)間為．…6分 （Ⅱ）（1）當時，由（Ⅰ）可知，在上單調遞減， 所以的最小值為，解得，舍去． （2）當時，由（Ⅰ）可知， ①當，即時，函數在上單調遞增， 所以函數的最小值為，解得． ②當，即時，函數在上單調遞減， 在上單調遞增，所以函數的最小值為， 解得，舍去． ③當，即時，函數在上單調遞減， 所以函數的最小值為，得，舍去． 綜上所述，． ……………12分