從頭到尾徹底理解傅里葉變換算法

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1、. 從頭到尾徹底理解傅里葉變換算法、上 從頭到尾徹底理解傅里葉變換算法、上前言第一部分、? DFT第一章、傅立葉變換的由來第二章、實(shí)數(shù)形式離散傅立葉變換〔Real DFT 從頭到尾徹底理解傅里葉變換算法、下 第三章、復(fù)數(shù)第四章、復(fù)數(shù)形式離散傅立葉變換 前言："關(guān)于傅立葉變換,無論是書本還是在網(wǎng)上可以很容易找到關(guān)于傅立葉變換的描述,但是大都是些故弄玄虛的文章,太過抽象,盡是一些讓人看了就望而生畏的公式的羅列,讓人很難能夠從感性上得到理解"---dznlong, 那么,到底什么是傅里葉變換算法列?傅里葉變換所涉及到的公式具體有多復(fù)雜列? 傅里葉變換〔Fourier transform

2、是一種線性的積分變換。因其基本思想首先由法國(guó)學(xué)者傅里葉系統(tǒng)地提出,所以以其名字來命名以示紀(jì)念。 ???哦,傅里葉變換原來就是一種變換而已,只是這種變換是從時(shí)間轉(zhuǎn)換為頻率的變化。這下,你就知道了,傅里葉就是一種變換,一種什么變換列?就是一種從時(shí)間到頻率的變化或其相互轉(zhuǎn)化。 ok,咱們?cè)賮砜傮w了解下傅里葉變換,讓各位對(duì)其有個(gè)總體大概的印象,也順便看看傅里葉變換所涉及到的公式,究竟有多復(fù)雜： 以下就是傅里葉變換的4種變體〔摘自,維基百科 連續(xù)傅里葉變換???一般情況下,若"傅里葉變換"一詞不加任何限定語(yǔ),則指的是"連續(xù)傅里葉變換"。連續(xù)傅里葉變換將平方可積的函數(shù)f〔t表示成復(fù)指數(shù)函數(shù)的積分或

3、級(jí)數(shù)形式。 這是將頻率域的函數(shù)F<ω>表示為時(shí)間域的函數(shù)f〔t的積分形式。 連續(xù)傅里葉變換的逆變換 為： 即將時(shí)間域的函數(shù)f〔t表示為頻率域的函數(shù)F<ω>的積分。 一般可稱函數(shù)f〔t為原函數(shù),而稱函數(shù)F<ω>為傅里葉變換的像函數(shù),原函數(shù)和像函數(shù)構(gòu)成一個(gè)傅里葉變換對(duì)〔transform pair。 除此之外,還有其它型式的變換對(duì),以下兩種型式亦常被使用。在通信或是信號(hào)處理方面,常以來代換,而形成新的變換對(duì): ?或者是因系數(shù)重分配而得到新的變換對(duì)： ?一種對(duì)連續(xù)傅里葉變換的推廣稱為分?jǐn)?shù)傅里葉變換〔Fractional Fourie

4、r Transform。分?jǐn)?shù)傅里葉變換指的就是傅里葉變換的廣義化。 分?jǐn)?shù)傅里葉變換的物理意義即做傅里葉變換 a 次,其中 a 不一定要為整數(shù)；而做了分?jǐn)?shù)傅里葉變換之后,信號(hào)或輸入函數(shù)便會(huì)出現(xiàn)在介于時(shí)域與頻域之間的分?jǐn)?shù)域。 當(dāng)f〔t為偶函數(shù)〔或奇函數(shù)時(shí),其正弦〔或余弦分量將消亡,而可以稱這時(shí)的變換為余弦變換〔cosine transform或正弦變換〔sine transform.

5、 另一個(gè)值得注意的性質(zhì)是,當(dāng)f〔t為純實(shí)函數(shù)時(shí),F = F*<ω>成立. 傅里葉級(jí)數(shù)???連續(xù)形式的傅里葉變換其實(shí)是傅里葉級(jí)數(shù) 的推廣,因?yàn)榉e分其實(shí)是一種極限形式的求和算子而已。對(duì)于周期函數(shù),其傅里葉級(jí)數(shù)是存在的： 其中Fn為復(fù)幅度。對(duì)于實(shí)值函數(shù),函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)可以寫成： 其中an和bn是實(shí)頻率分量的幅度。 離散時(shí)域傅里葉變換???離散傅里葉變換是離散時(shí)間傅里葉變換〔DTFT的特例〔有時(shí)作為后者的近似。DTFT在時(shí)域上離散,在頻域上則是周期的。DTFT可以被看作是傅里葉級(jí)數(shù)的逆變換。 離散傅里葉變換?? 離散傅里葉變換〔DFT,是連續(xù)傅

6、里葉變換在時(shí)域和頻域上都離散的形式,將時(shí)域信號(hào)的采樣變換為在離散時(shí)間傅里葉變換〔DTFT頻域的采樣。在形式上,變換兩端〔時(shí)域和頻域上的序列是有限長(zhǎng)的,而實(shí)際上這兩組序列都應(yīng)當(dāng)被認(rèn)為是離散周期信號(hào)的主值序列。即使對(duì)有限長(zhǎng)的離散信號(hào)作DFT,也應(yīng)當(dāng)將其看作經(jīng)過周期延拓成為周期信號(hào)再作變換。在實(shí)際應(yīng)用中通常采用快速傅里葉變換以高效計(jì)算DFT。 ?? 為了在科學(xué)計(jì)算和數(shù)字信號(hào)處理等領(lǐng)域使用計(jì)算機(jī)進(jìn)行傅里葉變換,必須將函數(shù)xn定義在離散點(diǎn)而非連續(xù)域內(nèi),且須滿足有限性或周期性條件。這種情況下,使用離散傅里葉變換〔DFT,將函數(shù)xn表示為下面的求和形式： 其中Xk是傅里葉幅度。直接使用這個(gè)公式計(jì)算的計(jì)算

7、復(fù)雜度為O〔n*n,而快速傅里葉變換〔FFT可以將復(fù)雜度改進(jìn)為O〔n*lgn?！埠竺鏁?huì)具體闡述FFT是如何將復(fù)雜度降為O〔n*lgn的。計(jì)算復(fù)雜度的降低以及數(shù)字電路計(jì)算能力的發(fā)展使得DFT成為在信號(hào)處理領(lǐng)域十分實(shí)用且重要的方法。 ?? 下面,比較下上述傅立葉變換的4種變體, ???如上,容易發(fā)現(xiàn)：函數(shù)在時(shí)〔頻域的離散對(duì)應(yīng)于其像函數(shù)在頻〔時(shí)域的周期性。反之連續(xù)則意味著在對(duì)應(yīng)域的信號(hào)的非周期性。也就是說,時(shí)間上的離散性對(duì)應(yīng)著頻率上的周期性。同時(shí),注意,離散時(shí)間傅里葉變換,時(shí)間離散,頻率不離散,它在頻域依然是連續(xù)的。 ?? 如果,讀到此,你不甚明白,大沒關(guān)系,不必糾結(jié)于以上4種變體,繼續(xù)往下看

8、,你自會(huì)豁然開朗?！灿惺裁磫栴},也懇請(qǐng)?zhí)岢?或者批評(píng)指正 ???ok, 本文,接下來,由傅里葉變換入手,后重點(diǎn)闡述離散傅里葉變換、快速傅里葉算法,到最后徹底實(shí)現(xiàn)FFT算法,全篇力求通俗易懂、閱讀順暢,教你從頭到尾徹底理解傅里葉變換算法。由于傅里葉變換,也稱傅立葉變換,下文所稱為傅立葉變換,同一個(gè)變換,不同叫法,讀者不必感到奇怪。 第一部分、DFT第一章、傅立葉變換的由來??? 要理解傅立葉變換,先得知道傅立葉變換是怎么變換的,當(dāng)然,也需要一定的高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ),最基本的是級(jí)數(shù)變換,其中傅立葉級(jí)數(shù)變換是傅立葉變換的基礎(chǔ)公式。 ? 一、傅立葉變換的提出 傅立葉是一位法國(guó)數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家,原名

9、是Jean Baptiste Joseph Fourier<1768-1830>, Fourier于1807年在法國(guó)科學(xué)學(xué)會(huì)上發(fā)表了一篇論文,論文里描述運(yùn)用正弦曲線來描述溫度分布,論文里有個(gè)在當(dāng)時(shí)具有爭(zhēng)議性的決斷：任何連續(xù)周期信號(hào)都可以由一組適當(dāng)?shù)恼仪€組合而成。 ??? 當(dāng)時(shí)審查這個(gè)論文拉格朗日?qǐng)?jiān)決反對(duì)此論文的發(fā)表,而后在近50年的時(shí)間里,拉格朗日?qǐng)?jiān)持認(rèn)為傅立葉的方法無法表示帶有棱角的信號(hào),如在方波中出現(xiàn)非連續(xù)變化斜率。直到拉格朗日死后15年這個(gè)論文才被發(fā)表出來。 ??? 誰是對(duì)的呢？拉格朗日是對(duì)的：正弦曲線無法組合成一個(gè)帶有棱角的信號(hào)。但是,我們可以用正弦曲線來非常逼近地表示它,逼近

10、到兩種表示方法不存在能量差別,基于此,傅立葉是對(duì)的。 ??? 為什么我們要用正弦曲線來代替原來的曲線呢？如我們也還可以用方波或三角波來代替呀,分解信號(hào)的方法是無窮多的,但分解信號(hào)的目的是為了更加簡(jiǎn)單地處理原來的信號(hào)。 ??? 用正余弦來表示原信號(hào)會(huì)更加簡(jiǎn)單,因?yàn)檎嘞覔碛性盘?hào)所不具有的性質(zhì)：正弦曲線保真度。一個(gè)正余弦曲線信號(hào)輸入后,輸出的仍是正余弦曲線,只有幅度和相位可能發(fā)生變化,但是頻率和波的形狀仍是一樣的。且只有正余弦曲線才擁有這樣的性質(zhì),正因如此我們才不用方波或三角波來表示。 二、傅立葉變換分類??? 根據(jù)原信號(hào)的不同類型,我們可以把傅立葉變換分為四種類別： 1、非周期性連續(xù)信

11、號(hào)??????? 傅立葉變換〔Fourier Transform 2、周期性連續(xù)信號(hào)?????????? 傅立葉級(jí)數(shù) 3、非周期性離散信號(hào)??????? 離散時(shí)域傅立葉變換〔Discrete Time Fourier Transform 4、周期性離散信號(hào)?????????? 離散傅立葉變換? ?????? 下圖是四種原信號(hào)圖例〔從上到下,依次是FT,FS,DTFT,DFT：? ??? 這四種傅立葉變換都是針對(duì)正無窮大和負(fù)無窮大的信號(hào),即信號(hào)的的長(zhǎng)度是無窮大的,我們知道這對(duì)于計(jì)算機(jī)處理來說

12、是不可能的,那么有沒有針對(duì)長(zhǎng)度有限的傅立葉變換呢？沒有。因?yàn)檎嘞也ū欢x成從負(fù)無窮小到正無窮大,我們無法把一個(gè)長(zhǎng)度無限的信號(hào)組合成長(zhǎng)度有限的信號(hào)。 ??? 面對(duì)這種困難,方法是：把長(zhǎng)度有限的信號(hào)表示成長(zhǎng)度無限的信號(hào)。如,可以把信號(hào)無限地從左右進(jìn)行延伸,延伸的部分用零來表示,這樣,這個(gè)信號(hào)就可以被看成是非周期性離散信號(hào),我們可以用到離散時(shí)域傅立葉變換〔DTFT的方法。也可以把信號(hào)用復(fù)制的方法進(jìn)行延伸,這樣信號(hào)就變成了周期性離散信號(hào),這時(shí)我們就可以用離散傅立葉變換方法〔DFT進(jìn)行變換。本章我們要講的是離散信號(hào),對(duì)于連續(xù)信號(hào)我們不作討論,因?yàn)橛?jì)算機(jī)只能處理離散的數(shù)值信號(hào),我們的最終目的是運(yùn)用計(jì)算

13、機(jī)來處理信號(hào)的。 ? ??? 但是對(duì)于非周期性的信號(hào),我們需要用無窮多不同頻率的正弦曲線來表示,這對(duì)于計(jì)算機(jī)來說是不可能實(shí)現(xiàn)的。所以對(duì)于離散信號(hào)的變換只有離散傅立葉變換〔DFT才能被適用,對(duì)于計(jì)算機(jī)來說只有離散的和有限長(zhǎng)度的數(shù)據(jù)才能被處理,對(duì)于其它的變換類型只有在數(shù)學(xué)演算中才能用到,在計(jì)算機(jī)面前我們只能用DFT方法,后面我們要理解的也正是DFT方法。 ??? 這里要理解的是我們使用周期性的信號(hào)目的是為了能夠用數(shù)學(xué)方法來解決問題,至于考慮周期性信號(hào)是從哪里得到或怎樣得到是無意義的。 ? ??? 每種傅立葉變換都分成實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)兩種方法,對(duì)于實(shí)數(shù)方法是最好理解的,但是復(fù)數(shù)方法就相對(duì)復(fù)雜許多

14、了,需要懂得有關(guān)復(fù)數(shù)的理論知識(shí),不過,如果理解了實(shí)數(shù)離散傅立葉變換,再去理解復(fù)數(shù)傅立葉變換就更容易了,所以我們先把復(fù)數(shù)的傅立葉變換放到一邊去,先來理解實(shí)數(shù)傅立葉變換,在后面我們會(huì)先講講關(guān)于復(fù)數(shù)的基本理論,然后在理解了實(shí)數(shù)傅立葉變換的基礎(chǔ)上再來理解復(fù)數(shù)傅立葉變換。 ? ??? 還有,這里我們所要說的變換雖然是數(shù)學(xué)意義上的變換,但跟函數(shù)變換是不同的,函數(shù)變換是符合一一映射準(zhǔn)則的,對(duì)于離散數(shù)字信號(hào)處理〔DSP,有許多的變換：傅立葉變換、拉普拉斯變換、Z變換、希爾伯特變換、離散余弦變換等,這些都擴(kuò)展了函數(shù)變換的定義,允許輸入和輸出有多種的值,簡(jiǎn)單地說變換就

15、是把一堆的數(shù)據(jù)變成另一堆的數(shù)據(jù)的方法。 ? 三、一個(gè)關(guān)于實(shí)數(shù)離散傅立葉變換的例子 ?????? 先來看一個(gè)變換實(shí)例,下圖是一個(gè)原始信號(hào)圖像： ?????? 這個(gè)信號(hào)的長(zhǎng)度是16,于是可以把這個(gè)信號(hào)分解9個(gè)余弦波和9個(gè)正弦波〔一個(gè)長(zhǎng)度為N的信號(hào)可以分解成N/2+1個(gè)正余弦信號(hào),這是為什么呢？結(jié)合下面的18個(gè)正余弦圖,我想從計(jì)算機(jī)處理精度上就不難理解,一個(gè)長(zhǎng)度為N的信號(hào),最多只能有N/2+1個(gè)不同頻率,再多的頻率就超過了計(jì)算機(jī)所能所處理的精度范圍,如下圖： ??????? 9個(gè)余弦信號(hào)： ????????9個(gè)正弦信號(hào)： ?????? 把以上所有信號(hào)相加即可得到

16、原始信號(hào),至于是怎么分別變換出9種不同頻率信號(hào)的,我們先不急,先看看對(duì)于以上的變換結(jié)果,在程序中又是該怎么表示的,我們可以看看下面這個(gè)示例圖： ? ??? 上圖中左邊表示時(shí)域中的信號(hào),右邊是頻域信號(hào)表示方法, 從左向右,-->,表示正向轉(zhuǎn)換,從右向左,<--,表示逆向轉(zhuǎn)換, 用小寫x[]表示信號(hào)在每個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的幅度值數(shù)組, 用大寫X[]表示每種頻率的副度值數(shù)組〔即時(shí)間x-->頻率X, 因?yàn)橛蠳/2+1種頻率,所以該數(shù)組長(zhǎng)度為N/2+1, ??? X[]數(shù)組又分兩種,一種是表示余弦波的不同頻率幅度值：Re X[], 另一種是

17、表示正弦波的不同頻率幅度值：Im X[], ??? Re是實(shí)數(shù)的意思,Im是虛數(shù)的意思,采用復(fù)數(shù)的表示方法把正余弦波組合起來進(jìn)行表示,但這里我們不考慮復(fù)數(shù)的其它作用,只記住是一種組合方法而已,目的是為了便于表達(dá)〔在后面我們會(huì)知道,復(fù)數(shù)形式的傅立葉變換長(zhǎng)度是N,而不是N/2+1。如此,再回過頭去,看上面的正余弦各9種頻率的變化,相信,問題不大了。 第二章、實(shí)數(shù)形式離散傅立葉變換〔Real DFT?????? 上一章,我們看到了一個(gè)實(shí)數(shù)形式離散傅立葉變換的例子,通過這個(gè)例子能夠讓我們先對(duì)傅立葉變換有一個(gè)較為形象的感性認(rèn)識(shí),現(xiàn)在就讓我們來看看實(shí)數(shù)形式離散傅立葉變換的

18、正向和逆向是怎么進(jìn)行變換的。在此,我們先來看一下頻率的多種表示方法。 ? 一、?? 頻域中關(guān)于頻率的四種表示方法? 1、序號(hào)表示方法,根據(jù)時(shí)域中信號(hào)的樣本數(shù)取0 ~ N/2,用這種方法在程序中使用起來可以更直接地取得每種頻率的幅度值,因?yàn)轭l率值跟數(shù)組的序號(hào)是一一對(duì)應(yīng)的: X[k],取值范圍是0 ~ N/2； 2、分?jǐn)?shù)表示方法,根據(jù)時(shí)域中信號(hào)的樣本數(shù)的比例值取0 ~ 0.5: X[?],? = k/N,取值范圍是0 ~ 1/2； 3、用弧度值來表示,把?乘以一個(gè)2π得到一個(gè)弧度值,這種表示方法叫做自然頻率：X[ω],ω = 2π? = 2πk/N,

19、取值范圍是0 ~ π；其中k取0-N/2。 4、以赫茲為單位來表示,這個(gè)一般是應(yīng)用于一些特殊應(yīng)用,如取樣率為10 kHz表示每秒有10,000個(gè)樣本數(shù)：取值范圍是0到取樣率的一半。 ? 二、?? DFT基本函數(shù)? ck[i] = cos<2πki/N> sk[i] = sin<2πki/N> ??? 其中k表示每個(gè)正余弦波的頻率,如為2表示在0到N長(zhǎng)度中存在兩個(gè)完整的周期,10即有10個(gè)周期,如下圖： ?????? 上圖中至于每個(gè)波的振幅值是怎么算出來的,這個(gè)是DFT的核心,也是最難理解的部分,我們先來看看如何把分解

20、出來的正余弦波合成原始信號(hào)。 ? 三、?? 合成運(yùn)算方法? DFT合成等式〔合成原始時(shí)間信號(hào),頻率-->時(shí)間,逆向變換： 如果有學(xué)過傅立葉級(jí)數(shù),對(duì)這個(gè)等式就會(huì)有似曾相識(shí)的感覺,不錯(cuò)！這個(gè)等式跟傅立葉級(jí)數(shù)是非常相似的： ?????????? 當(dāng)然,差別是肯定是存在的,因?yàn)檫@兩個(gè)等式是在兩個(gè)不同條件下運(yùn)用的,至于怎么證明DFT合成公式,這個(gè)我想需要非常強(qiáng)的高等數(shù)學(xué)理論知識(shí)了,這是研究數(shù)學(xué)的人的工作,對(duì)于普通應(yīng)用者就不需要如此的追根究底了,但是傅立葉級(jí)數(shù)是好理解的,我們起碼可以從傅立葉級(jí)數(shù)公式中看出DFT合成公式的合理性。 ?

21、???????????????????????????????? _??????????? _ ?????? DFT合成等式中的Im?X[k]和Re X[k]跟之前提到的Im X[k]和Re X[k]是不一樣的,下面是轉(zhuǎn)換方法〔關(guān)于此公式的解釋,見下文: ?????? ?????? 但k等于0和N/2時(shí),實(shí)數(shù)部分的計(jì)算要用下面的等式: ????????????? ?????? 上面四個(gè)式中的N是時(shí)域中點(diǎn)的總數(shù),k是從0到N/2的序號(hào)。 ?????? 為什么要這樣進(jìn)行轉(zhuǎn)換呢？這個(gè)可以從頻譜密度得到理解,如下圖就是個(gè)頻譜圖： ??????

22、?????? 這是一個(gè)頻譜圖,橫坐標(biāo)表示頻率大小,縱坐標(biāo)表示振幅大小,原始信號(hào)長(zhǎng)度為N〔這里是32,經(jīng)DFT轉(zhuǎn)換后得到的17個(gè)頻率的頻譜,頻譜密度表示每單位帶寬中為多大的振幅,那么帶寬是怎么計(jì)算出來的呢？看上圖,除了頭尾兩個(gè),其余點(diǎn)的所占的寬度是2/N,這個(gè)寬度便是每個(gè)點(diǎn)的帶寬,頭尾兩個(gè)點(diǎn)的帶寬是1/N,而Im X[k]和Re X[k]表示的是頻譜密度,即每一個(gè)單位帶寬的振幅大小,但表示2/N〔或1/N帶寬的振幅大小,所以分別應(yīng)當(dāng)是Im X[k]和Re X[k]的2/N〔或1/N。? 頻譜密度就象物理中物質(zhì)密度,原始信號(hào)中的每一個(gè)點(diǎn)就象是一個(gè)混合物,這個(gè)混合物是由不同密度的物質(zhì)組成的,混合物

23、中含有的每種物質(zhì)的質(zhì)量是一樣的,除了最大和最小兩個(gè)密度的物質(zhì)外,這樣我們只要把每種物質(zhì)的密度加起來就可以得到該混合物的密度了,又該混合物的質(zhì)量是單位質(zhì)量,所以得到的密度值跟該混合物的質(zhì)量值是一樣的。 ? ?????? 至于為什么虛數(shù)部分是負(fù)數(shù),這是為了跟復(fù)數(shù)DFT保持一致,這個(gè)我們將在后面會(huì)知道這是數(shù)學(xué)計(jì)算上的需要〔Im X[k]在計(jì)算時(shí)就已經(jīng)加上了一個(gè)負(fù)號(hào)〔稍后,由下文,便可知,再加上負(fù)號(hào),結(jié)果便是正的,等于沒有變化。 ? ?????? 如果已經(jīng)得到了DFT結(jié)果,這時(shí)要進(jìn)行逆轉(zhuǎn)換,即合成原始信號(hào),則可按如下步驟進(jìn)行轉(zhuǎn)換： 1、先根據(jù)上面四個(gè)式子計(jì)算得出的值； 2、再根據(jù)DFT合成

24、等式得到原始信號(hào)數(shù)據(jù)。 下面是用BASIC語(yǔ)言來實(shí)現(xiàn)的轉(zhuǎn)換源代碼： 100 ‘DFT逆轉(zhuǎn)換方法 110 ‘/XX[]數(shù)組存儲(chǔ)計(jì)算結(jié)果〔時(shí)域中的原始信號(hào) 120 ‘/REX[]數(shù)組存儲(chǔ)頻域中的實(shí)數(shù)分量,IMX[]為虛分量 130 ‘ 140 DIM XX[511] 150 DIM REX[256] 160 DIM IMX[256] 170 ‘ 180 PI = 3.14159265 190 N% = 512 200 ‘ 210 GOSUB XXXX ‘轉(zhuǎn)到子函數(shù)去獲取REX[]和IMX[]數(shù)據(jù) 220 ‘ 230 ‘ 240 ‘ 250 FOR K% = 0 T

25、O 256 260?? REX[K%] = REX[K%] / 270?? IMX[K%] = -IMX[K%] / 280 NEXT k% 290 ‘ 300 REX[0] = REX[0] / N 310 REX[256] = REX[256] / N 320 ‘ 330 ‘ 初始化XX[]數(shù)組 340 FOR I% = 0 TO 511 350?? XX[I%] = 0 360 NEXT I% 370 ‘ 380 ‘ 390 ‘ 400 ‘ 410 ‘ 420 FOR K% =0 TO 256 430?? FOR I%=0

26、TO 511 440 ‘ 450????? XX[I%] = XX[I%] + REX[K%] * COS<2 * PI * K% * I% / N%> 460????? XX[I%] = XX[I%] + IMX[K%] * SIN<2 * PI * K% * I% / N%> 470 ‘ 480?? NEXT I% 490 NEXT K% 500 ‘ 510 END ? 上面代碼中420至490換成如下形式也許更好理解,但結(jié)果都是一樣的： 420 FOR I% =0 TO 511 430?? FOR K%=0 TO 256 440 ‘ 450????? XX[

27、I%] = XX[I%] + REX[K%] * COS<2 * PI * K% * I% / N%> 460????? XX[I%] = XX[I%] + IMX[K%] * SIN<2 * PI * K% * I% / N%> 470 ‘ 480?? NEXT I% 490 NEXT K% ? 四、?? 分解運(yùn)算方法〔DFT? ????? 有三種完全不同的方法進(jìn)行DFT：一種方法是通過聯(lián)立方程進(jìn)行求解, 從代數(shù)的角度看,要從N個(gè)已知值求N個(gè)未知值,需要N個(gè)聯(lián)立方程,且N個(gè)聯(lián)立方程必須是線性獨(dú)立的,但這是這種方法計(jì)算量非常的大且極其復(fù)雜,所以很少被采用；第二種方法是利用信號(hào)的

28、相關(guān)性〔correlation進(jìn)行計(jì)算,這個(gè)是我們后面將要介紹的方法；第三種方法是快速傅立葉變換〔FFT,這是一個(gè)非常具有創(chuàng)造性和革命性的的方法,因?yàn)樗蟠筇岣吡诉\(yùn)算速度,使得傅立葉變換能夠在計(jì)算機(jī)中被廣泛應(yīng)用,但這種算法是根據(jù)復(fù)數(shù)形式的傅立葉變換來實(shí)現(xiàn)的,它把N個(gè)點(diǎn)的信號(hào)分解成長(zhǎng)度為N的頻域,這個(gè)跟我們現(xiàn)在所進(jìn)行的實(shí)域DFT變換不一樣,而且這種方法也較難理解,這里我們先不去理解,等先理解了復(fù)數(shù)DFT后,再來看一下FFT。有一點(diǎn)很重要,那就是這三種方法所得的變換結(jié)果是一樣的,經(jīng)過實(shí)踐證明,當(dāng)頻域長(zhǎng)度為32時(shí),利用相關(guān)性方法進(jìn)行計(jì)算效率最好,否則FFT算法效率較高?，F(xiàn)在就讓我們來看一下相關(guān)性算法

29、。 ? 利用第一種方法、信號(hào)的相關(guān)性可以從噪聲背景中檢測(cè)出已知的信號(hào),我們也可以利用這個(gè)方法檢測(cè)信號(hào)波中是否含有某個(gè)頻率的信號(hào)波：把一個(gè)待檢測(cè)信號(hào)波乘以另一個(gè)信號(hào)波,得到一個(gè)新的信號(hào)波,再把這個(gè)新的信號(hào)波所有的點(diǎn)進(jìn)行相加,從相加的結(jié)果就可以判斷出這兩個(gè)信號(hào)的相似程度。如下圖： ??????? 上面a和 b兩個(gè)圖是待檢測(cè)信號(hào)波,圖a很明顯可以看出是個(gè)3個(gè)周期的正弦信號(hào)波,圖b的信號(hào)波則看不出是否含有正弦或余弦信號(hào),圖c和d都是個(gè)3個(gè)周期的正弦信號(hào)波,圖e和f分別是a、b兩圖跟c、d兩圖相乘后的結(jié)果,圖e所有點(diǎn)的平均值是0.5,說明信號(hào)a含有振幅為1的正弦信號(hào)c,但

30、圖f所有點(diǎn)的平均值是0,則說明信號(hào)b不含有信號(hào)d。這個(gè)就是通過信號(hào)相關(guān)性來檢測(cè)是否含有某個(gè)信號(hào)的方法。 ? ?????? 第二種方法：相應(yīng)地,我也可以通過把輸入信號(hào)和每一種頻率的正余弦信號(hào)進(jìn)行相乘〔關(guān)聯(lián)操作,從而得到原始信號(hào)與每種頻率的關(guān)聯(lián)程度〔即總和大小,這個(gè)結(jié)果便是我們所要的傅立葉變換結(jié)果,下面兩個(gè)等式便是我們所要的計(jì)算方法： ?????? 第二個(gè)式子中加了個(gè)負(fù)號(hào),是為了保持復(fù)數(shù)形式的一致,前面我們知道在計(jì)算時(shí)又加了個(gè)負(fù)號(hào),所以這只是個(gè)形式的問題,并沒有實(shí)際意義,你也可以把負(fù)號(hào)去掉,并在計(jì)算時(shí)也不加負(fù)號(hào)。 ?????? 這里有一點(diǎn)必須明白一個(gè)正交的概念：兩個(gè)函數(shù)相乘,如果結(jié)果中的每

31、個(gè)點(diǎn)的總和為0,則可認(rèn)為這兩個(gè)函數(shù)為正交函數(shù)。要確保關(guān)聯(lián)性算法是正確的,則必須使得跟原始信號(hào)相乘的信號(hào)的函數(shù)形式是正交的,我們知道所有的正弦或余弦函數(shù)是正交的,這一點(diǎn)我們可以通過簡(jiǎn)單的高數(shù)知識(shí)就可以證明它,所以我們可以通過關(guān)聯(lián)的方法把原始信號(hào)分離出正余弦信號(hào)。當(dāng)然,其它的正交函數(shù)也是存在的,如：方波、三角波等形式的脈沖信號(hào),所以原始信號(hào)也可被分解成這些信號(hào),但這只是說可以這樣做,卻是沒有用的。 ?????? 下面是實(shí)域傅立葉變換的BASIC語(yǔ)言代碼： ?到此為止,我們對(duì)傅立葉變換便有了感性的認(rèn)識(shí)了吧。但要記住,這只是在實(shí)域上的離散傅立葉變換,其中雖然也用到了復(fù)數(shù)的形式,但那只是個(gè)替代的

32、形式,并無實(shí)際意義,現(xiàn)實(shí)中一般使用的是復(fù)數(shù)形式的離散傅立葉變換,且快速傅立葉變換是根據(jù)復(fù)數(shù)離散傅立葉變換來設(shè)計(jì)算法的,在后面我們先來復(fù)習(xí)一下有關(guān)復(fù)數(shù)的內(nèi)容,然后再在理解實(shí)域離散傅立葉變換的基礎(chǔ)上來理解復(fù)數(shù)形式的離散傅立葉變換。 第三章、復(fù)數(shù) ????? ??復(fù)數(shù)擴(kuò)展了我們一般所能理解的數(shù)的概念,復(fù)數(shù)包含了實(shí)數(shù)和虛數(shù)兩部分,利用復(fù)數(shù)的形式可以把由兩個(gè)變量表示的表達(dá)式變成由一個(gè)變量<復(fù)變量>來表達(dá),使得處理起來更加自然和方便。 ??????? 我們知道傅立葉變換的結(jié)果是由兩部分組成的,使用復(fù)數(shù)形式可以縮短變換表達(dá)式,使得我們可以單獨(dú)處理一個(gè)變量〔這個(gè)在后面的描述中我們就可以更加確切地知道,而

33、且快速傅立葉變換正是基于復(fù)數(shù)形式的,所以幾乎所有描述的傅立葉變換形式都是復(fù)數(shù)的形式。 ????? ?但是復(fù)數(shù)的概念超過了我們?nèi)粘Ｉ钪兴芾斫獾母拍?要理解復(fù)數(shù)是較難的,所以我們?cè)诶斫鈴?fù)數(shù)傅立葉變換之前,先來專門復(fù)習(xí)一下有關(guān)復(fù)數(shù)的知識(shí),這對(duì)后面的理解非常重要。 一、?復(fù)數(shù)的提出? ????? 在此,先讓我們看一個(gè)物理實(shí)驗(yàn)：把一個(gè)球從某點(diǎn)向上拋出,然后根據(jù)初速度和時(shí)間來計(jì)算球所在高度,這個(gè)方法可以根據(jù)下面的式子計(jì)算得出： 其中h表示高度,g表示重力加速度<9.8m/s2>,v表示初速度,t表示時(shí)間?，F(xiàn)在反過來,假如知道了高度,要求計(jì)算到這個(gè)高度所需要的時(shí)間,這時(shí)我們又可以通過下式來計(jì)算：

34、 〔多謝JERRY_PRI提出： ??? 1、根據(jù)公式h=-+Vt〔gt后面的2表示t的平方,我們可以討論最終情況,也就是說小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí),v=gt,所以,可以得到t=sqt<2h/g> 且在您給的公式中,根號(hào)下為1-<2h>/g,化成分?jǐn)?shù)形式為/g,g和h不能直接做加減運(yùn)算。 ??? 2、g是重力加速度,單位是m/s2,h的單位是m,他們兩個(gè)相減的話在物理上沒有意義,而且使用您給的那個(gè)公式反向回去的話推出的是h=-+gt啊〔gt后面的2表示t的平方。 ??? 3、直接推到可以得出t=v/g±sqt</g2>〔v和g后面的2

35、都表示平方,那么也就是說當(dāng)v2<2hg時(shí)會(huì)產(chǎn)生復(fù)數(shù),但是如果從實(shí)際的v2是不可能小于2hg的,所以我感覺復(fù)數(shù)不能從實(shí)際出發(fā)去推到,只能從抽象的角度說明一下。 ??????經(jīng)過計(jì)算我們可以知道,當(dāng)高度是3米時(shí),有兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)到達(dá)該高度：球向上運(yùn)動(dòng)時(shí)的時(shí)間是0.38秒,球向下運(yùn)動(dòng)時(shí)的時(shí)間是1.62秒。但是如果高度等于10時(shí),結(jié)果又是什么呢？根據(jù)上面的式子可以發(fā)現(xiàn)存在對(duì)負(fù)數(shù)進(jìn)行開平方運(yùn)算,我們知道這肯定是不現(xiàn)實(shí)的。 ????? 第一次使用這個(gè)不一般的式子的人是意大利數(shù)學(xué)家Girolamo Cardano〔1501-1576,兩個(gè)世紀(jì)后,德國(guó)偉大數(shù)學(xué)家Carl Friedrich Gause〔177

36、7-1855提出了復(fù)數(shù)的概念,為后來的應(yīng)用鋪平了道路,他對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行這樣表示：復(fù)數(shù)由實(shí)數(shù)〔real和虛數(shù)兩部分組成,虛數(shù)中的根號(hào)負(fù)1用i來表示〔在這里我們用j來表示,因?yàn)閕在電力學(xué)中表示電流的意思。?????? 我們可以把橫坐標(biāo)表示成實(shí)數(shù),縱坐標(biāo)表示成虛數(shù),則坐標(biāo)中的每個(gè)點(diǎn)的向量就可以用復(fù)數(shù)來表示,如下圖： ??????????????? ?????? 上圖中的ABC三個(gè)向量可以表示成如下的式子： ? ??????????? A = 2 + 6j ??????????? B = -4 – 1.5j ??????????? C = 3 – 7j ? ?????

37、? 這樣子來表達(dá)方便之處在于運(yùn)用一個(gè)符號(hào)就能把兩個(gè)原來難以聯(lián)系起來的數(shù)組合起來了,不方便的是我們要分辨哪個(gè)是實(shí)數(shù)和哪個(gè)是虛數(shù),我們一般是用Re< >和Im< >來表示實(shí)數(shù)和虛數(shù)兩部分,如： ? ??????????? Re A = 2????? Im A = 6 ??????????? Re B = -4???? Im B = -1.5 ??????????? Re C = 3????? Im C = -7? ? ?????? 復(fù)數(shù)之間也可以進(jìn)行加減乘除運(yùn)算： ???????????? ?? ?????? 這里有個(gè)特殊的地方是j2等于-1,上面第四個(gè)式子的計(jì)算方法是把分子和分

38、母同時(shí)乘以c – dj,這樣就可消去分母中的j了。 ? ?????? 復(fù)數(shù)也符合代數(shù)運(yùn)算中的交換律、結(jié)合律、分配律： ? ????????????? A B = B A ????????????? + C = A + ??????????? ? A = AB + AC ?二、?復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)表示形式?????? 前面提到的是運(yùn)用直角坐標(biāo)來表示復(fù)數(shù),其實(shí)更為普遍應(yīng)用的是極坐標(biāo)的表示方法,如下圖： ?????????????? ?????? 上圖中的M即是數(shù)量積,表示從原點(diǎn)到坐標(biāo)點(diǎn)的距離,θ是相位角

39、 angle>,表示從X軸正方向到某個(gè)向量的夾角,下面四個(gè)式子是計(jì)算方法： ????????????????????? ???? 我們還可以通過下面的式子進(jìn)行極坐標(biāo)到直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換： ? ???????????? a + jb = M ?????上面這個(gè)等式中左邊是直角坐標(biāo)表達(dá)式,右邊是極坐標(biāo)表達(dá)式。 ? ?????還有一個(gè)更為重要的等式——?dú)W拉等式〔歐拉,瑞士的著名數(shù)學(xué)家,Leonhard Euler,1707-1783： ?????????? ??ejx = cos x + j sin x?? ???? 這個(gè)等式可以從下面的級(jí)數(shù)變換中得

40、到證明： ??????上面中右邊的兩個(gè)式子分別是cos和sin的泰勒級(jí)數(shù)。 ? ??????這樣子我們又可以把復(fù)數(shù)的表達(dá)式表示成指數(shù)的形式了： ? ?????????? ??a + jb = M ejθ 〔這便是復(fù)數(shù)的兩個(gè)表達(dá)式? ??????指數(shù)形式是數(shù)字信號(hào)處理中數(shù)學(xué)方法的支柱,也許是因?yàn)橛弥笖?shù)形式進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算極為簡(jiǎn)單的緣故吧： 三、復(fù)數(shù)是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)工具? ?????? 為什么要使用復(fù)數(shù)呢？其實(shí)它只是個(gè)工具而已,就如釘子和錘子的關(guān)系,復(fù)數(shù)就象那錘子,作為一種使用的工具。我們把要解決的問題表達(dá)成復(fù)數(shù)的形式〔因?yàn)橛行﹩栴}用復(fù)數(shù)的形式進(jìn)行運(yùn)

41、算更加方便,然后對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行運(yùn)算,最后再轉(zhuǎn)換回來得到我們所需要的結(jié)果。 ? ?????? 有兩種方法使用復(fù)數(shù),一種是用復(fù)數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)單的替換,如前面所說的向量表達(dá)式方法和前一節(jié)中我們所討論的實(shí)域DFT,另一種是更高級(jí)的方法：數(shù)學(xué)等價(jià),復(fù)數(shù)形式的傅立葉變換用的便是數(shù)學(xué)等價(jià)的方法,但在這里我們先不討論這種方法,這里我們先來看一下用復(fù)數(shù)進(jìn)行替換中的問題。 ? ?????? 用復(fù)數(shù)進(jìn)行替換的基本思想是：把所要分析的物理問題轉(zhuǎn)換成復(fù)數(shù)的形式,其中只是簡(jiǎn)單地添加一個(gè)復(fù)數(shù)的符號(hào)j,當(dāng)返回到原來的物理問題時(shí),則只是把符號(hào)j去掉就可以了。 ? ?????

42、? 有一點(diǎn)要明白的是并不是所有問題都可以用復(fù)數(shù)來表示,必須看用復(fù)數(shù)進(jìn)行分析是否適用,有個(gè)例子可以看出用復(fù)數(shù)來替換原來問題的表達(dá)方式明顯是謬誤的：假設(shè)一箱的蘋果是5美元,一箱的桔子是10美元,于是我們把它表示成 5 + 10j,有一個(gè)星期你買了6箱蘋果和2箱桔子,我們又把它表示成6 + 2j,最后計(jì)算總共花的錢是<5 + 10j><6 + 2j> = 10 + 70j,結(jié)果是買蘋果花了10美元的,買桔子花了70美元,這樣的結(jié)果明顯是錯(cuò)了,所以復(fù)數(shù)的形式不適合運(yùn)用于對(duì)這種問題的解決。 ? 四、用復(fù)數(shù)來表示正余弦函數(shù)表達(dá)式? ?????? 對(duì)于象M cos <ωt + φ>和A cos<ωt

43、> + B sin<ωt >表達(dá)式,用復(fù)數(shù)來表示,可以變得非常簡(jiǎn)潔,對(duì)于直角坐標(biāo)形式可以按如下形式進(jìn)行轉(zhuǎn)換： ??????? ?????? 上式中余弦幅值A(chǔ)經(jīng)變換生成a,正弦幅值B的相反數(shù)經(jīng)變換生成b：A <=> a,B<=> -b,但要注意的是,這不是個(gè)等式,只是個(gè)替換形式而已。 ? ?????? 對(duì)于極坐標(biāo)形式可以按如下形式進(jìn)行轉(zhuǎn)換： ??????? ?????? ?????? 上式中,M <=> M,θ<=>φ。 ?? 這里虛數(shù)部分采用負(fù)數(shù)的形式主要是為了跟復(fù)數(shù)傅立葉變換表達(dá)式保持一致,對(duì)于這種替換的方法來表示正余弦,符號(hào)的變換沒有什么好處,但替換時(shí)總會(huì)被改變掉符號(hào)以跟更

44、高級(jí)的等價(jià)變換保持形式上的一致。 ? ??????? 在離散信號(hào)處理中,運(yùn)用復(fù)數(shù)形式來表示正余弦波是個(gè)常用的技術(shù),這是因?yàn)槔脧?fù)數(shù)進(jìn)行各種運(yùn)算得到的結(jié)果跟原來的正余弦運(yùn)算結(jié)果是一致的,但是,我們要小心使用復(fù)數(shù)操作,如加、減、乘、除,有些操作是不能用的,如兩個(gè)正弦信號(hào)相加,采用復(fù)數(shù)形式進(jìn)行相加,得到的結(jié)果跟替換前的直接相加的結(jié)果是一樣的,但是如果兩個(gè)正弦信號(hào)相乘,則采用復(fù)數(shù)形式來相乘結(jié)果是不一樣的。幸運(yùn)的是,我們已嚴(yán)格定義了正余弦復(fù)數(shù)形式的運(yùn)算操作條件： 1、參加運(yùn)算的所有正余弦的頻率必須是一樣的； 2、運(yùn)算操作必須是線性的,如兩個(gè)正弦信號(hào)可以進(jìn)行相加減,但不能進(jìn)行乘除,象信號(hào)的放大、衰

45、減、高低通濾波等系統(tǒng)都是線性的,象平方、縮短、取限等則不是線性的。要記住的是卷積和傅立葉分析也只有線性操作才可以進(jìn)行。 ??? ???????下圖是一個(gè)相量變換<我們把正弦或余弦波變成復(fù)數(shù)的形式稱為相量變換,Phasor transform>的例子,一個(gè)連續(xù)信號(hào)波經(jīng)過一個(gè)線性處理系統(tǒng)生成另一個(gè)信號(hào)波,從計(jì)算過程我們可以看出采用復(fù)數(shù)的形式使得計(jì)算變化十分的簡(jiǎn)潔： ? ??? 在第二章中我們描述的實(shí)數(shù)形式傅立葉變換也是一種替換形式的復(fù)數(shù)變換,但要注意的是那還不是復(fù)數(shù)傅立葉變換,只是一種代替方式而已。下一章、即,第四章,我們就會(huì)知道復(fù)數(shù)傅立葉變換是一種更高級(jí)的變換,而不是這種簡(jiǎn)單的替換形式。

46、? 第四章、復(fù)數(shù)形式離散傅立葉變換 ??? 復(fù)數(shù)形式的離散傅立葉變換非常巧妙地運(yùn)用了復(fù)數(shù)的方法,使得傅立葉變換變換更加自然和簡(jiǎn)潔,它并不是只是簡(jiǎn)單地運(yùn)用替換的方法來運(yùn)用復(fù)數(shù),而是完全從復(fù)數(shù)的角度來分析問題,這一點(diǎn)跟實(shí)數(shù)DFT是完全不一樣的。 ? 一、? 把正余弦函數(shù)表示成復(fù)數(shù)的形式 ??? 通過歐拉等式可以把正余弦函數(shù)表示成復(fù)數(shù)的形式： ? ????????????????? ? cos< x > = 1/2 e j<-x> + 1/2 ejx? ????????????????????sin< x > = j <1/2 e j<-x> - 1/2 ejx> ??? 從這個(gè)

47、等式可以看出,如果把正余弦函數(shù)表示成復(fù)數(shù)后,它們變成了由正負(fù)頻率組成的正余弦波,相反地,一個(gè)由正負(fù)頻率組成的正余弦波,可以通過復(fù)數(shù)的形式來表示。 ? ??? 我們知道,在實(shí)數(shù)傅立葉變換中,它的頻譜是0 ~ π<0 ~ N/2>,但無法表示-π~ 0的頻譜,可以預(yù)見,如果把正余弦表示成復(fù)數(shù)形式,則能夠把負(fù)頻率包含進(jìn)來。 ? 二、? 把變換前后的變量都看成復(fù)數(shù)的形式? ??? 復(fù)數(shù)形式傅立葉變換把原始信號(hào)x[n]當(dāng)成是一個(gè)用復(fù)數(shù)來表示的信號(hào),其中實(shí)數(shù)部分表示原始信號(hào)值,虛數(shù)部分為0,變換結(jié)果X[k]也是個(gè)復(fù)數(shù)的形式,但這里的虛數(shù)部分是有值的。 ??? 在這里要用復(fù)數(shù)的觀點(diǎn)來看原始信號(hào),

48、是理解復(fù)數(shù)形式傅立葉變換的關(guān)鍵〔如果有學(xué)過復(fù)變函數(shù)則可能更好理解,即把x[n]看成是一個(gè)復(fù)數(shù)變量,然后象對(duì)待實(shí)數(shù)那樣對(duì)這個(gè)復(fù)數(shù)變量進(jìn)行相同的變換。 ? 三、? 對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行相關(guān)性算法〔正向傅立葉變換? ???? 從實(shí)數(shù)傅立葉變換中可以知道,我們可以通過原始信號(hào)乘以一個(gè)正交函數(shù)形式的信號(hào),然后進(jìn)行求總和,最后就能得到這個(gè)原始信號(hào)所包含的正交函數(shù)信號(hào)的分量。 ???? 現(xiàn)在我們的原始信號(hào)變成了復(fù)數(shù),我們要得到的當(dāng)然是復(fù)數(shù)的信號(hào)分量,我們是不是可以把它乘以一個(gè)復(fù)數(shù)形式的正交函數(shù)呢？答案是肯定的,正余弦函數(shù)都是正交函數(shù),變成如下形式的復(fù)數(shù)后,仍舊還是正交函數(shù)〔這個(gè)從正交函數(shù)的定義可以很容易得到證

49、明： ??????????????? ?? cos x + j sin x, cos x – j sin x,…… ? ???? 這里我們采用上面的第二個(gè)式子進(jìn)行相關(guān)性求和,為什么用第二個(gè)式子呢?,我們?cè)诤竺鏁?huì)知道,正弦函數(shù)在虛數(shù)中變換后得到的是負(fù)的正弦函數(shù),這里我們?cè)偌由弦粋€(gè)負(fù)號(hào),使得最后的得到的是正的正弦波,根據(jù)這個(gè)于是我們很容易就可以得到了復(fù)數(shù)形式的DFT正向變換等式： ??????? ???? 這個(gè)式子很容易可以得到歐拉變換式子： ??????? ? ???? 其實(shí)我們是為了表達(dá)上的方便才用到歐拉變換式,在解決問題時(shí)我們還是較多地用到正余弦表達(dá)式。 ? ??????

50、 對(duì)于上面的等式,我們要清楚如下幾個(gè)方面〔也是區(qū)別于實(shí)數(shù)DFT的地方： 1、X[k]、x[n]都是復(fù)數(shù),但x[n]的虛數(shù)部分都是由0組成的,實(shí)數(shù)部分表示原始信號(hào)； 2、k的取值范圍是0 ~ N-1 <也可以表達(dá)成0 ~ 2π>,其中0 ~ N/2〔或0 ~ π是正頻部分, N/2 ~ N-1〔π~ 2π是負(fù)頻部分,由于正余弦函數(shù)的對(duì)稱性,所以我們把 –π~ 0表示成π~ 2π,這是出于計(jì)算上方便的考慮。 3、其中的j是一個(gè)不可分離的組成部分,就象一個(gè)等式中的變量一樣,不能隨便去掉,去掉之后意義就完全不一樣了,但我們知道在實(shí)數(shù)DFT中,j只是個(gè)符號(hào)而已,把j去掉,整個(gè)等式的意義不變；

51、4、下圖是個(gè)連續(xù)信號(hào)的頻譜,但離散頻譜也是與此類似的,所以不影響我們對(duì)問題的分析： ? ???? 上面的頻譜圖把負(fù)頻率放到了左邊,是為了迎合我們的思維習(xí)慣,但在實(shí)際實(shí) 現(xiàn)中我們一般是把它移到正的頻譜后面的。 ???? 從上圖可以看出,時(shí)域中的正余弦波〔用來組成原始信號(hào)的正余弦波在復(fù)數(shù)DFT的頻譜中被分成了正、負(fù)頻率的兩個(gè)組成部分,基于此等式中前面的比例系數(shù)是1/N〔或1/2π,而不是2/N,這是因?yàn)楝F(xiàn)在把頻譜延伸到了2π,但把正負(fù)兩個(gè)頻率相加即又得到了2/N,又還原到了實(shí)數(shù)DFT的形式,這個(gè)在后面的描述中可以更清楚地看到。 ???? 由于復(fù)數(shù)DFT生成的是一個(gè)完整的頻譜,原始信號(hào)

52、中的每一個(gè)點(diǎn)都是由正、負(fù)兩個(gè)頻率組合而成的,所以頻譜中每一個(gè)點(diǎn)的帶寬是一樣的,都是1/N,相對(duì)實(shí)數(shù)DFT,兩端帶寬比其它點(diǎn)的帶寬少了一半；復(fù)數(shù)DFT的頻譜特征具有周期性：-N/2 ~ 0與N/2 ~ N-1是一樣的,實(shí)域頻譜呈偶對(duì)稱性〔表示余弦波頻譜,虛域頻譜呈奇對(duì)稱性〔表示正弦波頻譜。 ? 四、? 逆向傅立葉變換? ???? 假設(shè)我們已經(jīng)得到了復(fù)數(shù)形式的頻譜X[k],現(xiàn)在要把它還原到復(fù)數(shù)形式的原始信號(hào)x[n],當(dāng)然應(yīng)該是把X[k]乘以一個(gè)復(fù)數(shù),然后再進(jìn)行求和,最后得到原始信號(hào)x[n],這個(gè)跟X[k]相乘的復(fù)數(shù)首先讓我們想到的應(yīng)該是上面進(jìn)行相關(guān)性計(jì)算的復(fù)數(shù)： ?????????????

53、????????cos<2πkn/N> – j si<2πkn/N>, ? ???? 但其中的負(fù)號(hào)其實(shí)是為了使得進(jìn)行逆向傅立葉變換時(shí)把正弦函數(shù)變?yōu)檎姆?hào),因?yàn)樘摂?shù)j的運(yùn)算特殊性,使得原來應(yīng)該是正的正弦函數(shù)變?yōu)榱素?fù)的正弦函數(shù)〔我們從后面的推導(dǎo)會(huì)看到這一點(diǎn),所以這里的負(fù)號(hào)只是為了糾正符號(hào)的作用,在進(jìn)行逆向DFT時(shí),我們可以把負(fù)號(hào)去掉,于是我們便得到了這樣的逆向DFT變換等式： x[n] = X[k] + j sin<2πkn/N>> ???? 我們現(xiàn)在來分析這個(gè)式子,會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)式其實(shí)跟實(shí)數(shù)傅立葉變換是可以得到一樣結(jié)果的。我們先把X[k]變換一下： ??????

54、???????????? ? X[k] = Re X[k] + j Im X[k] ????? 這樣我們就可以對(duì)x[n]再次進(jìn)行變換,如： ?????? ??? x[n] = + j sin<2πkn/N>> ???????? ????? ?? = < Re X[k] cos<2πkn/N> + j Im X[k] cos<2πkn/N> +j Re X[k] sin<2πkn/N> -? Im X[k] sin<2πkn/N> > ???????????? ???? = < Re X[k] 〔cos<2πkn/

55、N> + j sin<2πkn/N> +??? ---------------------<1> ????????????????????????? ? Im X[k] 〔 - sin<2πkn/N> + j cos<2πkn/N>>? ---------------<2> ????? 這時(shí)我們就把原來的等式分成了兩個(gè)部分,第一個(gè)部分是跟實(shí)域中的頻譜相乘,第二個(gè)部分是跟虛域中的頻譜相乘,根據(jù)頻譜圖我們可以知道,Re X[k]是個(gè)偶對(duì)稱的變量,Im X[k]是個(gè)奇對(duì)稱的變量,即 ??? ??? ???????? ? ?Re X[k] = Re X[- k] ???????? ??????

56、? ?? Im X[k] = - Im X[-k] ????? 但k的范圍是0 ~ N-1,0~N/2表示正頻率,N/2~N-1表示負(fù)頻率,為了表達(dá)方便我們把N/2~N-1用-k來表示,這樣在從0到N-1的求和過程中對(duì)于<1>和<2>式分別有N/2對(duì)的k和-k的和,對(duì)于〔1式有： ???????????????? ? ?Re X[k] + j sin<2πkn/N>> + Re X[- k] + j sin< -2πkn/N>> ????? 根據(jù)偶對(duì)稱性和三角函數(shù)的性質(zhì),把上式化簡(jiǎn)得到： ? ?????????????????

57、? ?Re X[k] + j sin<2πkn/N>> + Re X[ k] - j sin< 2πkn/N>> ????? 這個(gè)式子最后的結(jié)果是： ????????????? ???? ?2 Re X[ k] cos<2πkn/N>。 ????? ????? 再考慮到求Re X[ k]等式中有個(gè)比例系數(shù)1/N,把1/N乘以2,這樣的結(jié)果不就是跟實(shí)數(shù)DFT中的式子一樣了嗎？ ? ????? 對(duì)于<2>式,用同樣的方法,我們也可以得到這樣的結(jié)果： ?????????????????? ?-2 Im X[k] sin<2πkn/N> ?????? 注意上式前面多了個(gè)負(fù)符號(hào),這是由于虛數(shù)變換的特殊性造成的,當(dāng)然我們肯定不能把負(fù)符號(hào)的正弦函數(shù)跟余弦來相加,還好,我們前面是用cos<2πkn/N> – j sin<2πkn/N>進(jìn)行相關(guān)性計(jì)算,得到的Im X[k]中有個(gè)負(fù)的符號(hào),這樣最后的結(jié)果中正弦函數(shù)就沒有負(fù)的符號(hào)了,這就是為什么在進(jìn)行相關(guān)性計(jì)算時(shí)虛數(shù)部分要用到負(fù)符號(hào)的原因〔我覺得這也許是復(fù)數(shù)形式DFT美中不足的地方,讓人有一種拼湊的感覺。 ? ?????? 從上面的分析中可以看出,實(shí)數(shù)傅立葉變換跟復(fù)數(shù)傅立葉變換,在進(jìn)行逆變換時(shí)得到的結(jié)果是一樣的,只不過是殊途同歸吧。 .