高三數(shù)學(xué)12月月考試題 理1 (2)

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成都經(jīng)開區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)2014級(jí)高三上期12月月考試題 數(shù) 學(xué)（理工類） 本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇），考生作答時(shí)，須將答案答答題卡上，在本試卷、草稿紙上答題無效。滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。 第Ⅰ卷(選擇題，共60分) 注意事項(xiàng)： 1．必須使用2B鉛筆在答題卡上將所選答案對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)涂黑. 2．考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回。 1、 選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1.已知集合，，則 （ ） A. B． C． D． 2.設(shè)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，，且，則的值為（ ） A． 3 B． 1 C．-3 D．-1 3.命題“”的否定是（ ） A.“” B.“” C.“” D.“” 4. 已知是公差不為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，成等比數(shù)列，則等于（ ） A． B． C． D． 5．已知定義在上的偶函數(shù)，滿足，且在區(qū)間上是增函數(shù),那么是函數(shù)在區(qū)間上有個(gè)零點(diǎn)的( ) A．充分必要條件 B．充分不必要條件 C．既不充分也不必要條件 D．必要不充分條件 6.中，角所對(duì)的邊分別為，若，則的值為（ ） A. B. C. D. 7.如圖所示的五邊形是由一個(gè)矩形截去一個(gè)角而得，且，，，，則等于（ ） A． B． C. D． 8.已知函數(shù)（其中）的圖像與直線的2個(gè)相鄰公共點(diǎn)之間的距離等于，則的單調(diào)遞減區(qū)間是（ ） A. B. C. D. 9.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，，,且的最小值為，則等于（ ） A． 4 B． C. 5 D． 10. 已知一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示，這個(gè)空間幾何體的頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，則此球的體積與表面積之比為( ) A．31 B．13 C．41 D．32 11．已知橢圓：，左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若的最大值為5，則的值是（ ） A．1 B． C． D． 12.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程存在2個(gè)實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為（ ） A． B． C. D． 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分． 13.設(shè)滿足約束條件，則的最小值為_________. 14．已知偶函數(shù)f(x)，當(dāng) 時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)， 則 . 15.設(shè)，則_____________. 16.已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為 . 三、解答題（共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程） 17．（本小題滿分12分） 已知函數(shù) （1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間； （2）記的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c，若的面 積，求的值。 18.已知函數(shù) （1）求的最大值； （2）若，且，求的值. 19.如下圖所示，ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF，BE與平面ABCD所成的角為60. (1)求證：AC⊥平面BDE； (2)求二面角F－BE－D的余弦值； (3)設(shè)點(diǎn)M是線段BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)M的位置，使得AM∥平面BEF，并證明你的結(jié)論． 20. （本小題滿分12分） 如圖，已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，右焦點(diǎn)為，點(diǎn)分別是該橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與軸交點(diǎn)除外），直線交橢圓于另一點(diǎn)，記直線，的斜率分別為. （1）當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，求的值； （2）求的最小值，并確定此時(shí)直線的方程. 21．（本小題滿分14分） 設(shè)函數(shù)． （Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若方程在上有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （Ⅲ）證明：當(dāng)時(shí)，． 請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.作答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào). 22． (本小題滿分10分)選修4—4；坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為原點(diǎn)，以x軸正半軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2﹣4ρsinθ+3=0，直線l的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)）． （Ⅰ）寫出曲線C和直線l的直角坐標(biāo)方程； （Ⅱ）若點(diǎn)A，B是曲線C上的兩動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是直線l上一動(dòng)點(diǎn)，求∠APB的最大值． 23. （本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講 已知，為不等式的解集. （1）求； （2）求證：當(dāng)時(shí)，. 成都經(jīng)開區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)2014級(jí)高三上期12月月考試題 數(shù)學(xué)（理工類）參考答案 1—5 CBCCD 6—10 DCABB 11—12 AB 13.-2 14. 15. 16. 18.解： （Ⅰ）因?yàn)?，最大值為2； （Ⅱ）因?yàn)?，故，由得? 則，則 19.(1)∵DE⊥平面ABCD，∴DE⊥AC，∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又DE∩BD＝D，∴AC⊥平面BDE.-------------------------4分 (2)∵DE⊥平面ABCD，∴∠EBD就是BE與平面ABCD所成的角，即∠EBD＝60. ∴＝.由AD＝3，得DE＝3，AF＝. 如圖所示，分別以DA，DC，DE所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(3,0,0)，F(xiàn)(3,0，)，E(0,0,3)，B(3,3,0)，C(0,3,0)， ∴＝(0，－3，)，＝(3,0，－2)． 設(shè)平面BEF的法向量為＝(x，y，z)，則 即. 令z＝，則＝(4,2，)． ∵AC⊥平面BDE， ∴＝(3，－3,0)為平面BDE的一個(gè)法向量， ∴cos〈，〉＝＝＝. 又二面角F－BE－D為銳角，故二面角F－BE－D的余弦值為.------8分 (3)依題意，設(shè)M(t，t,0)(0≤t≤3)，則＝(t－3，t,0)， ∴AM∥平面BEF，∴＝0， 即4(t－3)＋2t＝0，解得t＝2. ∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,2,0)，此時(shí)＝， ∴點(diǎn)M是線段BD上靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn)．--------12分 20.解：（1）由橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍得.………………1分 由題意，，焦點(diǎn)，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，則直線的方程為，即，令得，則.………………3分 聯(lián)立解得或（舍），即.………………4分 因?yàn)?，，……………?分 所以.………………6分 （2）設(shè)，且，則直線的斜率為， 則直線的方程為，………………7分 聯(lián)立化簡(jiǎn)得，解得，………………8分 所以，，………………10分 則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào). 所以的最小值為. 此時(shí)直線的方程為.………………12分 21．（本小題滿分12分） 【解析】（Ⅰ）． ①時(shí)，，∴在上是增函數(shù)．-----------------1分 ②當(dāng)時(shí)，由，由， ∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. ------2分 （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 又， ---------4分 ∴． ∴當(dāng)時(shí)，方程有兩解． -----------6分 （Ⅲ）∵.∴要證：只需證 只需證：． 設(shè)， -----------8分 則． 由（Ⅰ）知在單調(diào)遞減， -----------10分 ∴，即是減函數(shù)，而． ∴，故原不等式成立． ------------12分 22【解答】解：（1）∵ρ2﹣4ρsinθ+3=0，∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為：x2+y2﹣4y+3=0，即x2+（y﹣2）2=1． ∵直線l的參數(shù)方程為，∴x﹣1+y﹣3=0，即x+y﹣4=0． （2）曲線C的圓心C（0，2）到直線l的距離d=＞1． ∴直線l與圓C相離． 過點(diǎn)P作圓C的切線，則當(dāng)A，B為切點(diǎn)時(shí)，∠APB最大． 連結(jié)OP，OA，則∠OPA=∠APB，sin∠OPA==． ∴當(dāng)OP取得最小值時(shí)，sin∠OPA取得最大值，即∠OPA的最大值為， ∴∠APB的最大值為2∠OPA=． 23.解：（1）， 當(dāng)時(shí)，由得，，舍去； 當(dāng)時(shí)，由得，，即； 當(dāng)時(shí)，由得，，即. 綜上，.………………6分 （2）∵，∴，， ∴.………………10分