高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 理

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沁縣中學(xué)2015～2016學(xué)年第二學(xué)期期中考試試題 高二數(shù)學(xué)（理） 分值：150分 時間：120分 一、選擇題（每小題5分，共60分。每小題給出的四個選項中只有一個選項符合題目要求） 1．復(fù)數(shù)z＝(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在象限為(　　) A．第一象限　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．設(shè)函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的是 （ ） 3．下列計算錯誤的是(　　) A． B． C． D． 4．觀察式子：1＋＜，1＋＋＜，1＋＋＋＜，…，則可歸納出一般式子為(　　) A． 1＋＋＋…＋＜(n≥2) B． 1＋＋＋…＋＜(n≥2) C． 1＋＋＋…＋＜(n≥2) D． 1＋＋＋…＋＜(n≥2) 5．用反證法證明某命題時，對其結(jié)論：“自然數(shù)中恰有一個偶數(shù)”正確的反設(shè) 為（　　） Ａ．都是奇數(shù) Ｂ．都是偶數(shù) Ｃ．中至少有兩個偶數(shù) Ｄ．中至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù) 6.滿足條件|z－i|＝|3－4i|的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)的軌跡是(　　) A．一條直線 B．兩條直線 C．圓 D．橢圓 7．曲線處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為（ ） A． B． C． D． 8. 設(shè)函數(shù)，其中，則導(dǎo)數(shù)的取值范圍是（ ） A．[-2，2] B．[，] C．[，2] D．[，2] 9. 已知a、b、c、d是實(shí)數(shù)，e是自然對數(shù)的底數(shù)， 且eb=2a﹣1，d=2c+3， 則（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值為( ) A．4 B．5 C．6 D．7 10. 用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋3＋…＋n2＝，則當(dāng)n＝k＋1時左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上加上(　　)． A．k2＋1 B. C．(k＋1)2 D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2 11.已知函數(shù)f（x）=3x3﹣ax2+x﹣5在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是( ) A．（﹣∞，5] B．（﹣∞，5） C． D．（﹣∞，3] 12．設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時，有恒成立，則不等式的解集為 （ ） A． B． C． D． 2、 填空題（每小題3分，共12分） 13.在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，則=（+）將命題類比到空間：在三棱錐A﹣BCD中，G為△BCD的重心，則= ． 14.(＋x)dx＝________. 15．函數(shù)的圖像如圖所示，為的導(dǎo)數(shù)， 則a=，b=， 的最大值 是　　　　　　　　?。? 16． 已知函數(shù)在R上滿足，則曲線在點(diǎn)處的切線方程是 . 三、解答題（本大題共6小題,共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．） 17．（本小題10分）求證：(1); (2) +>+。 18．（本小題12分）在數(shù)列中，，，。 （Ⅰ）計算，，的值； （Ⅱ）猜想數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明. 19．（本小題滿分12分） 20．(本小題滿分12分) 設(shè)，曲線在處的切線與直線x＝0垂直． （1）求的值； （2）求函數(shù)的極值. 21. （本小題滿分12分） 對于企業(yè)來說，生產(chǎn)成本、銷售收入和利潤之間的關(guān)系是個重要的問題.對一家藥品生產(chǎn)企業(yè)的研究表明：該企業(yè)的生產(chǎn)成本（單位：萬元）和生產(chǎn)收入（單位：萬元）都是產(chǎn)量（單位：）的函數(shù)，它們分別為和. （1）試求出該企業(yè)獲得的生產(chǎn)利潤（單位：萬元）與產(chǎn)量之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）當(dāng)產(chǎn)量為多少時，該企業(yè)可獲得最大利潤？最大利潤為多少？ 22. （本小題共12分） 已知函數(shù)，． （Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間的最小值為，求的值． 沁縣中學(xué)2015～2016學(xué)年度第二學(xué)期期中考試試題 高二數(shù)學(xué)（理）答題卡 二、填空題：本大題共4小題,每小題5分,共20分.將答案填在答卷紙上. 13. . 14. . 15．________ _____。 16．_________. 三、解答題：（本大題共6小題,共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．） 17、（本小題滿分10分） （1） （2） 18．（本小題滿分12分） 19．（本小題滿分12分）． 20．（本小題滿分12分） 21．(本小題滿分12分) （1） （2） 22．(本小題滿分12分) (1) (2) 沁縣中學(xué)2015～2016學(xué)年度第二學(xué)期期中考試試題 高二數(shù)學(xué)（理）答案 17.證明：（1） ∵,，將此三式相加得 ,∴原式成立 5分 （2）要證原不等式成立，只需證（+）>（2+） 即證?！呱鲜斤@然成立, ∴原不等式成立. 10分 18.（Ⅰ）解：由題意，得， （Ⅱ）解：由，猜想 以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：對任何的。 證明：①當(dāng)時，由已知，左邊，右邊，等式成立。 ②假設(shè)當(dāng)時，成立， 則時， 所以當(dāng)時，猜想也成立。 根據(jù)①和②，可知猜想對于任何都成立。 . 20. .解：(1) 因為f(x)在x＝1處的切線與直線x=0垂直， 所以所以a＝-1．…… …………………..4分 (2)函數(shù)的定義域為 ， 令得：（舍去） 當(dāng)時，f (x)＜0，在上是減函數(shù)； 當(dāng)時，f (x)＞0，在上是增函數(shù) 所以，函數(shù)f(x)在x =1處有極小值3．………………………………………….12分 (注：若沒有舍去，而得函數(shù)有極大值，扣去3分) 21. 【解析】（1） ……………………………………………………………2分 即……………………………4分（注：不寫定義域“”扣1分） （2） ……………………………………………………5分 令，得 或……………………………………………………………………………………6分 當(dāng)變化時，的變化情況如下表： 極小值 極大值 由上表可知：是函數(shù)的唯一極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn).所以，當(dāng)時，取得取最大值.…………………………………………………………………………………………………………11分 答：當(dāng)產(chǎn)量為15時，該企業(yè)可獲得最大利潤，最大利潤為萬元. ……………………12分 22（本小題滿分12分） 解：函數(shù)的定義域是， ． （Ⅰ）（1）當(dāng)時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減． （2）當(dāng)時，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減． （3）當(dāng)時，令，又因為，解得． ①當(dāng)時，，所以函數(shù)在單調(diào)遞減． ②當(dāng)時，，所以函數(shù)在單調(diào)遞增． 綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是， 當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間為．…6分 （Ⅱ）（1）當(dāng)時，由（Ⅰ）可知，在上單調(diào)遞減， 所以的最小值為，解得，舍去． （2）當(dāng)時，由（Ⅰ）可知， ①當(dāng)，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞增， 所以函數(shù)的最小值為，解得． ②當(dāng)，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減， 在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的最小值為， 解得，舍去． ③當(dāng)，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減， 所以函數(shù)的最小值為，得，舍去． 綜上所述，． ……………12分