海淀區(qū)2012高三年級第二學期期末練習理科數(shù)學試題及答案.doc

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海淀區(qū)高三年級第二學期期末練習 數(shù) 學（理科） 2012.05 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. （1）若，則角是 （A）第一或第二象限角 （B）第二或第三象限角 （C）第三或第四象限角 （D）第二或第四象限角 （2）已知命題：，．則是 （A）， （B）， （C）， （D）， （3）直線（為參數(shù)）的傾斜角的大小為 （A） （B） （C） （D） （4）若整數(shù)滿足 則的最大值是 （A） （B） （C） （D） （5）已知點是橢圓的兩個焦點，點是該橢圓上的一個動點，那么的最小值是 （A） （B） （C） （D） （6）為了得到函數(shù)的圖象，可將函數(shù)的圖象上所有的點的 （A）縱坐標縮短到原來的倍，橫坐標不變，再向右平移1個單位長度 （B）縱坐標縮短到原來的倍，橫坐標不變，再向左平移1個單位長度 （C）橫坐標伸長到原來的倍，縱坐標不變，再向左平移1個單位長度 （D）橫坐標伸長到原來的倍，縱坐標不變，再向右平移1個單位長度 （7）某幾何體的主視圖與俯視圖如圖所示，左視圖與主視圖相同，且圖中的四邊形都是邊長為2的正方形，兩條虛線互相垂直，則該幾何體的體積是 （A） （B） （C） （D） （8）點是曲線上的一個動點，曲線在點處的切線與軸、軸分別交于兩點，點是坐標原點. 給出三個命題：①；②的周長有最小值；③曲線上存在兩點，使得為等腰直角三角形．其中真命題的個數(shù)是 （A）１ （B）２ 　　　（C）３ 　 （D）０ 二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分，把答案填在題中橫線上. （9）在面積為1的正方形內部隨機取一點，則的面積大于等于的概率是_________． （10）已知. 若數(shù)列是一個單調遞增數(shù)列，則的最大值是 . （11）在中，若，，的面積為，則= . （12）如圖，的直徑與弦交于點，，則＝______. （13）某同學為研究函數(shù)的性質，構造了如圖所示的兩個邊長為1的正方形和，點是邊上的一個動點，設，則. 請你參考這些信息，推知函數(shù)的圖象的對稱軸是 ；函數(shù)的零點的個數(shù)是 . （14）曲線是平面內到定點的距離與到定直線的距離之和為3的動點的軌跡. 則曲線與軸交點的坐標是 ；又已知點（為常數(shù)），那么的最小值= . 三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟. （15）（本小題滿分13分） 已知公差不為０的等差數(shù)列的前項和為，，且成等比數(shù)列. （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）求數(shù)列的前項和公式. (16)（本小題滿分14分） 如圖所示，平面，點C在以AB為直徑的⊙O上，，，點E為線段PB的中點，點M在上，且∥． （Ⅰ）求證：平面∥平面PAC； （Ⅱ）求證：平面PAC平面； （Ⅲ）設二面角的大小為，求的值． (17)（本小題滿分13分） 某公司準備將100萬元資金投入代理銷售業(yè)務，現(xiàn)有A,B兩個項目可供選擇： (1)投資A項目一年后獲得的利潤X1(萬元)的概率分布列如下表所示： X1 11 12 17 P a 0.4 b 且X1的數(shù)學期望E(X1)=12； (2)投資B項目一年后獲得的利潤X2(萬元)與B項目產(chǎn)品價格的調整有關， B項目產(chǎn)品價格根據(jù)銷售情況在4月和8月決定是否需要調整，兩次調整相互獨立且在4月和8月進行價格調整的概率分別為p(0< p <1)和1-p. 經(jīng)專家測算評估:B項目產(chǎn)品價格一年內調整次數(shù)X(次)與X2的關系如下表所示： X(次) 0 1 2 X2(萬元) 4.12 11.76 20.40 （Ⅰ）求a,b的值； （Ⅱ）求X2的分布列； （Ⅲ）若E(X1)< E(X2)，則選擇投資B項目，求此時 p的取值范圍. (18)（本小題滿分13分） 已知橢圓:的右焦點為，且點在橢圓上. （Ⅰ）求橢圓的標準方程； （Ⅱ）已知動直線過點，且與橢圓交于，兩點.試問軸上是否存在定點，使得恒成立？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由. (19)（本小題滿分14分） 已知函數(shù). （Ⅰ）求的單調區(qū)間； （Ⅱ）若，求證：函數(shù)只有一個零點，且； （Ⅲ）當時，記函數(shù)的零點為，若對任意且都有成立，求實數(shù)的最大值. （本題可參考數(shù)據(jù)：） (20)（本小題滿分13分） 將一個正整數(shù)表示為的形式，其中，，且，記所有這樣的表示法的種數(shù)為（如4=4，4=1+3，4=2+2，4=1+1+2，4=1+1+1+1，故）. （Ⅰ）寫出的值，并說明理由； （Ⅱ）對任意正整數(shù)，比較與的大小，并給出證明； （Ⅲ）當正整數(shù)時，求證：． 海淀區(qū)高三年級第二學期期末練習 數(shù) 學（理科） 參考答案及評分標準 2012．05 一. 選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分. 題號 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 答案 D A D B C A A C 二.填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分. （9） （10）６ （11） （12） （13）；2 （14）； 注：（13）、（14）題第一空3分；第二空2分. 三.解答題：本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟. （15）（本小題滿分13分） 解：（Ⅰ）設等差數(shù)列的公差為. 因為， 所以. ① ……………………………………3分 因為成等比數(shù)列， 所以. ② ……………………………………5分 由①，②可得：. ……………………………………6分 所以. ……………………………………7分 （Ⅱ）由可知：. ……………………………………9分 所以. ……………………………………11分 所以 . 所以數(shù)列的前項和為. ……………………………………13分 (16)（本小題滿分14分） （Ⅰ）證明：因為點E為線段PB的中點，點為線段的中點， 所以 ∥. ……………………………………1分 因為 平面，平面， 所以 ∥平面PAC. ……………………………………2分 因為 ∥， 因為 平面，平面， 所以 ∥平面PAC. ……………………………………3分 因為 平面，平面，， 所以 平面∥平面PAC. ………………………………………5分 （Ⅱ）證明：因為 點C在以AB為直徑的⊙O上， 所以 ，即. 因為 平面，平面， 所以 . ……………………………………7分 因為 平面，平面，， 所以 平面. 因為 平面， 所以 平面PAC平面. ……………………………………9分 （Ⅲ）解：如圖，以為原點，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立空間直角坐標系． 因為 ，， 所以 ，. 延長交于點. 因為 ∥， 所以 . 所以 ，，，. 所以 ，. 設平面的法向量. 因為 所以 即 令，則. 所以 . ……………………………………12分 同理可求平面的一個法向量n. ……………………………………13分 所以 . 所以 . ………………………………………14分 (17)（本小題滿分13分） 解：（Ⅰ）由題意得： 解得：. ……………………………………3分 （Ⅱ）X2 的可能取值為. ， ， . 所以X2的分布列為: X2 4.12 11.76 20.40 P p (1-p) p2+(1-p)2 p (1-p) ……………………………………9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可得： . ……………………………………11分 因為E(X1)< E(X2)， 所以. 所以. 當選擇投資B項目時，的取值范圍是. ……………………………………13分 (18)（本小題滿分13分） 解：（Ⅰ）由題意知：. 根據(jù)橢圓的定義得：，即. ……………………………………3分 所以 . 所以 橢圓的標準方程為. ……………………………………4分 （Ⅱ）假設在軸上存在點，使得恒成立. 當直線的斜率為0時，. 則 . 解得 . ……………………………………6分 當直線的斜率不存在時，. 由于，所以. 下面證明時，恒成立. ……………………………………8分 顯然 直線的斜率為0時，. 當直線的斜率不為0時，設直線的方程為：，. 由可得：. 顯然. ……………………………………10分 因為 ，， 所以 . 綜上所述：在軸上存在點，使得恒成立. ……………………………………13分 (19)（本小題滿分14分） （Ⅰ）解：的定義域為. . ……………………………………1分 令，或. 當時，，函數(shù)與隨的變化情況如下表： 0 0 極小值 極大值 所以，函數(shù)的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是和. ……………………………………3分 當時，. 所以，函數(shù)的單調遞減區(qū)間是. ……………………………………4分 當時，，函數(shù)與隨的變化情況如下表： 0 0 0 極小值 極大值 所以，函數(shù)的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是和. ……………………………………5分 （Ⅱ）證明：當時，由（Ⅰ）知，的極小值為，極大值為. 因為，，且在上是減函數(shù)， 所以至多有一個零點. ……………………………………7分 又因為， 所以 函數(shù)只有一個零點，且. ……………………………………9分 （Ⅲ）解：因為， 所以 對任意且由(Ⅱ)可知：，，且. ……………………………………10分 因為 函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)， 所以 ，. ……………………………………11分 所以 . 當時，=>0. 所以 . ……………………………………13分 所以 的最小值為. 所以 使得恒成立的的最大值為. ……………………………………14分 (20)（本小題滿分13分） （Ⅰ）解：因為3=3，3=1+2，3=1+1+1，所以． 因為5=5，5=2+3，5=1+4，5=1+1+3，5=1+2+2，5=1+1+1+2，5=1+1+1+1+1， 所以． ……………………………………3分 （Ⅱ）結論是. 證明如下：由結論知，只需證 因為，把的一個表示法中的去掉，就可得到一個的表示法；反之，在的一個表示法前面添加一個“1+”，就得到一個的表示法，即的表示法中的表示法種數(shù)等于的表示法種數(shù)， 所以表示的是的表示法中的表示法數(shù)，是的表示法中的表示法數(shù)． 同樣，把一個的的表示法中的加上1， 就可得到一個的的表示法，這樣就構造了從的的表示法到的的表示法的一個對應. 所以有……………………………………9分 （Ⅲ）由第（Ⅱ）問可知： 當正整數(shù)時，. 又 所以 . * 對于*式，分別取為，將所得等式相加得. 即． ……………………………………13分 - 12 -