2020年中考數(shù)學(xué)考點一遍過 考點03 分式與二次根式（含解析）

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1、考點03 分式與二次根式 一、分式 1．分式的定義 （1）一般地，整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么稱為分式． （2）分式中，A叫做分子，B叫做分母． 【注意】①若B≠0，則有意義； ②若B=0，則無意義； ③若A=0且B≠0，則=0． 2．分式的基本性質(zhì) 分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個不等于零的整式，分式的值不變． 用式子表示為或，其中A，B，C均為整式． 3．約分及約分法則 （1）約分 把一個分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為分式的約分． （2）約分法則 把一個分式約分，如果分子和分母都是幾個因式乘積的形式，約

2、去分子和分母中相同因式的最低次冪；分子與分母的系數(shù)，約去它們的最大公約數(shù)．如果分式的分子、分母是多項式，先分解因式，然后約分． 【注意】約分的根據(jù)是分式的基本性質(zhì)．約分的關(guān)鍵是找出分子和分母的公因式． 4．最簡分式 分子、分母沒有公因式的分式叫做最簡分式． 【注意】約分一般是將一個分式化為最簡分式，分式約分所得的結(jié)果有時可能成為整式． 5．通分及通分法則 （1）通分 根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個異分母的分式分別化為與原來的分式相等的同分母的分式，這一過程稱為分式的通分． （2）通分法則 把兩個或者幾個分式通分： ①先求各個分式的最簡公分母（即各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)、相同因式的

3、最高次冪和所有不同因式的積）； ②再用分式的基本性質(zhì)，用最簡公分母除以原來各分母所得的商分別去乘原來分式的分子、分母，使每個分式變?yōu)榕c原分式的值相等，而且以最簡公分母為分母的分式； ③若分母是多項式，則先分解因式，再通分． 【注意】通分的根據(jù)是分式的基本性質(zhì)．通分的關(guān)鍵是確定幾個分式的最簡公分母． 6．最簡公分母 幾個分式通分時，通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有字母因式的最高次冪的積作為公分母，這樣的分母叫做最簡公分母． 7．分式的運算 （1）分式的加減 ①同分母的分式相加減法則：分母不變，分子相加減． 用式子表示為：． ②異分母的分式相加減法則：先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?/p>

4、，然后再加減． 用式子表示為：． （2）分式的乘法 乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母． 用式子表示為：． （3）分式的除法 除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后與被除式相乘． 用式子表示為：． （4）分式的乘方 乘方法則：分式的乘方，把分子、分母分別乘方． 用式子表示為：為正整數(shù)，． （5）分式的混合運算 含有分式的乘方、乘除、加減的多種運算叫做分式的混合運算． 混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減．有括號的，先算括號里的． 二、二次根式 1．二次根式的有關(guān)概念 （1）二次根式的概念 形如的式子叫做二次

5、根式．其中符號“”叫做二次根號，二次根號下的數(shù)叫做被開方數(shù)． 【注意】被開方數(shù)只能是非負(fù)數(shù)．即要使二次根式有意義，則a≥0． （2）最簡二次根式 被開方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，叫做最簡二次根式． （3）同類二次根式 化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的幾個二次根式，叫做同類二次根式． 2．二次根式的性質(zhì) （1）≥ 0（≥0）； （2）； （3）； （4）； （5）． 3．二次根式的運算 （1）二次根式的加減 合并同類二次根式：在二次根式的加減運算中，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，若有同類二次根式，可把同類二次根式合

6、并成一個二次根式． （2）二次根式的乘除 乘法法則：； 除法法則：． （3）二次根式的混合運算 二次根式的混合運算順序與實數(shù)的運算順序一樣，先乘方，后乘除，最后加減，有括號的先算括號內(nèi)的． 在運算過程中，乘法公式和有理數(shù)的運算律在二次根式的運算中仍然適用． 考向一 分式的有關(guān)概念 1．分式的三要素： （1）形如的式子； （2）均為整式； （3）分母中含有字母． 2．分式的意義： （1）有意義的條件是分式中的字母取值不能使分母等于零，即． （2）無意義的條件是分母為0． （3）分式值為0要滿足兩個條件，分子為0，分母不為0． 典例1 使得式子有意義的x

7、的取值范圍是 A．x≥4 B．x>4 C．x≤4 D．x<4 【答案】D 【解析】使得式子有意義，則：4-x>0，解得：x<4， 即x的取值范圍是：x<4， 故選D． 【名師點睛】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確把握定義是解題關(guān)鍵． 1．若分式在實數(shù)范圍內(nèi)無意義，則x的取值范圍是 A．x≠1 B．x=1 C．x=0 D．x>1 考向二 分式的基本性質(zhì) 分式基本性質(zhì)的應(yīng)用主要反映在以下兩個方面： （1）不改變分式的值，把分式的分子、分母中各項的系數(shù)化為整數(shù)； （2）分式的分子、分母與分式本身的

8、符號，改變其中任何兩個，分式的值不變． 典例2 分式中的x、y的值都擴(kuò)大到原來的2倍，則分式的值為 A．?dāng)U大為原來2倍 B．縮小為原來的倍 C．不變 D．縮小為原來的倍 【答案】B 【解析】∵若x、y的值都擴(kuò)大到原來的2倍，則為 ∴把分式中的x、y的值都擴(kuò)大到原來的2倍，則分式的值為原來的， 故選B． 【名師點睛】本題考查了分式的基本概念和性質(zhì)的相關(guān)知識．這類題目的一個易錯點是：在沒有充分理解題意的情況下簡單地通過分式的基本性質(zhì)得出分式值不變的結(jié)論．對照分式的基本性質(zhì)和本題的條件不難發(fā)現(xiàn)，本題不符合分式基本性質(zhì)所描述的情況，不能直接利用其

9、結(jié)論．因此，在解決這類問題時，要注意認(rèn)真理解題意． 2．下列變形正確的是 A．= B． C．–1= D．= 考向三 分式的約分與通分 約分與通分的區(qū)別與聯(lián)系： 1．約分與通分都是根據(jù)分式的基本性質(zhì)，對分式進(jìn)行恒等變形，即每個分式變形之后都不改變原分式的值； 2．約分是針對一個分式而言，約分可使分式變得簡單； 3．通分是針對兩個或兩個以上的分式來說的，通分可使異分母分式化為同分母分式． 典例3 關(guān)于分式的約分或通分，下列哪個說法正確 A．約分的結(jié)果是 B．分式與的最簡公分母是x-1 C．約分的結(jié)果是1 D．化簡-的結(jié)果是1 【答

10、案】D 【解析】A、=，故本選項錯誤； B、分式與的最簡公分母是x2-1，故本選項錯誤； C、=，故本選項錯誤；D、-=1，故本選項正確，故選D． 【名師點睛】本題主要考查分式的通分和約分，這是分式的重要知識點，應(yīng)當(dāng)熟練掌握． 3．下列分式中，是最簡分式的是 A． B． C． D． 考向四 分式的運算 （1）分式的加減運算：異分母分式通分的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)，通分時應(yīng)確定幾個分式的最簡公分母． （2）分式的乘除運算：分式乘除法的運算與因式分解密切相關(guān)，分式乘除法的本質(zhì)是化成乘法后，約去分式的分子分母中的公因式，因此往往要對分子或分母進(jìn)行因式分

11、解（在分解因式時注意不要出現(xiàn)符號錯誤），然后找出其中的公因式，并把公因式約去． （3）分式的乘方運算，先確定冪的符號，遵守“正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，負(fù)數(shù)的偶數(shù)次冪是正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇數(shù)次冪是負(fù)數(shù)”的原則． （4）分式的混合運算有乘方，先算乘方，再算乘除，有時靈活運用運算律，運算結(jié)果必須是最簡分式或整式．注意運算順序，計算準(zhǔn)確． 典例4 化簡：． 【解析】 ． 【名師點睛】本題考查分式的混合運算，解答本題的關(guān)鍵是明確分式混合運算的計算方法． 4．先化簡，再求值：，其中x=4． 考向五 二次根式的概念與性質(zhì) 1．二次根式的意義：首先考慮被開方

12、數(shù)為非負(fù)數(shù)，其次還要考慮其他限制條件，這樣就轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組問題，如有分母時還要注意分式的分母不為0． 2．利用二次根式性質(zhì)時，如果題目中對根號內(nèi)的字母給出了取值范圍，那么應(yīng)在這個范圍內(nèi)對根式進(jìn)行化簡，如果題目中沒有給出明確的取值范圍，那么應(yīng)注意對題目條件的挖掘，把隱含在題目條件中所限定的取值范圍顯現(xiàn)出來，在允許的取值范圍內(nèi)進(jìn)行化簡． 典例5 函數(shù)y=的自變量的取值范圍是 A．x>0且x≠0 B．x≥0且x≠ C．x≥0 D．x≠ 【答案】B 【解析】根據(jù)題意得，x≥0且， ∴x≥0且x≠． 故選B． 【名師點睛】本題考查了函數(shù)自變量取值范圍的求法．要

13、使得本題函數(shù)式子有意義，必須滿足被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)且分母不為零． 5．已知：x>4，化簡__________． 典例6 下列二次根式是最簡二次根式的是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A，，故原選項不是最簡二次根式； B，，故原選項不是最簡二次根式； C，是最簡二次根式； D，=4，故原選項不是最簡二次根式， 故選C． 6．下列二次根式；5；；；；．其中是最簡二次根式的有 A．2個 B．3個 C．4個 D．5個 考向六 二次根式的運算 1．二次根式的運算 （1）二次

14、根式的加減法就是把同類二次根式進(jìn)行合并． （2）二次根式的乘除法要注意運算的準(zhǔn)確性；要熟練掌握被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)． （3）二次根式混合運算先乘方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里的（或先去括號）． 2．比較分式與二次根式的大小 （1）分式：對于同分母分式，直接比較分子即可，異分母分式通常運用約分或通分法后作比較； （2）二次根式：可以直接比較被開方數(shù)的大小，也可以運用平方法來比較． 典例7 下列計算正確的是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A、原式=2=，正確； B、原式==，錯誤； C、為最簡結(jié)果，錯誤； D

15、、原式==2，錯誤， 故選A． 7．計算：（1）–2÷6； （2）（3–）÷． 典例8 比較大?。篲_________5（填“>” “<”或“=”）． 【答案】> 【解析】因為，28>25，所以>5．故答案為：>． 【名師點睛】比較二次根式的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較被開方數(shù)的大小，也可以將兩個數(shù)平方，計算出結(jié)果，再比較大小． 8．設(shè)a=－，b=－1，c=，則a，b，c之間的大小關(guān)系是 A．c>b>a B．a(chǎn)>c>b C．b>a>c D．a(chǎn)>b>c 1．式子有意義，則實數(shù)a的取值范圍是

16、 A． B． C．且 D．a(chǎn)>2 2．若分式的值為零，則x值為 A．x=±3 B．x=0 C．x=-3 D．x=3 3．下列式子是最簡二次根式的是 A． B． C． D． 4．在化簡分式的過程中，開始出現(xiàn)錯誤的步驟是 A． B． C． D． 5．下列關(guān)于分式的判斷，正確的是 A．當(dāng)x=2時，的值為零 B．當(dāng)x≠3時，有意義 C．無論x為何值，不可能得整數(shù)值 D．無論x為何值，的值總為正數(shù) 6．計算的結(jié)果是 A． B． C． D．1 7．若最簡二次根式的被開方數(shù)相同，則a的值為 A．1

17、 B．2 C． D． 8．化簡的結(jié)果是，則a的值是 A．1 B．-1 C．2 D．-2 9．已知 ，則 化簡的結(jié)果是 A． B． C． D． 10．下列運算中錯誤的是 A．×= B．2＋3=5 C． D．=4 11．若分式的值為0，則x的值為 A．1 B．?1 C．±1 D．無解 12．化簡：的結(jié)果是 A．2 B． C． D． 13．若x、y滿足，

18、則的值等于 A． B． C． D． 14．已知，則的值為 A． B． C． D．不確定 15．計算：=_____________． 16．與數(shù)字最接近的整數(shù)是__________． 17．比較大小：2____________．（填“>、<、或=”） 18．計算（-22）（22）的結(jié)果是__________． 19．已知a，b互為倒數(shù)，代數(shù)式÷的值為_____________． 20．若，則__________． 21．計算：（1）； （2）． 22．先化

19、簡，再求值：，其中，． 23．先化簡：，再從-1≤m≤2中選取合適的整數(shù)代入求值． 24．先化簡，再求值：，其中m為一元二次方程的根． 25．先化簡，再求代數(shù)式的值，其中a=2cos30°． 1．（2019?常州）若代數(shù)式有意義，則實數(shù)x的取值范圍是 A．x=-1 B．x=3 C．x≠-1 D．x≠3 2．（2019?武漢）式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是 A．x>0 B．x≥-1 C．x≥1 D．x≤1 3．（2019?黃石）若式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是 A．x≥1

20、且x≠2 B．x≤1 C．x>1且x≠2 D．x<1 4．（2019?山西）下列二次根式是最簡二次根式的是 A． B． C． D． 5．（2019?貴港）若分式的值等于0，則x的值為 A．±1 B．0 C．-1 D．1 6．（2019?株洲） A．4 B．4 C． D．2 7．（2019?揚(yáng)州）分式可變形為 A． B． C． D． 8．（2019?江西）計算（）的結(jié)果為 A．a(chǎn) B．-a C． D． 9．（2019·天津）計算的結(jié)果是 A．2 B． C．1 D． 10．（2019?臨沂）計算a-1的正確結(jié)果是 A． B．

21、C． D． 11．（2019?北京）如果m+n=1，那么代數(shù)式的值為 A．-3 B．-1 C．1 D．3 12．（2019?河北）如圖，若x為正整數(shù)，則表示的值的點落在 A．段① B．段② C．段③ D．段④ 13．（2019·重慶A卷）估計的值應(yīng)在 A．4和5之間 B．5和6之間 C．6和7之間 D．7和8之間 14．（2019?廣州）代數(shù)式有意義時，x應(yīng)滿足的條件是__________． 15．（2019·安徽）計算的結(jié)果是__________． 16．（2019?衡陽）=__________． 17．（

22、2019?吉林）計算：·__________． 18．（2019·天津）計算的結(jié)果等于__________． 19．（2019·南充）計算：__________． 20．（2019?武漢）計算的結(jié)果是__________． 21．（2019?大連）計算：（2）26． 22．（2019?益陽）化簡： ． 23．（2019?深圳）先化簡（1），再將x=-1代入求值． 24．（2019?河南）先化簡，再求值：，其中x=． 25．（2019?煙臺）先化簡（x+3），再從0≤x≤4中選一個適合的整數(shù)代入求值．

23、 26．（2019?安順）先化簡，再從不等式組的整數(shù)解中選一個合適的x的值代入求值． 變式拓展 1．【答案】B 【解析】∵分式在實數(shù)范圍內(nèi)無意義， ∴1-x=0，即x=1， 故選B． 2．【答案】D 【解析】A．≠，故A錯誤； B．=，故B錯誤； C．-1=，故C錯誤， 故選D． 3．【答案】D 【解析】A、=，錯誤； B、=，錯誤； C、=，錯誤； D、是最簡分式，正確． 故選D． 4．【解析】 = = =， 當(dāng)x=4時，原式=． 5．【答案】B 【解析】根據(jù)二次根式被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)的條件知，要使在實數(shù)

24、范圍內(nèi)有意義，必須．故選B． 6．【答案】B 【解析】， ， ， ∴、、是最簡二次根式， 故選B． 7．【解析】（1）原式=–2×× =–2． （2）原式=（3–）÷ =÷ =． 8．【答案】D 【解析】a=－=（?1），b=?1，c===×（?1）， ∵>1>，∴a>b>c．故選D． 考點沖關(guān) 1．【答案】C 【解析】由題意得：a+1≥0，且a–2≠0， 解得，且． 故選C． 2．【答案】D 【解析】∵分式的值為零， ∴x2-9=0且x+3≠0． 解得：x=3． 故選D． 3．【答案】C 【解析】A、，不是最簡二次根式，故本選項不符合題

25、意； B、=6，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意； C、是最簡二次根式，故本選項符合題意； D、，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意， 故選C． 4．【答案】B 【解析】∵正確的解題步驟是：， ∴開始出現(xiàn)錯誤的步驟是．去括號是漏乘了． 故選B． 5．【答案】1 【解析】∵x>4，∴x-4>0， ∴原式==1， 故答案為：1． 【名師點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 6．【答案】D 【解析】，故選D． 7．【答案】D 【解析】，解得，故選D． 8．【答案】A 【解析】，∴a=1，故選A． 9．【答案】B 【解析】

26、∵x<1，∴x-1<0，∴=|x-1|=1-x．故選：B． 10．【答案】B 【解析】A．原式=×=，所以A選項的計算正確； B．2和3不能合并，所以B選項的計算錯誤 C．原式=，所以C選項的計算正確； D．原式==4，所以D選項的計算正確． 故選B． 11．【答案】A 【解析】∵分式的值為0，∴|x|?1=0，且x+1≠0，解得：x=1．故選A． 12．【答案】B 【解析】=（?）?（x?3）=?（x?3）??（x?3）=1?=．故選B． 13．【答案】B 【解析】∵，∴．∴．故選B． 14．【答案】A 【解析】∵，∴，即x+2+=a2，∴x+=a2?2，故選A．

27、 15．【答案】 【解析】根據(jù)二次根式的乘法法則進(jìn)行計算可得：，故答案為． 16．【答案】4 【解析】∵， ∴最接近的整數(shù)是， =4， 故答案為：4． 17．【答案】< 【解析】將兩式進(jìn)行平方可得：=12，=18，因為12<18，所以<． 18．【答案】-16 【解析】原式=-（2+2）（2-2）=-（20-4）=-16． 故答案為：-16． 19．【答案】1 【解析】對待求值的代數(shù)式進(jìn)行化簡，得 ， ∵a，b互為倒數(shù)，∴ab=1，∴原式=1．故答案為：1． 20．【答案】– 【解析】∵， ∴a?b=?2ab． ∴原式=?=?2+=?． 故答案為：?

28、． 21．【解析】（1）原式= = =4a2． （2）原式= = =3． 22．【解析】 ， 當(dāng)，時，原式=． 23．【解析】原式= =， 根據(jù)分式有意義的條件可知：m=-1， ∴原式=． 24．【解析】原式= = = = = =． 由m是方程的根，得到， 所以原式=． 25．【解析】原式= =， =． ∵a=2， ∴原式=． 直通中考 1．【答案】D 【解析】∵代數(shù)式有意義，∴x-3≠0，∴x≠3．故選D． 2．【答案】C 【解析】由題意，得x-1≥0，解得x≥1，故選C． 3．【答案】A 【解析】依題意，得

29、x-1≥0且x-200，解得x≥1且x≠2．故選A． 4．【答案】D 【解析】A、，故A不符合題意； B、，故B不符合題意； C、，故C不符合題意； D、是最簡二次根式，故D符合題意．故選D． 5．【答案】D 【解析】x-1=0，∴x=1，經(jīng)檢驗：x=1是原分式方程的解，故選D． 6．【答案】B 【解析】．故選B． 7．【答案】D 【解析】分式可變形為：．故選D． 8．【答案】B 【解析】原式·（-a2）=-a，故選B． 9．【答案】A 【解析】原式=，故選A． 10．【答案】B 【解析】原式．故選B． 11．【答案】D 【解析】原式=·（m+n）（m-n

30、）=·（m+n）（m-n）=3（m+n）， 當(dāng)m+n=1時，原式=3．故選D． 12．【答案】B 【解析】∵， 又∵x為正整數(shù)，∴≤x<1，故表示的值的點落在②，故選B． 13．【答案】C 【解析】=2+6=2+，又因為4<<5，所以6<2+<7，故選C． 14．【答案】x>8 【解析】代數(shù)式有意義時，x-8>0，解得x>8．故答案為：x>8． 15．【答案】3 【解析】，故答案為：3． 16．【答案】 【解析】原式=．故答案為：． 17．【答案】 【解析】·，故答案為：． 18．【答案】2 【解析】原式=3-1=2．故答案為：2． 19．【答案】x+1 【

31、解析】=，故答案為：x+1． 20．【答案】 【解析】原式． 故答案為：． 21．【解析】原式=3+4-426 =3+4-422 =7． 22．【解析】原式= =． 23．【解析】原式 =x+2， 將x=-1代入得： 原式=x+2=1． 24．【解析】原式= = =， 當(dāng)x=時，原式==． 25．【解析】（x+3） =（） · ， 當(dāng)x=1時，原式． 26．【解析】原式 =， 解不等式組得-2