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1、2012中考數學壓軸題選講（一）
1.如圖：拋物線經過A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三點.
（1） 求拋物線的解析式.
（2）已知AD = AB（D在線段AC上），有一動點P從點A沿線段AC以每秒1個單位長度的速度移動；同時另一個動點Q以某一速度從點B沿線段BC移動，經過t 秒的移動，線段PQ被BD垂直平分，求t的值；
（3）在（2）的情況下，拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使MQ+MC的值最小？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由。
（注：拋物線的對稱軸為）
解：設拋物線的解析式為，
依題意得：c=4且 解得
所以 所求的拋物線的解析式
2、為
（2）連接DQ，在Rt△AOB中，
所以AD=AB= 5，AC=AD+CD=3 + 4 = 7，CD = AC - AD =?7 – 5 = 2
因為BD垂直平分PQ，所以PD=QD，PQ⊥BD，所以∠PDB=∠QDB
因為AD=AB，所以∠ABD=∠ADB，∠ABD=∠QDB，所以DQ∥AB
所以∠CQD=∠CBA。∠CDQ=∠CAB，所以△CDQ∽ △CAB
即
所以AP=AD – DP = AD – DQ=5 –= ， 所以t的值是
（3）答對稱軸上存在一點M，使MQ+MC的值最小
理由：因為拋物線的對稱軸為所以A（- 3，0），C（4，0）兩點關于直線對
3、稱連接AQ交直線于點M，則MQ+MC的值最小過點Q作QE⊥x軸，于E，所以∠QED=∠BOA=90 DQ∥AB，∠ BAO=∠QDE， △DQE ∽△ABO 即 所以QE=，DE=，所以OE = OD + DE=2+=，所以Q（，）
設直線AQ的解析式為則 由此得
所以直線AQ的解析式為 聯立
由此得 所以M則：在對稱軸上存在點M，使MQ+MC的值最小。
2.如圖9，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象的頂點為D點，與y軸交于C點，與x軸交于A、B兩點， A點在原點的左側，B點的坐標為（3，0），
OB＝OC ，tan∠ACO＝．
（1）求這個二次函數的表達式．
（2
4、）經過C、D兩點的直線，與x軸交于點E，在該拋物線上是否存在這樣的點F，使以點A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）如圖10，若點G（2，y）是該拋物線上一點，點P是直線AG下方的拋物線上一動點，當點P運動到什么位置時，△APG的面積最大？求出此時P點的坐標和△APG的最大面積.
（1）由已知得：C（0，－3），A（－1，0） …1分
將A、B、C三點的坐標代入得 解得：
所以這個二次函數的表達式為：
（2）存在，F點的坐標為（2，－3）
理由：易得D（1，－4），所以直線CD
5、的解析式為：
∴E點的坐標為（－3，0），由A、C、E、F四點的坐標得：AE＝CF＝2，AE∥CF
∴以A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形，∴存在點F，坐標為（2，－3）
（3）過點P作y軸的平行線與AG交于點Q，易得G（2，－3），直線AG為．
設P（x，），則Q（x，－x－1），PQ．
當時，△APG的面積最大，此時P點的坐標為，．
3.如圖，已知拋物線與x軸交于A（－1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3）。
⑴求拋物線的解析式；
⑵設拋物線的頂點為D，在其對稱軸的右側的拋物線上是否存在點P，使得△P
6、DC是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點P的坐標;若不存在，請說明理由;
⑶若點M是拋物線上一點，以B、C、D、M為頂點的四邊形是直角梯形，試求出點M的坐標。
解析：⑴∵拋物線與y軸交于點C（0，3），∴設拋物線解析式為，根據題意，得，解得
∴拋物線的解析式為
⑵存在. 由得，D點坐標為（1，4），對稱軸為x＝1.
①若以CD為底邊，則PD＝PC，設P點坐標為(x,y)，根據勾股定理，
得，即y＝4－x.
又P點(x,y)在拋物線上，∴，即
解得，，應舍去.∴.
∴，即點P坐標為.
②若以CD為一腰，因為點P在對稱軸右側的拋物線上，由拋物線對稱性知，點P與點C關于直線x＝
7、1對稱，此時點P坐標為（2，3）。
∴符合條件的點P坐標為或（2，3）.
⑶由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根據勾股定理,
得CB＝,CD＝,BD＝,，∴,∴∠BCD＝90°,
設對稱軸交x軸于點E，過C作CM⊥DE，交拋物線于點M，垂足為F，在Rt△DCF中，
∵CF＝DF＝1, ∴∠CDF＝45°,
由拋物線對稱性可知，∠CDM＝2×45°＝90°,點坐標M為（2，3），
∴DM∥BC, ∴四邊形BCDM為直角梯形, 由∠BCD＝90°及題意可知，
以BC為一底時，頂點M在拋物線上的直角梯形只有上述一種情況;
以CD為一底或以BD為一底，且頂點M在拋物線上
8、的直角梯形均不存在。
綜上所述，符合條件的點M的坐標為（2，3）。
4.已知：拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，線段OB、OC的長（OB
9、基礎上試說明S是否存在最大值，若存在，請求出S的最大值，并求出此時點E的坐標，判斷此時△BCE的形狀；若不存在，請說明理由．
解：（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8
∵點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，且OB＜OC
∴點B的坐標為（2，0），點C的坐標為（0，8）
又∵拋物線y＝ax2＋bx＋c的對稱軸是直線x＝－2
∴由拋物線的對稱性可得點A的坐標為（－6，0）
∴A、B、C三點的坐標分別是A（－6，0）、B（2，0）、C（0，8）
（2）∵點C（0，8）在拋物線y＝ax2＋bx＋c的圖象上
∴c＝8，將A（－6，0）、B（2，0）代入表達式y(tǒng)
10、＝ax2＋bx＋8，得
解得
∴所求拋物線的表達式為y＝－x2－x＋8
（3）∵AB＝8，OC＝8∴S△ABC ＝×8×8=32
（4）依題意，AE＝m，則BE＝8－m，∵OA＝6，OC＝8， ∴AC＝10
∵EF∥AC ∴△BEF∽△BAC ∴＝ 即＝ ∴EF＝
過點F作FG⊥AB，垂足為G，則sin∠FEG＝sin∠CAB＝
∴＝ ∴FG＝·＝8－m
∴S＝S△BCE－S△BFE＝（8－m）×8－（8－m）（8－m）
＝（8－m）（8－8＋m）＝（8－m）m＝－m2＋4m
自變量m的取值范圍是0＜m＜8
（5）存在． 理由：∵S＝－m
11、2＋4m＝－（m－4）2＋8 且－＜0，
∴當m＝4時，S有最大值，S最大值＝8
∵m＝4，∴點E的坐標為（－2，0） ∴△BCE為等腰三角形．
5.已知拋物線與軸的一個交點為A(-1,0)，與y軸的正半軸交于點C．
⑴直接寫出拋物線的對稱軸，及拋物線與軸的另一個交點B的坐標；
⑵當點C在以AB為直徑的⊙P上時，求拋物線的解析式；
⑶坐標平面內是否存在點，使得以點M和⑵中拋物線上的三點A、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
解：⑴對稱軸是直線：，點B的坐標是(3,0)．
說明：每寫對1個給1分，“直線”兩字沒寫不扣分．
⑵
12、如圖，連接PC，∵點A、B的坐標分別是A(-1,0)、B (3,0)，
∴AB＝4．∴
在Rt△POC中，∵OP＝PA－OA＝2－1＝1，
∴ ∴b＝
當時，
∴∴
⑶存在．理由：如圖，連接AC、BC．設點M的坐標為．
①當以AC或BC為對角線時，點M在x軸上方，此時CM∥AB，且CM＝AB．
由⑵知，AB＝4，∴|x|＝4，．∴x＝±4．∴點M的坐標為．
②當以AB為對角線時，點M在x軸下方．
過M作MN⊥AB于N，則∠MNB＝∠AOC＝90°．
∵四邊形AMBC是平行四邊形，∴AC＝MB，且AC∥MB．
∴∠CAO＝∠MBN．∴△AOC≌△BNM．∴BN＝
13、AO＝1，MN＝CO＝．
∵OB＝3，∴0N＝3－1＝2．∴點M的坐標為．
綜上所述，坐標平面內存在點，使得以點A、B、C、M為頂點的四邊形是平行四邊形．其坐標為．（說明：求點M的坐標時，用解直角三角形的方法或用先求直線解析式，然后求交點M的坐標的方法均可，請參照給分．）
2012中考數學壓軸題選講（一）
1.如圖：拋物線經過A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三點.
（1） 求拋物線的解析式.
（2）已知AD = AB（D在線段AC上），有一動點P從點A沿線段AC以每秒1個單位長度的速度移動；同時另一個動點Q以某一速度從點B沿線段BC移動
14、，經過t 秒的移動，線段PQ被BD垂直平分，求t的值；
（3）在（2）的情況下，拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使MQ+MC的值最小？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由。
（注：拋物線的對稱軸為）
2.如圖9，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象的頂點為D點，與y軸交于C點，與x軸交于A、B兩點， A點在原點的左側，B點的坐標為（3，0），
OB＝OC ，tan∠ACO＝．
（1）求這個二次函數的表達式．
（2）經過C、D兩點的直線，與x軸交于點E，在該拋物線上是否存在這樣的點F，使以點A、C、E、F為頂點的四邊形為平行
15、四邊形？若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）如圖10，若點G（2，y）是該拋物線上一點，點P是直線AG下方的拋物線上一動點，當點P運動到什么位置時，△APG的面積最大？求出此時P點的坐標和△APG的最大面積.
3.如圖，已知拋物線與x軸交于A（－1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3）。
⑴求拋物線的解析式；
⑵設拋物線的頂點為D，在其對稱軸的右側的拋物線上是否存在點P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點P的坐標;若不存在，請說明理由;
⑶若點M是拋物線上一點，以B、C、D、M為頂點的四邊形是直角梯形，試
16、求出點M的坐標。
4.已知：拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，線段OB、OC的長（OB
中考數學壓軸題 二次函數動點問題(一)
