高三數(shù)學上學期第三次月考試題 理5 (2)

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2016-2017學年第一學期高三（17屆）理科數(shù)學第三次月考試卷 一．選擇題（共12小題，滿分60分，每小題5分） 1．已知集合A={y|y=2x﹣1，x∈R}，B={x|y=lg（x﹣2）}，則下列結論正確的是（　?。? A．﹣1∈A B．3B C．A∪B=B D．A∩B=B 2．復數(shù)的虛部是（　?。? A．i B．﹣i C．1 D．﹣1 3．下列說法正確的是（　　） A．命題“若x2=1，則x=1”的否命題為：“若x2=1，則x≠1” B．若命題p：任意x∈R，x2﹣2x﹣1＞0，則命題￢p：存在x∈R，x2﹣2x﹣1＜0 C．命題“若α＞β，則2α＞2β”的逆否命題為真命題 D．“x=﹣1”是x2﹣5x﹣6=0的必要不充分條件 4．如圖，在△ABC中，已知，則=（　?。? A． B． C． D． 5.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（　?。? A． B． C． D．1 6．按如程序框圖，若輸出結果為170，則判斷框內應補充的條件為（　?。? A．i＞5 B．i≥7 C．i＞9 D．i≥9 7．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}，其前n項和為Sn，且Sn，an，成等差數(shù)列，則數(shù)列{an}的通項公式為（　?。? A．2n﹣3 B．2n﹣2 C．2n﹣1 D．2n﹣2+1 8．在直角坐標系中，P點的坐標為，Q是第三象限內一點，|OQ|=1且，則Q點的橫坐標為（　?。? A． B． C． D． 9．已知不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為4，則k的值為（　?。? A．1 B．﹣3 C．1或﹣3 D．0 10．定義在R上的奇函數(shù)f（x），當x≥0時， f（x）=， 則關于x的函數(shù)F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零點之和為（　?。? A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1 11．點S、A、B、C在半徑為的同一球面上，點S到平面ABC的距離為，AB=BC=CA=，則點S與△ABC中心的距離為（　?。? A． B． C．1 D． 12．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）+f′（x）＜e，f（0）=e+2（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），則不等式exf（x）＞ex+1+2的解集為（　?。? A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，e+2） C．（﹣∞，0）∪（e+2，+∞） D．（0，+∞） 　 二．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分） 13．由曲線以及直線y=1所圍成的封閉圖形的面積是　?。? 14．設x、y∈R+且=1，則x+y的最小值為　?。? 15．若函數(shù)f（x）=2|x﹣a|（a∈R）滿足f（2+x）=f（2﹣x），且f（x）在[m，+∞）上單調遞增，則實數(shù)m的最小值為　?。? 16．設函數(shù)f（x）=x2+x﹣alnx，則a＜3是函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調遞增的　　條件．（選填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”） 　 三．解答題（共6小題，滿分70分） 17．（10分）已知在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，且． ①求角A的大小．②若． 18．（12分）已知單調遞增的等比數(shù)列{an}滿足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中項． （Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）設bn=anlogan，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn． 19．（12分）如圖，在三棱錐P﹣ABC中，∠PAB=∠PAC=∠ACB=90． （1）求證：平面PBC⊥平面PAC； （2）若PA=1，AB=2，BC=，在直線AC上是否存在一點D，使得直線BD與平面PBC所成角為30？若存在，求出CD的長；若不存在，說明理由． 20．（12分）已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2． （Ⅰ）如果函數(shù)g（x）的單調遞減區(qū)間為，求函數(shù)g（x）的解析式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求函數(shù)y=g（x）的圖象在點P（﹣1，1）處的切線方程； （Ⅲ）若不等式2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．  21．（12分）（選修4﹣4：坐標系與參數(shù)方程）已知曲線C的參數(shù)方程是（φ為參數(shù)，a＞0），直線l的參數(shù)方程是（t為參數(shù)），曲線C與直線l有一個公共點在x軸上，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立坐標系． （Ⅰ）求曲線C普通方程； （Ⅱ）若點在曲線C上， 求的值． 22．（12分）已知函數(shù)f（x）=（e為自然對數(shù)的底數(shù)）． （1）若a=，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間； （2）若f（1）=1，且方程f（x）=1在（0，1）內有解，求實數(shù)a的取值范圍． 　 2016-2017學年第一學期高三（17屆）理科數(shù)學第三次月考參考答案與試題解析 　 1.D．2.C， 3C．4C，5A，6D．7 B，8A．9A．10A．11B．12A． 　 13． 14．16 15．2 16．充分不必要 17【解答】①∵cosA（sinA﹣cosA）=， ∴sinAcosA﹣cos2A=sin2A﹣（1+cos2A）=sin2A﹣cos2A﹣=， 即sin（2A﹣）=1，又A為三角形的內角，∴2A﹣=，解得：A=； ②∵a=2，S△ABC=2，sinA=，∴bcsinA=2，即bc=8①， 由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc， 即8=（b+c）2﹣24，解得：b+c=4②，聯(lián)立①②，解得：b=c=2． 　 18【解答】解：（I）設等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q ∵a3+2是a2，a4的等差中項∴2（a3+2）=a2+a4代入a2+a3+a4=28，得a3=8 ∴a2+a4=20∴∴或∵數(shù)列{an}單調遞增 ∴an=2n （II）∵an=2n∴bn==﹣n?2n∴﹣sn=12+222+…+n2n ① ∴﹣2sn=122+223+…+（n﹣1）2n+n2n+1 ②∴①﹣②得， sn=2+22+23+…+2n﹣n?2n+1=2n+1﹣n?2n+1﹣2 19【解答】證明：（1）∵∠PAB=∠PAC=90，∴PA⊥AB，PA⊥AC． ∵AB∩AC=A，∴PA⊥平面ABC．…（1分） ∵BC?平面ABC，∴BC⊥PA．…（3分） ∵∠ACB=90，∴BC⊥CA．∵PA∩CA=A，∴BC⊥平面PAC．…（5分） ∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC．…6分 解：（2）由已知及（1）所證可知，PA⊥平面ABC，BC⊥CA， ∵PA=1，AB=2，BC=． ∴以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，過C垂直于平面ABC的直線為z軸，建立如圖的空間直角坐標系C﹣xyz，則C（0，0，0），B（0，，0），P（）， ，設=（x，y，z）是平面PBC的法向量， 則，則取x=1，得=（1，0，﹣），…（9分） 設直線AC上的點D滿足，則， ∴， ∵直線BD與平面PBC所成角為30，∴， 解得，…（11分） ∴在直線AC上存在點，使得直線BD與平面PBC所成角為30．…（12分） 　 20．【解答】解：（I）g′（x）=3x2+2ax﹣1由題意3x2+2ax﹣1＜0的解集是 即3x2+2ax﹣1=0的兩根分別是．將x=1或代入方程3x2+2ax﹣1=0得a=﹣1． ∴g（x）=x3﹣x2﹣x+2．（4分） （II）由（Ⅰ）知：g′（x）=3x2﹣2x﹣1，∴g′（﹣1）=4， ∴點p（﹣1，1）處的切線斜率k=g′（﹣1）=4， ∴函數(shù)y=g（x）的圖象在點p（﹣1，1）處的切線方程為： y﹣1=4（x+1），即4x﹣y+5=0．（8分） （III）∵2f（x）≤g′（x）+2 即：2xlnx≤3x2+2ax+1對x∈（0，+∞）上恒成立 可得對x∈（0，+∞）上恒成立 設，則 令h′（x）=0，得（舍） 當0＜x＜1時，h′（x）＞0；當x＞1時，h′（x）＜0 ∴當x=1時，h（x）取得最大值﹣2∴a≥﹣2．∴a的取值范圍是[﹣2，+∞）． 　 21．【解答】解：（Ⅰ）∵直線l的參數(shù)方程是（t為參數(shù)），消去參數(shù)t得x+y=2，令y=0，得x=2． ∵曲線C的參數(shù)方程是（φ為參數(shù)，a＞0），消去參數(shù)φ得， 把點（2，0）代入上述方程得a=2．∴曲線C普通方程為． （Ⅱ）∵點在曲線C上，即A（ρ1cosθ，ρ1sinθ），，在曲線C上， ∴== = =+=． 　 22．【解答】解：（1）若a=，f（x）=（x2+bx+1）e﹣x， 則f′（x）=（2x+b）e﹣x﹣（x2+bx+1）e﹣x=﹣[x2+（b﹣2）x+1﹣b]e﹣x=﹣（x﹣1）[x﹣（1﹣b）]e﹣x， 由f′（x）=0得﹣（x﹣1）[x﹣（1﹣b）]=0，即x=1或x=1﹣b， ①若1﹣b=1，即b=0時，f′（x）=﹣（x﹣1）2e﹣x≤0，此時函數(shù)單調遞減，單調遞減區(qū)間為（﹣∞，+∞）． ②若1﹣b＞1，即b＜0時，由f′（x）=﹣（x﹣1）[x﹣（1﹣b）]e﹣x＞0得（x﹣1）[x﹣（1﹣b）]＜0，即1＜x＜1﹣b， 此時函數(shù)單調遞增，單調遞增區(qū)間為（1，1﹣b）， 由f′（x）=﹣（x﹣1）[x﹣（1﹣b）]e﹣x＜0得（x﹣1）[x﹣（1﹣b）]＞0，即x＜1，或x＞1﹣b， 此時函數(shù)單調遞減，單調遞減區(qū)間為（﹣∞，1），（1﹣b，+∞）， ③若1﹣b＜1，即b＞0時，由f′（x）=﹣（x﹣1）[x﹣（1﹣b）]e﹣x＞0得（x﹣1）[x﹣（1﹣b）]＜0，即1﹣b＜x＜1， 此時函數(shù)單調遞增，單調遞增區(qū)間為（1﹣b，1）， 由f′（x）=﹣（x﹣1）[x﹣（1﹣b）]e﹣x＜0得（x﹣1）[x﹣（1﹣b）]＞0，即x＜1﹣b，或x＞1， 此時函數(shù)單調遞減，單調遞減區(qū)間為（﹣∞，1﹣b），（1，+∞）． （2）若f（1）=1，則f（1）=（2a+b+1）e﹣1=1， 即2a+b+1=e，則b=e﹣1﹣2a，若方程f（x）=1在（0，1）內有解， 即方程f（x）=（2ax2+bx+1）e﹣x=1在（0，1）內有解，即2ax2+bx+1=ex在（0，1）內有解， 即ex﹣2ax2﹣bx﹣1=0，設g（x）=ex﹣2ax2﹣bx﹣1，則g（x）在（0，1）內有零點， 設x0是g（x）在（0，1）內的一個零點，則g（0）=0，g（1）=0，知函數(shù)g（x）在（0，x0）和（x0，1）上不可能單調遞增，也不可能單調遞減， 設h（x）=g′（x），則h（x）在（0，x0）和（x0，1）上存在零點， 即h（x）在（0，1）上至少有兩個零點，g′（x）=ex﹣4ax﹣b，h′（x）=ex﹣4a， 當a≤時，h′（x）＞0，h（x）在（0，1）上遞增，h（x）不可能有兩個及以上零點， 當a≥時，h′（x）＜0，h（x）在（0，1）上遞減，h（x）不可能有兩個及以上零點， 當＜a＜時，令h′（x）=0，得x=ln（4a）∈（0，1）， 則h（x）在（0，ln（4a））上遞減，在（ln（4a），1）上遞增，h（x）在（0，1）上存在最小值h（ln（4a））． 若h（x）有兩個零點，則有h（ln（4a））＜0，h（0）＞0，h（1）＞0， h（ln（4a））=4a﹣4aln（4a）﹣b=6a﹣4aln（4a）+1﹣e，＜a＜， 設φ（x）=x﹣xlnx+1﹣x，（1＜x＜e），則φ′（x）=﹣lnx， 令φ′（x）=﹣lnx=0，得x=， 當1＜x＜時，φ′（x）＞0，此時函數(shù)φ（x）遞增， 當＜x＜e時，φ′（x）＜0，此時函數(shù)φ（x）遞減， 則φ（x）max=φ（）=+1﹣e＜0，則h（ln（4a））＜0恒成立， 由h（0）=1﹣b=2a﹣e+2＞0，h（1）=e﹣4a﹣b＞0，得＜a＜， 當＜a＜時，設h（x）的兩個零點為x1，x2，則g（x）在（0，x1）遞增， 在（x1，x2）上遞減，在（x2，1）遞增，則g（x1）＞g（0）=0， g（x2）＜g（1）=0，則g（x）在（x1，x2）內有零點， 綜上，實數(shù)a的取值范圍是（，）．