高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 理2

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湖北省荊州市公安縣車胤中學(xué)2016-2017學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 理 注意：本試卷包含Ⅰ、Ⅱ兩卷。第Ⅰ卷為選擇題，所有答案必須用2B鉛筆涂在答題卡中相應(yīng)的位置。第Ⅱ卷為非選擇題，所有答案必須填在答題卷的相應(yīng)位置。答案寫在試卷上均無效，不予記分。 第 Ⅰ 卷 一、選擇題(本大題共12小題，共60.0分) 1.設(shè)，集合M={x|x≤3}，則下列各式中正確的是(　　) A.a?MB.a?MC.{a}?MD.{a}∈M 2.已知集合A={-1，1}，B={m|m=x+y，x∈A，y∈A}，則集合B等于（　?。? A.{-2，2}B.{-2，0，2}C.{-2，0}D.{0} 3.方程log3x+x-3=0的零點所在區(qū)間是（　?。? A.（1，2）B.（0，2）C.（3，4）D.（2，3） 4.設(shè)a=log73，b=，c=，則a，b，c的大小關(guān)系是（　?。? A.a＜b＜cB.c＜b＜aC.b＜c＜aD.b＜a＜c 5.如果函數(shù)f（x）=ax2+2x-3在區(qū)間（-∞，4）上是單調(diào)遞增的，則實數(shù)a的取值范圍是（　?。? A.B.C.D. 6.冪函數(shù)f（x）=（m2-m-1）x在（0，+∞）上是減函數(shù)，則實數(shù)m的值為（　?。? A.2B.3C.4D.5 7.設(shè)集合M=，N=，則(　　) A.M=NB.M?NC.M?ND.M∩N=Φ 8.下列函數(shù)中，其定義域和值域分別與函數(shù)y=10lgx的定義域和值域相同的是（　?。? A.y=xB.y=lgxC.y=2xD.y= 9.函數(shù)f（x）的定義域為（0，1]，則函數(shù)f（lg）的定義域為（　?。? A.[-1，4]B.[-5，-2] C.[-5，-2]∪[1，4]D.[-5，-2）∪（1，4] 10.設(shè)函數(shù)f（x）=alnx+blgx+1，則f（1）+f（2）+…+f（2014）+f（）+f（）+…+f（）=（　?。? A.4028B.4027C.2014D.2013 11.若函數(shù)f（x）=x2-4x-m+4（-1≤x＜4）有兩個零點，則m的取值范圍是（　?。? A.（0，9]B.（4，9）C.（0，4）D.[2，4] 12.對于在區(qū)間[a，b]上有意義的兩個函數(shù)f（x）和g（x），如果對于任意x∈[a，b]均有|f（x）-g（x）|≤1成立，則稱函數(shù)f（x）和g（x）在區(qū)間[a，b]上是接近的．若f（x）=log2（ax+1）與g（x）=log2x在區(qū)[1，2]上是接近的，則實數(shù)a的取值范圍是（　?。? A.[[0，1]B.[2，3]C.[0，2）D.（1，4） 二、填空題(本大題共4小題，共20.0分) 13.定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+4）=f（x），當x∈[0，2]，f（x）=3x，則f（-9）= ______ ． 14.已知y=f（x）在定義域（-1，1）上是減函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，且f（1-a）+f（1-2a）＜0，則a的取值范圍是 ______ ． 15.已知是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是 ______ ． 16.給出下列結(jié)論：①y=1是冪函數(shù)； ②定義在R上的奇函數(shù)y=f（x）滿足f（0）=0 ③函數(shù)是奇函數(shù) ④當a＜0時， ⑤函數(shù)y=1的零點有2個； 其中正確結(jié)論的序號是 ______ （寫出所有正確結(jié)論的編號）． 第 II 卷 三、解答題(本大題共6小題，共72.0分) 17.已知全集U={0，1，2，3，4，5，6，7}，集合A={x∈N|-1＜x≤3}，B={x∈R|x2-6x+8=0}． （1）用列舉法表示集合A與B； （2）求A∩B及?U（A∪B）． 18.求函數(shù)y=的定義域、值域和單調(diào)區(qū)間． 19.已知a＞0且滿足不等式＞ （1）求實數(shù)a的取值范圍． （2）求不等式． （3）若函數(shù)y=loga（2x-1）在區(qū)間[1，3]有最小值為-2，求實數(shù)a值． 20.已知二次函數(shù)f（x）=x2+bx+4 （1）若f（x）為偶函數(shù)，求b的值； （2）若f（x）有零點，求b的取值范圍； （3）求f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值g（b）． 21.已知函數(shù)f（x）=loga (a＞0，a≠1，m≠-1)，是定義在(-1，1)上的奇函數(shù)． (I)求f(0)的值和實數(shù)m的值； (II)當m=1時，判斷函數(shù)f(x)在(-1，1)上的單調(diào)性，并給出證明； 22.設(shè)f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且對任意a、b∈[-1，1]，當a+b≠0時，都有＞0． （1）若a＞b，比較f（a）與f（b）的大??； （2）解不等式f（x-）＜f（x-）； （3）記P={x|y=f（x-c）}，Q={x|y=f（x-c2）}，且P∩Q=?，求c的取值范圍．  車胤中學(xué)2016-2017學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)考試試卷 答案和解析（理科） 【答案】 1.C 2.B 3.D 4.D 5.D 6.A 7.B 8.D 9.D 10.B 11.C 12.A 13.3 14. 15.[2，+∞） 16.②③ 17.解：（1）因為集合A={x∈N|-1＜x≤3}，B={x∈R|x2-6x+8=0}． 所以A={0，1，2，3}，B={2，4}； （2）由（1）得A∩B={2}，A∪B={0，1，2，3，4}，全集U={0，1，2，3，4，5，6，7}，所以?U（A∪B）={5，6，7}． 18.解：根據(jù)題意，函數(shù)的定義域顯然為（-∞，+∞）． 令u=f（x）=3+2x-x2=4-（x-1）2≤4． ∴y=3u是u的增函數(shù)， 當x=1時，ymax=f（1）=81，而y=＞0． ∴0＜3u≤34，即值域為（0，81]． （3）當x≤1時，u=f（x）為增函數(shù)，y=3u是u的增函數(shù)， 由x越大推出u越大，u越大推出y越大 即x越大y越大 ∴即原函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為（-∞，1]； 其證明如下： 任取x1，x2∈（-∞，1]且令x1＜x2 則==== ∵x1＜x2，x1，x2∈（-∞，1] ∴x1-x2＜0，2-x1-x2＞0 ∴（x1-x2）（2-x1-x2）＜0 ∴＜1 ∴f（x1）＜f（x2） ∴原函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為（-∞，1] 當x＞1時，u=f（x）為減函數(shù)，y=3u是u的增函數(shù)， 由x越大推出u越小，u越小推出y越小， 即x越大y越小 ∴即原函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為[1，+∞）． 證明同上． 19.解：（1）∵22a+1＞25a-2． ∴2a+1＞5a-2，即3a＜3， ∴a＜1． （2）∵a＞0，a＜1，∴0＜a＜1， ∵． ∴等價為， 即， ∴， 即不等式的解集為（，）． （3）∵0＜a＜1， ∴函數(shù)y=loga（2x-1）在區(qū)間[1，3]上為減函數(shù)， ∴當x=3時，y有最小值為-2， 即loga5=-2， ∴， 解得a=． 20.解（1）因為f（x）為偶函數(shù)， 所以x2+bx+4=x2-bx+4， 解得b=0； （2）因為f（x）有零點， 所以△=b2-16≥0， 解得b≥4或b≤-4； （3）因為f（x）的對稱軸為， ①，即b≤0時， g（b）=f（-1）=5-b； ②，即b＞0時， g（b）=f（1）=5+b． 綜上所述：． 21.解：(I)∵f(0)=loga1=0． 因為f(x)是奇函數(shù)， 所以：f(-x)=-f(x)?f(-x)+f(x)=0 ∴l(xiāng)oga+loga=0； ∴l(xiāng)oga=0?=1， 即∴1-m2x2=1-x2對定義域內(nèi)的x都成立．∴m2=1． 所以m=1或m=-1(舍) ∴m=1． (II)∵m=1 ∴f(x)=loga； 設(shè) 設(shè)-1＜x1＜x2＜1，則 ∵-1＜x1＜x2＜1∴x2-x1＞0，(x1+1)(x2+1)＞0 ∴t1＞t2． 當a＞1時，logat1＞logat2， 即f(x1)＞f(x2)． ∴當a＞1時，f(x)在(-1，1)上是減函數(shù)． 當0＜a＜1時，logat1＜logat2，即f(x1)＜f(x2)． ∴當0＜a＜1時，f(x)在(-1，1)上是增函數(shù)． (III)由f(b-2)+f(2b-2)＞0 得f(b-2)＞-f(2b-2)， ∵函數(shù)f(x)是奇函數(shù) ∴f(b-2)＞f(2-2b) ， ∴0＜a＜1 由(II)得f(x)在(-1，1)上是增函數(shù) ∴ ∴ ∴b的取值范圍是 22.解：設(shè)-1≤x1＜x2≤1，則x1-x2≠0， ∴＞0． ∵x1-x2＜0，∴f（x1）+f（-x2）＜0． ∴f（x1）＜-f（-x2）． 又f（x）是奇函數(shù)，∴f（-x2）=-f（x2）． ∴f（x1）＜f（x2）． ∴f（x）是增函數(shù)． （1）∵a＞b，∴f（a）＞f（b）． （2）由f（x-）＜f（x-），得∴-≤x≤． ∴不等式的解集為{x|-≤x≤}． （3）由-1≤x-c≤1，得-1+c≤x≤1+c， ∴P={x|-1+c≤x≤1+c}． 由-1≤x-c2≤1，得-1+c2≤x≤1+c2， ∴Q={x|-1+c2≤x≤1+c2}． ∵P∩Q=?， ∴1+c＜-1+c2或-1+c＞1+c2， 解得c＞2或c＜-1． 【解析】 1. 解：因為，所以a∈M，或{a}?M， 故選C． 2. 解：∵A={-1，1}，x∈A，y∈A， ∴x=-1，或x=1，y=-1或y=1， 則m=x+y=0，-2，2， 即B={-2，0，2}． 故選：B． 根據(jù)集合B的元素關(guān)系確定集合B即可． 本題主要考查集合的表示，利用條件確定集合的元素即可，比較基礎(chǔ)． 3. 解：令f（x）=log3x+x-3， f（1）=1-3＜0， f（2）=log32-1＜0， f（3）=1＞0， 故所在區(qū)間是（2，3）， 故選D． 由題意，根據(jù)函數(shù)零點的判定定理求選項中區(qū)間的端點函數(shù)值，從而得到． 本題考查了函數(shù)零點的判定定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題． 4. 解：0=log71＜a=log73＜log77=1， ＜=0， c=30.7＞30=1， ∴b＜a＜c． 故選：D． 利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解． 本題考查三個數(shù)的大小的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運用． 5. 解：（1）當a=0時，函數(shù)為一次函數(shù)f（x）=2x-3為遞增函數(shù)， （2）當a＞0時，二次函數(shù)開口向上，先減后增，在區(qū)間（-∞，4）上不可能是單調(diào)遞增的，故不符合； （3）當a＜0時，函數(shù)開口向下，先增后減，函數(shù)對稱軸， 解得a，又a＜0，故． 綜合得， 故選D． 由于a值不確定，此題要討論，當a=0時，函數(shù)為一次函數(shù)，當a≠o時，函數(shù)為二次函數(shù)，此時分兩種情況，當a＞0時，函數(shù)開口向上，先減后增，當a＜0時，函數(shù)開口向下，先增后減． 此題主要考查函數(shù)單調(diào)性和對稱軸的求解，考查二次函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想．屬于基礎(chǔ)題． 6. 解：∵f（x）=（m2-m-1）x是冪函數(shù)， ∴m2-m-1=1， 解得m=-1或m=2； 又f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)， ∴m2-2m-3＜0， 解得-1＜m＜3； ∴實數(shù)m的值為2． 故選：A． 根據(jù)冪函數(shù)的定義與性質(zhì)，即可求出m的值． 本題考查了冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目． 7. 當k=2m(為偶數(shù))時，N== 當k=2m-1(為奇數(shù))時，N===M ∴M?N 故選B 8. 解：函數(shù)y=10lgx的定義域和值域均為（0，+∞）， 函數(shù)y=x的定義域和值域均為R，不滿足要求； 函數(shù)y=lgx的定義域為（0，+∞），值域為R，不滿足要求； 函數(shù)y=2x的定義域為R，值域為R（0，+∞），不滿足要求； 函數(shù)y=的定義域和值域均為（0，+∞），滿足要求； 故選：D 分別求出各個函數(shù)的定義域和值域，比較后可得答案． 本題考查的知識點是函數(shù)的定義域和值域，熟練掌握各種基本初等函數(shù)的定義域和值域，是解答的關(guān)鍵． 9. 解：由題意得，，即， 解得-5≤x＜-2或1＜x≤4， 所以函數(shù)的定義域是[-5，-2）∪（1，4]， 故選：D． 根據(jù)條件和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)列出不等式組，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解可得到函數(shù)的定義域． 本題考查函數(shù)的定義域，以及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題． 10. 解：∵=alnx+blgx+1+=2，f（1）=1， ∴f（1）+f（2）+…+f（2014）+f（）+f（）+…+f（） =1++…+ =1+22013=4027． 故選：B． 利用對數(shù)的運算性質(zhì)=2即可得出． 本題考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題． 11. 解：∵函數(shù)f（x）=x2-4x-m+4=（x-2）2-m，（-1≤x＜4）， ∴設(shè)g（x）=（x-2）2，（-1≤x＜4）， ∵函數(shù)f（x）=x2-4x-m+4（-1≤x＜4）有兩個零點， ∴函數(shù)g（x）=（x-2）2，（-1≤x＜4），與y=m有2個交點， f（2）=0．f（-1）=9，f（4）=4， 根據(jù)圖象得出：m的取值范圍是（0，4） 故選：C 構(gòu)造函數(shù)g（x）=（x-2）2，（-1≤x＜4），與y=m有2個交點，畫出圖象求解即可． 本題考查了函數(shù)的零點與函數(shù)圖象的交點關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)畫出圖象求解即可，難度不大，屬于中檔題． 12. 解：由已知可得，當x∈[1，2]時，|f（x）-g（x）|=|log2（ax+1）-log2x|≤1， 即|log2|≤1，x∈[1，2]， 從而有，≤≤2，x∈[1，2]， 即≤a+≤2在[1，2]上恒成立． 而a+在[1，2]上遞減，即有a+≤a+≤a+1． 則有≤a+，且2≥a+1， 解得0≤a≤1． 故選A． 由已知可得，f（x）-g（x）|=|log2（ax+1）-log2x|=|log2|≤1，x∈[1，2]，從而有≤a+≤2在[1，2]上恒成立，只要求出函數(shù)a+的最值，可求a的取值范圍． 本題以新定義為切入點，主要考查了函數(shù)的恒成立問題與函數(shù)最值的相互轉(zhuǎn)化，解題中要注意在得到≤a+≤2在[1，2]上恒成立時，要注意對函數(shù)a+的最值求解是解決本題的關(guān)鍵． 13. 解：由f（x+4）=f（x）知：4為函數(shù)f（x）的周期； 又f（x）在R上為偶函數(shù)； ∴f（-9）=f（9）=f（1+24）=f（1）=3． 故答案為：3． 根據(jù)條件知f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，由條件從而可得到f（-9）=f（9）=f（1+8）=f（1）=3． 考查周期函數(shù)的定義，以及偶函數(shù)的定義，掌握本題求函數(shù)值的方法． 14. 解：∵y=f（x）在定義域（-1，1）上，其圖象關(guān)于原點對稱， ∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)． ∵f（1-a）+f（1-2a）＜0， ∴f（1-a）＜-f（1-2a）=f（2a-1）， 又y=f（x）在定義域（-1，1）上是減函數(shù)， ∴1＞1-a＞2a-1＞-1， 解得． ∴a的取值范圍是． 故答案是：． 由于y=f（x）在定義域（-1，1）上，其圖象關(guān)于原點對稱，可得函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．再利用單調(diào)性即可得出． 本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，屬于中檔題． 15. 解：首先，y=logax在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù) 且函數(shù)y=（a+2）x-2a區(qū)間（-∞，1）上也是增函數(shù) ∴a＞1…（1） 其次在x=1處函數(shù)對應(yīng)的第一個表達式的值要小于或等于第二個表達式的值，即 （a+2）-2a≤loga1?a≥2…（2） 聯(lián)解（1）、（2）得a≥2． 故答案為：[2，+∞）． 根據(jù)題意，首先要保證分段函數(shù)的兩段上的表達式都要是增函數(shù)，因此a＞1，其次在兩段圖象的端點處必須要體現(xiàn)是增加的，因此得到在x=1處函數(shù)對應(yīng)的第一個表達式的值要小于或等于第二個表達式的值列式得出a≥2，兩者相結(jié)合可以得出a的取值范圍． 本題著重考查了函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用和對數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性的知識點，屬于中檔題．本題的易錯點在于只注意到兩段圖象的單調(diào)增，而忽視了圖象的接頭點處的縱坐標大小的比較，請同學(xué)們注意這點． 16. 解：根據(jù)冪函數(shù)的定義可得y=1不是冪函數(shù)，故排除①． 由奇函數(shù)的定義可得定義在R上的奇函數(shù)y=f（x）滿足f（0）=0，故②正確． ∵，∴==-=-f（x）， 故函數(shù)是奇函數(shù)，故③正確． 當a＜0時，=（-a）3=-a3，故④不正確． 由于函數(shù)y=1沒有零點，故⑤不正確． 故答案為②③． 根據(jù)冪函數(shù)的定義排除①．由奇函數(shù)的性質(zhì)可得②正確．根據(jù)奇函數(shù)的定義可得③正確．根據(jù)a＜0化簡的結(jié)果為=-a3，故④不正確．根據(jù)函數(shù)y=1沒有零點，得⑤不正確．由此得出結(jié)論． 本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷、奇偶性性質(zhì)，函數(shù)的零點及冪函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題． 17. （1）注意代表元素的屬性，指出滿足條件的集合元素； （2）由（1）計算交集、并集、補集的運算． 本題考查了集合的表示以及運算，屬于基礎(chǔ)題． 18. 根據(jù)題意，定義域的求解易知為（-∞，+∞），值域的求解通過換元法將3+2x-x2換成u，通過二次函數(shù)的知識求得u的范圍為（-∞，4]，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=3u的單調(diào)性即可求解 利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的特點（根據(jù)同增異減口訣，先判斷內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)性，再判斷外層函數(shù)單調(diào)性，在同一定義域上，若兩函數(shù)單調(diào)性相同，則此復(fù)合函數(shù)在此定義域上為增函數(shù)，反之則為減函數(shù)）判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，在根據(jù)定義：（就是定義域內(nèi)的任意取x1，x2，且x1＜x2，比較f（x1），f（x2）的大小，或f（x1）＜f（x2）則是增函數(shù)；反之則為減函數(shù)）證明即可 本題考查了以指數(shù)函數(shù)為依托，通過換元法進行求解函數(shù)值域，另外還有復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，屬于基礎(chǔ)題． 19. （1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可求實數(shù)a的取值范圍． （2）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求不等式． （3）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性以及對數(shù)的性質(zhì)即可求出a的值． 本題主要考查不等式的解法，利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵． 20. （1）因為f（x）為偶函數(shù)，所以f（-x）=f（x），列出等式，求出b的值即可； （2）根據(jù)f（x）有零點，可得△≥0，據(jù)此求出b的取值范圍即可； （3）首先求出f（x）的對稱軸，然后分①，②兩種情況討論，求出f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值g（b）即可． 本題主要考查了二次函數(shù)奇偶性質(zhì)的運用，以及二次函數(shù)的零點、某個區(qū)間上的最值的求法，屬于基礎(chǔ)題． 21. (I)直接把0代入即可求出f(0)的值；再結(jié)合f(-x)+f(x)=0對定義域內(nèi)的所有自變量成立即可求出實數(shù)m的值； (II)先研究真數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可判斷函數(shù)f(x)在(-1，1)上的單調(diào)性； (III)先根據(jù)得到a的范圍；再結(jié)合其為奇函數(shù)把f(b-2)+f(2b-2)＞0轉(zhuǎn)化為f(b-2)＞f(2-2b)，結(jié)合第二問的單調(diào)性即可求出實數(shù)b的取值范圍． 22. 先判斷函數(shù)的單調(diào)性． （1）由函數(shù)的單調(diào)性即可求解． （2）（3）由函數(shù)的定義域及函數(shù)的單調(diào)性求解． 本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，但應(yīng)注意函數(shù)的定義域，在定義域內(nèi)求解．