復(fù)變函數(shù)-哈爾濱工程大學(xué).ppt

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,《復(fù)變函數(shù)與積分變換》,《復(fù)變函數(shù)與積分變換》,主講教師：趙景霞,zhaojingxia@,課程基本介紹,課程名稱：復(fù)變函數(shù)與積分變換,開課學(xué)時(shí)：48學(xué)時(shí),考核方式：30分平時(shí)成績(jī)（考勤+作業(yè)）70分卷面成績(jī)（期末考試）,答疑時(shí)間及地點(diǎn)：理學(xué)樓425,周四、周五到11號(hào)樓書庫購買作業(yè)本，價(jià)錢3元，必買,研究對(duì)象,復(fù)變函數(shù)（自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)）,主要任務(wù),研究復(fù)變數(shù)之間的相互依賴關(guān)系，具體地就是復(fù)數(shù)域上的微積分。,主要內(nèi)容,復(fù)變函數(shù)的積分、級(jí)數(shù)、留數(shù)、保形映射，積分變換等。,復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)、解析函數(shù)、,課程基本介紹,學(xué)習(xí)方法,復(fù)變函數(shù)中許多概念、理論、和方法是實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)域內(nèi)的推廣和發(fā)展，它們之間有許多相似之處。但又有不同之處，在學(xué)習(xí)中要善于比較、區(qū)別、特別要注意復(fù)數(shù)域上特有的那些性質(zhì)與結(jié)果。,復(fù)變函數(shù)的發(fā)展過程,復(fù)數(shù)是十六世紀(jì)人們?cè)诮獯鷶?shù)方程時(shí)引進(jìn)的。為使負(fù)數(shù)開方有意義，需要再一次擴(kuò)大數(shù)系，使實(shí)數(shù)域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)域。但在十八世紀(jì)以前，由于對(duì)復(fù)數(shù)的概念及性質(zhì)了解得不清楚，用它們進(jìn)行計(jì)算又得到一些矛盾，所以，在歷史上長(zhǎng)時(shí)期人們把復(fù)數(shù)看作不能接受的“虛數(shù)”。,直到十八世紀(jì)，J.D’Alembert(1717-1783)與L.Euler(1707-1783)等人逐步闡明了復(fù)數(shù)的幾何意義和物理意義，澄清了復(fù)數(shù)的概念，并且應(yīng)用復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)研究了流體力學(xué)等方面的一些問題。復(fù)數(shù)才被人們廣泛承認(rèn)接受，復(fù)變函數(shù)論才能順利建立和發(fā)展。,復(fù)變函數(shù)的發(fā)展過程,復(fù)變函數(shù)的發(fā)展過程,1774年，歐拉在他的一篇論文中考慮了由復(fù)變函數(shù)的積分導(dǎo)出的兩個(gè)方程。比他更早時(shí)，法國(guó)數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾在他的關(guān)于流體力學(xué)的論文中，就已經(jīng)得到了它們。因此，后來人們提到這兩個(gè)方程，把它們叫做“達(dá)朗貝爾-歐拉方程”。到了十九世紀(jì)，上述兩個(gè)方程在柯西和黎曼研究流體力學(xué)時(shí)，作了更詳細(xì)的研究，所以這兩個(gè)方程也被叫做“柯西-黎曼條件”。,復(fù)變函數(shù)論的全面發(fā)展是在十九世紀(jì)，就像微積分的直接擴(kuò)展統(tǒng)治了十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)那樣，復(fù)變函數(shù)這個(gè)新的分支統(tǒng)治了十九世紀(jì)的數(shù)學(xué)。當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家公認(rèn)復(fù)變函數(shù)論是最豐饒的數(shù)學(xué)分支，并且稱為這個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)享受，也有人稱贊它是抽象科學(xué)中最和諧的理論之一。,復(fù)變函數(shù)的發(fā)展過程,二十世紀(jì)以來，復(fù)變函數(shù)已被廣泛地應(yīng)用在理論物理、彈性理論和天體力學(xué)等方面，與數(shù)學(xué)中其它分支的聯(lián)系也日益密切。,復(fù)變函數(shù)的發(fā)展過程,第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù),第一講復(fù)數(shù)及復(fù)平面,學(xué)習(xí)要點(diǎn),掌握復(fù)數(shù)的意義及代數(shù)運(yùn)算,掌握復(fù)平面與復(fù)數(shù)的表示方法,掌握復(fù)數(shù)的乘冪與方根,1復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算,1.復(fù)數(shù)的概念,復(fù)數(shù)z的實(shí)部Re(z)=x;虛部Im(z)=y.(realpart)(imaginarypart),一般,任意兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小。,復(fù)數(shù)相等,2.四則運(yùn)算,z1=x1+iy1與z2=x2+iy2的和、差、積和商為：,z1z2=(x1x2)+i(y1y2),z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2),復(fù)數(shù)的運(yùn)算滿足加法交換律、結(jié)合律；乘法交換律、結(jié)合律和分配律。,共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì),定義若z=x+iy,稱?z=x-iy為z的共軛復(fù)數(shù).,(conjugate),3.共軛復(fù)數(shù),,解：,2復(fù)數(shù)的幾何表示,1.點(diǎn)的表示,橫坐標(biāo)軸稱為實(shí)軸，縱坐標(biāo)軸稱為虛軸；復(fù)平面一般稱為z-平面，w-平面等。,2.向量表示法,z=0時(shí)，幅角無意義。,幅角無窮多：Argz=θ=θ0+2kπ，k∈Z，,當(dāng)z落于一,四象限時(shí)，不變。,當(dāng)z落于第二象限時(shí)，加p。,當(dāng)z落于第三象限時(shí)，減p.,根據(jù)向量的運(yùn)算及幾何知識(shí)，我們可以得到兩個(gè)重要的不等式,3.三角表示法,可以用復(fù)數(shù)的模與輻角來表示非零復(fù)數(shù)z,4.指數(shù)表示法,例1,例2,例3,例1,解：,例2,解：,例2,解：,例3,證明：,例3,證明：,3復(fù)數(shù)的乘冪與方根,1.復(fù)數(shù)的乘積與商,利用復(fù)數(shù)的三角表示，我們可以更簡(jiǎn)單的表示復(fù)數(shù)的乘法與除法,定理：,對(duì)除法，有,,將復(fù)數(shù)z1按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度Argz2，再將其伸縮到|z2|倍。,乘法的幾何意義,例1,解：,,,2.復(fù)數(shù)的乘冪,則有：,——德摩弗(DeMoivre)公式,3.復(fù)數(shù)的方根,,而k取其它整數(shù)時(shí)，這些根又會(huì)重復(fù)出現(xiàn)。,例2,例3,例2,例3,幾何上，的n個(gè)值是以原點(diǎn)為中心，為半徑的圓周上n個(gè)等分點(diǎn)，即它們是內(nèi)接于該圓周的正n邊形的n個(gè)頂點(diǎn)。,,N,4.復(fù)球面與無窮遠(yuǎn)點(diǎn),球極平面射影法,取一個(gè)在原點(diǎn)O與z平面相切的球面，過O點(diǎn)作z平面的垂線與球面交于N點(diǎn)（稱為北極或者球極）。,對(duì)于平面上的任一點(diǎn)z，用一條空間直線把它和球極連接起來，交球面于P。,從幾何上可以看出：,z平面上每個(gè)以原點(diǎn)為圓心的圓周對(duì)應(yīng)于球面上的某一個(gè)緯圈;,這個(gè)圓周以外的點(diǎn)則對(duì)應(yīng)于相應(yīng)緯圈以北的點(diǎn)，而且若點(diǎn)z的模越大，球面上相應(yīng)的點(diǎn)則越靠近北極N。,規(guī)定,無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的實(shí)部、虛部及幅角都沒有意義,請(qǐng)預(yù)習(xí)第一章后面的部分。,謝謝同學(xué)們，再見。,歐拉公式,復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),揭示了三角函數(shù)和復(fù)變數(shù)指數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系,