復變函數(shù)-哈爾濱工程大學.ppt

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,《復變函數(shù)與積分變換》,《復變函數(shù)與積分變換》,主講教師：趙景霞,zhaojingxia@,課程基本介紹,課程名稱：復變函數(shù)與積分變換,開課學時：48學時,考核方式：30分平時成績（考勤+作業(yè)）70分卷面成績（期末考試）,答疑時間及地點：理學樓425,周四、周五到11號樓書庫購買作業(yè)本，價錢3元，必買,研究對象,復變函數(shù)（自變量為復數(shù)的函數(shù)）,主要任務,研究復變數(shù)之間的相互依賴關系，具體地就是復數(shù)域上的微積分。,主要內容,復變函數(shù)的積分、級數(shù)、留數(shù)、保形映射，積分變換等。,復數(shù)與復變函數(shù)、解析函數(shù)、,課程基本介紹,學習方法,復變函數(shù)中許多概念、理論、和方法是實變函數(shù)在復數(shù)域內的推廣和發(fā)展，它們之間有許多相似之處。但又有不同之處，在學習中要善于比較、區(qū)別、特別要注意復數(shù)域上特有的那些性質與結果。,復變函數(shù)的發(fā)展過程,復數(shù)是十六世紀人們在解代數(shù)方程時引進的。為使負數(shù)開方有意義，需要再一次擴大數(shù)系，使實數(shù)域擴大到復數(shù)域。但在十八世紀以前，由于對復數(shù)的概念及性質了解得不清楚，用它們進行計算又得到一些矛盾，所以，在歷史上長時期人們把復數(shù)看作不能接受的“虛數(shù)”。,直到十八世紀，J.D’Alembert(1717-1783)與L.Euler(1707-1783)等人逐步闡明了復數(shù)的幾何意義和物理意義，澄清了復數(shù)的概念，并且應用復數(shù)和復變函數(shù)研究了流體力學等方面的一些問題。復數(shù)才被人們廣泛承認接受，復變函數(shù)論才能順利建立和發(fā)展。,復變函數(shù)的發(fā)展過程,復變函數(shù)的發(fā)展過程,1774年，歐拉在他的一篇論文中考慮了由復變函數(shù)的積分導出的兩個方程。比他更早時，法國數(shù)學家達朗貝爾在他的關于流體力學的論文中，就已經(jīng)得到了它們。因此，后來人們提到這兩個方程，把它們叫做“達朗貝爾-歐拉方程”。到了十九世紀，上述兩個方程在柯西和黎曼研究流體力學時，作了更詳細的研究，所以這兩個方程也被叫做“柯西-黎曼條件”。,復變函數(shù)論的全面發(fā)展是在十九世紀，就像微積分的直接擴展統(tǒng)治了十八世紀的數(shù)學那樣，復變函數(shù)這個新的分支統(tǒng)治了十九世紀的數(shù)學。當時的數(shù)學家公認復變函數(shù)論是最豐饒的數(shù)學分支，并且稱為這個世紀的數(shù)學享受，也有人稱贊它是抽象科學中最和諧的理論之一。,復變函數(shù)的發(fā)展過程,二十世紀以來，復變函數(shù)已被廣泛地應用在理論物理、彈性理論和天體力學等方面，與數(shù)學中其它分支的聯(lián)系也日益密切。,復變函數(shù)的發(fā)展過程,第一章復數(shù)與復變函數(shù),第一講復數(shù)及復平面,學習要點,掌握復數(shù)的意義及代數(shù)運算,掌握復平面與復數(shù)的表示方法,掌握復數(shù)的乘冪與方根,1復數(shù)及其代數(shù)運算,1.復數(shù)的概念,復數(shù)z的實部Re(z)=x;虛部Im(z)=y.(realpart)(imaginarypart),一般,任意兩個復數(shù)不能比較大小。,復數(shù)相等,2.四則運算,z1=x1+iy1與z2=x2+iy2的和、差、積和商為：,z1z2=(x1x2)+i(y1y2),z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2),復數(shù)的運算滿足加法交換律、結合律；乘法交換律、結合律和分配律。,共軛復數(shù)的性質,定義若z=x+iy,稱?z=x-iy為z的共軛復數(shù).,(conjugate),3.共軛復數(shù),,解：,2復數(shù)的幾何表示,1.點的表示,橫坐標軸稱為實軸，縱坐標軸稱為虛軸；復平面一般稱為z-平面，w-平面等。,2.向量表示法,z=0時，幅角無意義。,幅角無窮多：Argz=θ=θ0+2kπ，k∈Z，,當z落于一,四象限時，不變。,當z落于第二象限時，加p。,當z落于第三象限時，減p.,根據(jù)向量的運算及幾何知識，我們可以得到兩個重要的不等式,3.三角表示法,可以用復數(shù)的模與輻角來表示非零復數(shù)z,4.指數(shù)表示法,例1,例2,例3,例1,解：,例2,解：,例2,解：,例3,證明：,例3,證明：,3復數(shù)的乘冪與方根,1.復數(shù)的乘積與商,利用復數(shù)的三角表示，我們可以更簡單的表示復數(shù)的乘法與除法,定理：,對除法，有,,將復數(shù)z1按逆時針方向旋轉一個角度Argz2，再將其伸縮到|z2|倍。,乘法的幾何意義,例1,解：,,,2.復數(shù)的乘冪,則有：,——德摩弗(DeMoivre)公式,3.復數(shù)的方根,,而k取其它整數(shù)時，這些根又會重復出現(xiàn)。,例2,例3,例2,例3,幾何上，的n個值是以原點為中心，為半徑的圓周上n個等分點，即它們是內接于該圓周的正n邊形的n個頂點。,,N,4.復球面與無窮遠點,球極平面射影法,取一個在原點O與z平面相切的球面，過O點作z平面的垂線與球面交于N點（稱為北極或者球極）。,對于平面上的任一點z，用一條空間直線把它和球極連接起來，交球面于P。,從幾何上可以看出：,z平面上每個以原點為圓心的圓周對應于球面上的某一個緯圈;,這個圓周以外的點則對應于相應緯圈以北的點，而且若點z的模越大，球面上相應的點則越靠近北極N。,規(guī)定,無窮遠點的實部、虛部及幅角都沒有意義,請預習第一章后面的部分。,謝謝同學們，再見。,歐拉公式,復數(shù)項級數(shù),揭示了三角函數(shù)和復變數(shù)指數(shù)函數(shù)之間的關系,