4、三角關(guān)系：設(shè)頂角為頂角為∠A，底角為∠B、∠C，則∠A=180°-2∠B，∠B=∠C=．
典例1 （2020·四川省武勝縣萬(wàn)善初級(jí)中學(xué)初二月考）等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為40°，則其余兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為
A．40°，100° B．70°，70°
C．60°，80° D．40°，100°或70°，70°
【答案】D
【解析】①若等腰三角形的頂角為40°時(shí)，另外兩個(gè)內(nèi)角=（180°–40°）÷2=70°；
②若等腰三角形的底角為40°時(shí)，它的另外一個(gè)底角為40°，頂角為180°–40°–40°=100°．
所以另外兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為：40°、100°或70°、70°．故選
5、D．
【名師點(diǎn)睛】考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和為180o，解題關(guān)鍵是分情況進(jìn)行討論①已知角為頂角時(shí)；②已知角為底角時(shí)．
典例2 （2019·延安市實(shí)驗(yàn)中學(xué)初二期末）如圖，在中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，下列結(jié)論不正確的是
A．ADBC B．∠B=∠C
C．AB=2BD D．AD平分∠BAC
【答案】C
【解析】因?yàn)椤鰽BC中，AB=AC，D是BC中點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形的三線(xiàn)合一性質(zhì)可得，
A．AD⊥BC，故A選項(xiàng)正確；
B．∠B=∠C，故B選項(xiàng)正確；
C．無(wú)法得到AB=2BD，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D．AD平分∠BAC，故D選項(xiàng)正確．
故選C．
【名師點(diǎn)睛
6、】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，本題關(guān)鍵熟練運(yùn)用等腰三角形的三線(xiàn)合一性質(zhì).
1．（2020·自貢市田家炳中學(xué)初二期中）等腰三角形的周長(zhǎng)為13cm，其中一邊長(zhǎng)為4cm，則該等腰三角形的底邊為_(kāi)_________cm.
考向二 等腰三角形的判定
1．等腰三角形的判定定理是證明兩條線(xiàn)段相等的重要依據(jù)，是把三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù)．
2．底角為頂角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分線(xiàn)將原等腰三角形分成兩個(gè)等腰三角形．
典例3 如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，E是AB上的一點(diǎn)，EF∥AD交CA的延長(zhǎng)線(xiàn)于F．
求證：△AEF是等腰三角形
7、．
【解析】∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD．
又∵AD∥EF，∴∠F=∠CAD，∠FEA=∠BAD，
∴∠FEA=∠F，
∴△AEF是等腰三角形．
2．已知在△ABC中，AB=5，BC=2，且AC的長(zhǎng)為奇數(shù)．
（1）求△ABC的周長(zhǎng)；（2）判斷△ABC的形狀．
考向三 等邊三角形的性質(zhì)
1．等邊三角形具有等腰三角形的一切性質(zhì)．
2．等邊三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它有三條對(duì)稱(chēng)軸．
3．等邊三角形的內(nèi)心、外心、重心和垂心重合．
典例4 （2019·山東初二期末）如圖，在△ABC中，∠B=∠C=60°，點(diǎn)D為AB邊的中點(diǎn)，DE⊥BC于E，
8、若BE=1，則AC的長(zhǎng)為_(kāi)_________．
【答案】4
【解析】∵DE⊥BC，∠B=∠C=60°，
∴∠BDE=30°，∴BD=2BE=2，
∵點(diǎn)D為AB邊的中點(diǎn)，∴AB=2BD=4，
∵∠B=∠C=60°，∴△ABC為等邊三角形，
∴AC=AB=4，故答案為：4．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，利用直角三角形的性質(zhì)求得AB=2BD是解題的關(guān)鍵.
3．（2020·山東初二期中）如圖，是等邊三角形，點(diǎn)在上，以為一邊作等邊，連接．
（1）說(shuō)明的理由；
（2）若，求的度數(shù)．
考向四 等邊三角形的判定
在等腰三角形中，
9、只要有一個(gè)角是60°，無(wú)論這個(gè)角是頂角還是底角，這個(gè)三角形就是等邊三角形．
典例5 下列推理中，錯(cuò)誤的是
A．∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等邊三角形
B．∵AB=AC，且∠B=∠C，∴△ABC是等邊三角形
C．∵∠A=60°，∠B=60°，∴△ABC是等邊三角形
D．∵AB=AC，∠B=60°，∴△ABC是等邊三角形
【答案】B
【解析】A，∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等邊三角形，故正確；
B，條件重復(fù)且條件不足，故不正確；
C，∵∠A=60°，∠B=60°，∴∠C=60°，∴△ABC是等邊三角形60°，故正確；
D，根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角
10、形可以得到，故正確．故選B．
4．如圖，已知OA=5，P是射線(xiàn)ON上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠AON=60°．當(dāng)OP=__________時(shí)，△AOP為等邊三角形．
考向五 直角三角形
在直角三角形中，30°的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，這個(gè)性質(zhì)常常用于計(jì)算三角形的邊長(zhǎng)，也是證明一邊（30°角所對(duì)的直角邊）等于另一邊（斜邊）的一半的重要依據(jù)．當(dāng)題目中已知的條件或結(jié)論傾向于該性質(zhì)時(shí)，我們可運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將線(xiàn)段或角轉(zhuǎn)化，構(gòu)造直角三角形，從而將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題．
典例6 如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，若∠B=30°，BD=6，則CD的長(zhǎng)為_(kāi)
11、_________．
【答案】3
【解析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°．又AD平分∠BAC，∴∠BAD=
∠CAD=30°，
∴∠BAD=∠B=30°，∴AD=BD=6，∴CD=AD=3，故答案為：3．
5．已知直角三角形的兩條邊分別是5和12，則斜邊上的中線(xiàn)的長(zhǎng)度為_(kāi)_________．
考向六 勾股定理
1．應(yīng)用勾股定理時(shí)，要分清直角邊和斜邊，尤其在記憶a2+b2=c2時(shí)，斜邊只能是c．若b為斜邊，則關(guān)系式是a2+c2=b2；若a為斜邊，則關(guān)系式是b2+c2=a2．
2．如果已知的兩邊沒(méi)有明確邊的類(lèi)型，那么它們可能都是直角邊，也
12、可能是一條直角邊、一條斜邊，求解時(shí)必須進(jìn)行分類(lèi)討論，以免漏解．
典例7 （2020·云南初二月考）直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為cm和cm，則這個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)_________.
【答案】cm
【解析】∵直角邊長(zhǎng)為:cm和cm，∴斜邊=（cm），
∴周長(zhǎng)=（cm）.
故答案為:cm
【名師點(diǎn)睛】本題考查了二次根式與三角形邊長(zhǎng)，面積的綜合運(yùn)用.熟練掌握勾股定理的計(jì)算解出斜邊是關(guān)鍵
6．如圖所示，在中，，，，為邊上的中點(diǎn).
（1）求、的長(zhǎng)度；
（2）將折疊，使與重合，得折痕；求、的長(zhǎng)度.
1．（2020·浙江初二月考）直
13、角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為6和8，則此直角三角形斜邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)是
A．3 B．4 C．7 D．5
2．（2020·山東初二期中）如圖，是等邊三角形，，則的度數(shù)為
A．50° B．55° C．60° D．65°
3．（2019·吉林初二期末）如圖是“人字形”鋼架，其中斜梁AB=AC，頂角∠BAC=120°，跨度BC=10m，AD為支柱（即底邊BC的中線(xiàn)），兩根支撐架DE⊥AB，DF⊥AC，則DE+DF等于
A．10m B．5m
C．2.5m D．9.5m
4．（2019·河南初二期中）如圖，是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，為頂角的等腰三角形，點(diǎn)、分別在、上，且，則的周長(zhǎng)為
14、
A．2 B．3 C．1.5 D．2.5
5．（2020·北京北理工附中初二期中）如圖，△ABC中，D、E兩點(diǎn)分別在AC、BC上，AB=AC，CD=DE．若∠A=40°，∠ABD：∠DBC=3：4，則∠BDE=
A．24° B．25°
C．30° D．35°
6．已知等腰三角形的一邊長(zhǎng)等于4，一邊長(zhǎng)等于9，則它的周長(zhǎng)為
A．22 B．17
C．17或22 D．26
7．如圖，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點(diǎn)D在BC上，且AD平分∠BAC，則AD的長(zhǎng)為
A．6 B．5
C．4 D．3
8．如圖，A、B兩點(diǎn)在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，每個(gè)方格都是邊長(zhǎng)
15、為1的正方形，點(diǎn)C也在格點(diǎn)上，且△ABC是等腰三角形，則符合條件是點(diǎn)C共有
A．8個(gè) B．9個(gè) C．10個(gè) D．11個(gè)
9．如圖，Rt△ABC中，∠B=90?，AB=9，BC=6，，將△ABC折疊，使A點(diǎn)與BC的中點(diǎn)D重合，折痕為MN，則線(xiàn)段AN的長(zhǎng)等于
A．5 B．6 C．4 D．3
10．將一個(gè)有45°角的三角尺的直角頂點(diǎn)C放在一張寬為3 cm的紙帶邊沿上，另一個(gè)頂點(diǎn)A在紙帶的另一邊沿上，測(cè)得三角尺的一邊AC與紙帶的一邊所在的直線(xiàn)成30°角，如圖，則三角尺的最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)為
A．6 B．3 C．4 D．6
11．（2019·四川初二期中）三角形的三邊a，b，c滿(mǎn)足+（b
16、﹣c）2=0；則三角形是_____三角形.
12．（2019·山西初三期末）如圖，等腰△ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm，△ABC的面積=________．
13．（2020·北京北理工附中初二期中）已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為35°，則這個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)為_(kāi)_________.
14．若一個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為26，一邊長(zhǎng)為6，則它的腰長(zhǎng)為_(kāi)_________．
15．如圖，在中，，D、E分別是BC、AC上一點(diǎn)，且，，則__________．
16．如圖，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)B，C，D，E在同一直線(xiàn)上，且CG=CD，DF=DE，則∠EF
17、D=__________°．
17．如圖，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，點(diǎn)E是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△BAE沿BE向矩形內(nèi)部折疊，當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1恰好落在∠BCD的平分線(xiàn)上時(shí)，CA1的長(zhǎng)為_(kāi)_________．
18．（2019·湖北初二期末）如圖，在Rt△ABC中，點(diǎn)E在AB上，把△ABC沿CE折疊后，點(diǎn)B恰好與斜邊AC的中點(diǎn)D重合.
（1）求證：△ACE為等腰三角形；
（2）若AB=6，求AE的長(zhǎng).
19．如圖，一架2.5 m長(zhǎng)的梯子斜立在豎直的墻上，此時(shí)梯足B距底端O為0.7 m．
（1）求OA的長(zhǎng)度；
（2）如果梯子頂端下滑0.
18、4米，則梯子將滑出多少米？
20．（2019·遼寧初二月考）與有公共頂點(diǎn)（頂點(diǎn)均按逆時(shí)針排列），，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交直線(xiàn)于點(diǎn)，連接.
（1）如圖，當(dāng)時(shí)，
求證：①；
②是等腰直角三角形.
（2）當(dāng)時(shí)，畫(huà)出相應(yīng)的圖形（畫(huà)一個(gè)即可），并直接指出是何種特殊三角形.
21．已知：如圖，有人在岸上點(diǎn)C的地方，用繩子拉船靠岸，開(kāi)始時(shí)，繩長(zhǎng)CB=10米，CA⊥AB，且CA=6米，拉動(dòng)繩子將船從點(diǎn)B沿BA方向行駛到點(diǎn)D后，繩長(zhǎng)CD=6米．
（1）試判定△ACD的形狀，并說(shuō)明理由；
（2）求船體移動(dòng)距離BD的長(zhǎng)度．
1．（
19、2019?濱州）如圖，在和中，，連接交于點(diǎn)，連接．下列結(jié)論：①；②；③平分；④平分．其中正確的個(gè)數(shù)為
A．4 B．3 C．2 D．1
2．（2019?蘭州）在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，則∠B=__________．
3．（2019?成都）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D，E都在邊BC上，∠BAD=∠CAE，若BD=9，則CE的長(zhǎng)為_(kāi)_________．
4．（2019?威海）如圖，在四邊形中，，連接，．若，，，則__________．
5．（2019?通遼）腰長(zhǎng)為5，高為4的等腰三角形的底邊長(zhǎng)為_(kāi)_________．
6．（2019?
20、懷化）若等腰三角形的一個(gè)底角為，則這個(gè)等腰三角形的頂角為_(kāi)_________．
7．（2019?南通）如圖，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F(xiàn)為AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，且AE=CF，若∠BAE=25°，則∠ACF=__________度．
8．（2019?蘇州）如圖，中，點(diǎn)在邊上，，將線(xiàn)段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到的位置，使得，連接，與交于點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）若，，求的度數(shù)．
9．（2019?重慶）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D．
（1）若∠C=42°，求∠BAD的度數(shù)；
（2）若點(diǎn)E在邊AB上，EF∥AC交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F．求證：AE=FE
21、．
10．（2019?無(wú)錫）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，BD=CE，BE、CD相交于點(diǎn)O．
求證：（1）；
（2）．
11．（2019?重慶A卷）如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC邊上的中點(diǎn)，連結(jié)AD，BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC交AB于點(diǎn)F．
（1）若∠C=36°，求∠BAD的度數(shù)．
（2）若點(diǎn)E在邊AB上，EF∥AC叫AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F．求證：FB=FE．
12．（2019?棗莊）在中，，，于點(diǎn)．
（1）如圖1，點(diǎn)，分別在，上，且，當(dāng)，時(shí)，求線(xiàn)段AM的長(zhǎng)；
（2）如圖2，點(diǎn)，分別在，
22、上，且，求證：；
（3）如圖3，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)在上，且，求證：．
變式拓展
1．【答案】4cm或5cm
【解析】當(dāng)長(zhǎng)是4cm的邊是底邊時(shí)，腰長(zhǎng)是（13–4）=4.5，
三邊長(zhǎng)為4cm，4.5cm，4.5cm，等腰三角形成立；
當(dāng)長(zhǎng)是4cm的邊是腰時(shí)，底邊長(zhǎng)是：13–4–4=5cm，等腰三角形成立．
故底邊長(zhǎng)是：4cm或5cm．故答案是：4cm或5cm
【名師點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，在解答此題時(shí)要注意進(jìn)行分類(lèi)討論，不要漏解．
2．【解析】（1）由題意得：5?2
23、ABC的周長(zhǎng)為5+5+2=12．
（2）∵AB=AC=5，
∴△ABC是等腰三角形．
3．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）20°.
【解析】（1）由，得，由，
得（SAS）；
（2）由，得，
所以，
所以.
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，先證明三角形全等是解決本題的突破口．
4．【答案】5
【解析】已知∠AON=60°，當(dāng)OP=OA=5時(shí)，根據(jù)有一個(gè)角為60°的等腰三角形為等邊三角形，可得△AOP為等邊三角形．故答案為：5．
5．【答案】6或6.5
【解析】分兩種情況：①5和12是兩條直角邊，根據(jù)勾股定理求得斜邊為13，利用直角三角形
24、斜邊的中線(xiàn)等于斜邊的一半即可得斜邊上的中線(xiàn)的長(zhǎng)度為6.5；②5是直角邊，12為斜邊，利用直角三角形斜邊的中線(xiàn)等于斜邊的一半即可得斜邊上的中線(xiàn)的長(zhǎng)度為6，故答案為：6或6.5．
6．【答案】（1）BD=2，；（2），
【解析】（1）∵在中，，，，
∴在中，，
∴，
又∵為邊上的中點(diǎn)，
∴，
∴在中，，
∴．
（2）折疊后如圖所示，為折痕，連接，
設(shè)，則，，
在中，，即，
解得：，
∴，
∴．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，也考查了折疊的性質(zhì).是常見(jiàn)中考題型.
考點(diǎn)沖關(guān)
1．【答案】D
【解析】∵兩直角邊分別為6和8，∴斜邊=，
∴斜邊
25、上的中線(xiàn)=×10=5，故選D．
【名師點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．【答案】A
【解析】是等邊三角形，，
又，，
，
，，
故選A．
【名師點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形、等腰三角形的性質(zhì)、等邊對(duì)等角以及三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握性質(zhì)和定理是正確解答本題的關(guān)鍵.
3．【答案】B
【解析】∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足為E，F(xiàn)，
∴DE=BD，DF=DC，
∴DE+DF=BD+DC=（BD+DC）=BC．
∴DE+DF=BC=×10=5
26、m．故選B．
【名師點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.
4．【答案】A
【解析】如圖所示，延長(zhǎng)AC到E，使CE=BM，連接DE，
∵BD=DC，∠BDC=120°，∴∠CBD=∠BCD=30°，
∵∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ABD=∠ACD=∠DCE=90°，
在△BMD和△CED中，，
∴△BMD≌△CED（SAS），∴∠BDM=∠CDE，DM=DE，
又∵∠MDN=60°，∴∠BDM+∠NDC=60°，
∴∠EDC+∠NDC=∠NDE=60°=∠NDM，
在△MDN和△EDN中，，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
27、∴MN=NE=NC+CE=NC+BM，
所以△AMN周長(zhǎng)=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=2.
故選A.
【名師點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，做輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到全等條件是解決本題的關(guān)鍵.
5．【答案】C
【解析】∵AB=AC，CD=DE，∴∠C=∠DEC=∠ABC，∴AB∥DE，
∵∠A=40°，∴∠C=∠DEC=∠ABC=，
∵∠ABD：∠DBC=3：4，∴設(shè)∠ABD為3x，∠DBC為4x，
∴3x+4x=70°，∴x=10°，∴∠ABD=30°，
∵AB∥DE，∴∠BDE=∠ABD=30°，故答案為C．
【名師
28、點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)：等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理求解，難度適中．
6．【答案】A
【解析】分兩種情況：①當(dāng)腰為4時(shí)，4+4<9，所以不能構(gòu)成三角形；
②當(dāng)腰為9時(shí)，9+9>4，9-9<4，所以能構(gòu)成三角形，周長(zhǎng)是：9+9+4=22．故選A．
7．【答案】C
【解析】∵AB=AC=5，AD平分∠BAC，BC=6，∴BD=CD=3，∠ADB=90°，∴AD==4．故選C．
8．【答案】B
【解析】如圖，
①點(diǎn)C以點(diǎn)A為標(biāo)準(zhǔn)，AB為底邊，符合點(diǎn)C的有5個(gè)；②點(diǎn)C以點(diǎn)B為標(biāo)準(zhǔn)，AB為等腰三角形的一條邊，符合點(diǎn)C的有4個(gè)．所以符合條件的點(diǎn)C共有9個(gè)．故選B．
9．
29、【答案】A
【解析】設(shè)AN=x，由翻折的性質(zhì)可知DN=AN=x，則BN=9-x．∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD=．在Rt△BDN中，由勾股定理得:ND2=NB2+BD2，即x2=（9-x）2+32，解得x=5，AN=5，故選A．
10．【答案】D
【解析】如圖，作AH⊥CH，
在Rt△ACH中，∵AH=3，∠AHC=90°，∠ACH=30°，∴AC=2AH=6，在Rt△ABC中，
AB=．故選D．
11．【答案】等邊
【解析】三角形的三邊a，b，c滿(mǎn)足，
由算術(shù)平方根的非負(fù)性、平方數(shù)的非負(fù)性可得：，
，解得：，即，
則該三角形是等邊三角形.故答案為：等邊.
【名師點(diǎn)睛】本題
30、是一道比較好的綜合題，考查了算術(shù)平方根的非負(fù)性、平方數(shù)的非負(fù)性、等邊三角形的定義.
12．【答案】60cm2．
【解析】過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC交BC于點(diǎn)D，
∵AB=AC=13cm，BC=10cm，
∴BD=CD=5cm，AD⊥BC，
由勾股定理得：AD==12（cm），
∴△ABC的面積=×BC×AD=×10×12=60（cm2）．
【名師點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理，能根據(jù)等腰三角形的“三線(xiàn)合一”正確的添加輔助線(xiàn)是關(guān)鍵.
13．【答案】55°或125°
【解析】如圖，分兩種情況進(jìn)行討論：
如圖1，當(dāng)高在三角形內(nèi)部時(shí)，則∠ABD=35°，∴∠BAD=9
31、0°–35°=55°；
如圖2，當(dāng)高在三角形外部時(shí)，則∠ABD=35°，∴∠BAD=90°–35°=55°；
∴∠CAB=180°–55°=125°，
故答案為55°或125°．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，熟記三角形的高相對(duì)于三角形的三種位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵.
14．【答案】10
【解析】①當(dāng)6為腰長(zhǎng)時(shí)，則腰長(zhǎng)為6，底邊=26-6-6=14，因?yàn)?4>6+6，所以不能構(gòu)成三角形；
②當(dāng)6為底邊時(shí)，則腰長(zhǎng)=（26-6）÷2=10，因?yàn)?-6<10<6+6，所以能構(gòu)成三角形，故腰長(zhǎng)為10．故答案為：10．
15．【答案】
【解析】∵是三角形ABD的外角，是三角形D
32、EC的一個(gè)外角，，
∴，，
，，
∵，D、E分別在BC、AC上，，，
∴，，∴，∵
，∴，故答案為：．
16．【答案】15
【解析】∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，
∵CG=CD，∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，
∵DF=DE，∴∠E=15°．故答案為：15．
17．【答案】或
【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)A1作A1M⊥BC于點(diǎn)M．
∵點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1恰落在∠BCD的平分線(xiàn)上，∠BCD=90°，∴∠A1CM=45°，即△AMC是等腰直角三角形，
∴設(shè)CM=A1M=x，則BM=7-x．又由折疊的性質(zhì)知AB=A1B=5，∴在直角△A1MB
33、中，由勾股定理得A1M2=A1B2-BM2=25-（7-x）2，∴25-（7-x）2=x2，解得x1=3，x2=4，∵在等腰Rt△A1CM中，CA1=A1M，
∴CA1=3或4．故答案為：或．
18．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）4.
【解析】（1）∵把△ABC沿CE折疊后，點(diǎn)B恰好與斜邊AC的中點(diǎn)D重合，
∴CD=CB，∠CDE=∠B=90°，AD=CD，
在△ADE和△CDE中，，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴EA=EC，∴△ACE為等腰三角形；
（2）由折疊的性質(zhì)知：∠BEC=∠DEC，
∵△ADE≌△CDE，∴∠AED=∠DEC，
∴∠AED=∠DEC=∠BE
34、C=60°，
∴∠BCE=30°，∴，
又∵EA=EC，∴，
∴AE=4.
【名師點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的定義和30°角的直角三角形的性質(zhì)，屬于?？碱}型，熟練掌握上述圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.
19．【解析】在直角△ABO中，已知AB=2.5 m，BO=0.7 m，
則AO==2.4 m，
∵AO=AA′+OA′，∴OA′=2 m，
∵在直角△A′B′O中，AB=A′B′，且A′B′為斜邊，
∴OB′=1.5 m，
∴BB′=OB′-OB=1.5 m-0.7 m=0.8 m．
答：梯足向外移動(dòng)了0.8 m．
20．【答案】（1）①
35、詳見(jiàn)解析；②詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；
【解析】（1）證明：①∵，∴.
又，
∴，∴.
又，∴；
②當(dāng)時(shí)，，
∵，∴.
∵，∴，
∴；
又，∴，
∴，
∴
即，
∴是等腰直角三角形.
（2）所畫(huà)圖形如圖1或圖②，此時(shí)是等邊三角形.
圖1 圖2
與（1）同理，可證，
∴AF=AD，，
∴△AFD是等邊三角形.
【名師點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定，等腰三角形的判定和性質(zhì)，以及全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確找到證明三角形全等的條件，利用全等三角形的性質(zhì)得到邊的關(guān)系，角的
36、關(guān)系.
21．【解析】（1）由題意可得：AC=6 m，DC=6 m，∠CAD=90°，
可得AD==6（m），
故△ACD是等腰直角三角形．
（2）∵AC=6 m，BC=10 m，∠CAD=90°，
∴AB==8（m），
則BD=AB-AD=8-6=2（m）．
答：船體移動(dòng)距離BD的長(zhǎng)度為2 m．
直通中考
1．【答案】B
【解析】∵，∴，即，
在和中，，∴，∴，①正確；
∴，由三角形的外角性質(zhì)得：，
∴°，②正確；
作于，于，如圖所示：
則°，
在和中，，∴，∴，∴平分，④正確，正確的個(gè)數(shù)有3個(gè)，故選B．
2．【答案】70°
【解析】∵AB=AC，
37、∴∠B=∠C，
∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=（180°-40°）=70°．故答案為：70°．
3．【答案】9
【解析】∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE，
∴BD=CE=9，故答案為：9．
4．【答案】105
【解析】作于，于，如圖所示，
則，∵，，，∴，
∵，∴，，
∴，∴，
∵，∴，∴，故答案為：．
5．【答案】6或或
【解析】①如圖1，
當(dāng)，，則，∴底邊長(zhǎng)為6；
②如圖2，
當(dāng)，時(shí)，則，
∴，∴，∴此時(shí)底邊長(zhǎng)為；
③如圖3，
當(dāng)，時(shí)，則，∴，∴，
∴此時(shí)底邊長(zhǎng)為．故答案為：6或或．
38、【名師點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是分三種情況分類(lèi)討論．
6．【答案】36°
【解析】∵等腰三角形的一個(gè)底角為，∴等腰三角形的頂角，
故答案為：．
【名師點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
7．【答案】70
【解析】∵∠ABC=90°，AB=AC，∴∠CBF=180°–∠ABC=90°，∠ACB=45°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，，∴Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF=∠BAE=25°，∴∠ACF=∠ACB+∠BCF=45°+25°=70°，故答案為：70．
【名師點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性
39、質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
8．【解析】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形證明與性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，比較簡(jiǎn)單，基礎(chǔ)知識(shí)扎實(shí)是解題關(guān)鍵．
9．【解析】（1）∵AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，
∴∠BAD=∠CAD，∠ADC=90°，
又∠C=42°，∴∠BAD=∠CAD=90°-42°=48°．
（2）∵AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，
∴∠BAD=∠CAD，
∵EF∥AC，
∴∠F=∠CAD，
∴∠BAD=∠F，
40、∴AE=FE．
10．【解析】（1）∵AB=AC，
∴∠ECB=∠DBC，
在與中，，
∴≌．
（2）由（1）≌，
∴∠DCB=∠EBC，
∴OB=OC．
11．【解析】（1）∵，∴，
∵，
∴，
∵D為BC的中點(diǎn)，∴，
∴．
（2）∵BE平分，∴，
又∵，∴，
∴，
∴．
【名師點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．
12．【解析】（1）∵，，，
∴，，，
∵，∴，
∵，∴，
∴，∴，
由勾股定理得，，即，解得，
∴．
（2）∵，，∴，
在和中，，
∴，
∴．
（3）如圖，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，
∴，
則，，∴，
∵，，
∴，
在和中，，
∴，∴，
∴．
【名師點(diǎn)睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形
的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
2020年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)一遍過(guò) 考點(diǎn)15 等腰三角形與直角三角形（含解析）
