高考數學 考前三個月復習沖刺 專題9 第41練 幾何證明選講課件 理.ppt

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第41練幾何證明選講 專題9系列4選講 題型分析 高考展望 本講主要考查相似三角形與射影定理 圓的切線及圓內接四邊形的性質與判定定理 圓周角定理及弦切角定理 相交弦 切割線 割線定理等 本部分內容多數涉及圓 并且多是以圓為背景設計的綜合性考題 考查邏輯推理能力 試題主要以解答題形式出現 難易程度均為中低檔題 常考題型精析 高考題型精練 題型一相似三角形及射影定理 題型二相交弦定理 割線定理 切割線定理 切線長定理的應用 題型三四點共圓的判定 ?？碱}型精析 題型一相似三角形及射影定理 例1如圖所示 CD垂直平分AB 點E在CD上 DF AC DG BE F G分別為垂足 求證 AF AC BG BE 證明因為CD垂直平分AB 所以 ACD和 BDE均為直角三角形 并且AD BD 又因為DF AC DG BE 所以AF AC AD2 BG BE DB2 因為AD2 DB2 所以AF AC BG BE 點評 1 在使用直角三角形射影定理時 要學會將 乘積式 轉化為相似三角形中的 比例式 2 證題時 作垂線構造直角三角形是解該類問題的常用方法 變式訓練1如圖 Rt ABC中 BAC 90 AD BC于D BE平分 ABC交AC于E EF BC于F 求證 EF DF BC AC 證明 BAC 90 且AD BC 由射影定理得AC2 CD BC EF BC AD BC EF AD 又BE平分 ABC 且EA AB EF BC 題型二相交弦定理 割線定理 切割線定理 切線長定理的應用 例2 2014 重慶改編 過圓外一點P作圓的切線PA A為切點 再作割線PBC依次交圓于B C 若PA 6 AC 8 BC 9 求AB的值 解由切割線定理得PA2 PB PC PB PB BC 即62 PB PB 9 解得PB 3 負值舍去 由弦切角定理知 PAB PCA 又 APB CPA 故 APB CPA 解得AB 4 點評 1 圓中線段長度成比例的問題 要結合切割線定理 相交弦定理 構造比例關系 2 利用相似關系求解線段長度要靈活地在三角形中對條件進行轉化或等比替換 變式訓練2 2015 天津改編 如圖 在圓O中 M N是弦AB的三等分點 弦CD CE分別經過點M N 若CM 2 MD 4 CN 3 求線段NE的長 解根據相交弦定理可知 題型三四點共圓的判定 例3如圖 已知 ABC的兩條角平分線AD和CE相交于H B 60 F在AC上 且AE AF 證明 1 B D H E四點共圓 證明在 ABC中 因為 B 60 所以 BAC BCA 120 因為AD CE分別是 BAC DCF的平分線 所以 HAC HCA 60 故 AHC 120 于是 EHD AHC 120 所以 EBD EHD 180 所以B D H E四點共圓 2 CE平分 DEF 證明連結BH 則BH為 ABC的平分線 得 HBD 30 由 1 知B D H E四點共圓 所以 CED HBD 30 又 AHE EBD 60 由已知可得EF AD 可得 CEF 30 所以CE平分 DEF 點評 1 如果四點與一定點距離相等 那么這四點共圓 2 如果四邊表的一組對角互補 那么這個四邊形的四個頂點共圓 3 如果四邊形的一個外角等于它的內對角 那么這個四邊形的四個頂點共圓 變式訓練3 2015 湖南 如圖 在 O中 相交于點E的兩弦AB CD的中點分別是M N 直線MO與直線CD相交于點F 證明 1 MEN NOM 180 證明如圖所示 因為M N分別是弦AB CD的中點 所以OM AB ON CD 即 OME 90 ENO 90 因此 OME ENO 180 又四邊形的內角和等于360 故 MEN NOM 180 2 FE FN FM FO 證明由 1 知 O M E N四點共圓 故由割線定理即得FE FN FM FO 高考題型精練 1 2015 重慶改編 如圖 圓O的弦AB CD相交于點E 過點A作圓O的切線與DC的延長線交于點P 若PA 6 AE 9 PC 3 CE ED 2 1 求BE的長 1 2 3 4 5 6 7 8 高考題型精練 因此CE 6 ED 3 再由相交弦定理得AE EB CE ED 1 2 3 4 5 6 7 8 2 2015 陜西 如圖 AB切 O于點B 直線AO交 O于D E兩點 BC DE 垂足為C B 高考題型精練 1 證明 CBD DBA 1 2 3 4 5 6 7 8 證明因為DE為 O直徑 則 BED EDB 90 又BC DE 所以 CBD EDB 90 從而 CBD BED 又AB切 O于點B 得 DBA BED 所以 CBD DBA 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 高考題型精練 解由 1 知BD平分 CBA 1 2 3 4 5 6 7 8 故DE AE AD 3 即 O直徑為3 3 如圖 O的半徑OB垂直于直徑AC M為AO上一點 BM的延長線交 O于N 過N點的切線交CA的延長線于P 1 求證 PM2 PA PC 高考題型精練 證明連結ON 則ON PN 且 OBN為等腰三角形 則 OBN ONB 1 2 3 4 5 6 7 8 PMN OMB 90 OBN PNM 90 ONB PMN PNM PM PN 根據切割線定理 有PN2 PA PC PM2 PA PC 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 高考題型精練 解OM 2 在Rt BOM中 1 2 3 4 5 6 7 8 延長BO交 O于點D 連結DN MN BN BM 6 4 2 4 2015 課標全國 如圖 O為等腰三角形ABC內一點 O與 ABC的底邊BC交于M N兩點 與底邊上的高AD交于點G 且與AB AC分別相切于E F兩點 1 證明 EF BC 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 證明由于 ABC是等腰三角形 AD BC 所以AD是 CAB的平分線 又因為 O分別與AB AC相切于點E F 所以AE AF 故AD EF 從而EF BC 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 解由 1 知 AE AF AD EF 故AD是EF的垂直平分線 又EF為 O的弦 所以O在AD上 連接OE OM 則OE AE 由AG等于 O的半徑得AO 2OE 所以 OAE 30 因此 ABC和 AEF都是等邊三角形 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 5 2014 課標全國 如圖 四邊形ABCD是 O的內接四邊形 AB的延長線與DC的延長線交于點E 且CB CE 1 證明 D E 高考題型精練 證明由題設知 A B C D四點共圓 所以 D CBE 由已知CB CE得 CBE E 故 D E 1 2 3 4 5 6 7 8 高考題型精練 2 設AD不是 O的直徑 AD的中點為M 且MB MC 證明 ADE為等邊三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 證明如圖 設BC的中點為N 連結MN 則由MB MC知MN BC 故O在直線MN上 又AD不是 O的直徑 M為AD的中點 故OM AD 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 即MN AD 所以AD BC 故 A CBE 又 CBE E 故 A E 由 1 知 D E 所以 ADE為等邊三角形 6 如圖所示 已知AP是 O的切線 P為切點 AC是 O的割線 與 O交于B C兩點 圓心O在 PAC的內部 點M是BC的中點 1 證明 A P O M四點共圓 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 證明連結OP OM 因為AP與 O相切于點P 所以OP AP 因為M是 O的弦BC的中點 所以OM BC 于是 OPA OMA 180 由圓心O在 PAC的內部 可知四邊形APOM的對角互補 所以A P O M四點共圓 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 2 求 OAM APM的大小 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 解由 1 得 A P O M四點共圓 所以 OAM OPM 由 1 得OP AP 由圓心O在 PAC的內部 可知 OPM APM 90 所以 OAM APM 90 7 2014 遼寧 如圖 EP交圓于E C兩點 PD切圓于D G為CE上一點且PG PD 連結DG并延長交圓于點A 作弦AB垂直EP 垂足為F 1 求證 AB為圓的直徑 高考題型精練 證明因為PD PG 所以 PDG PGD 由于PD為切線 故 PDA DBA 1 2 3 4 5 6 7 8 又由于 PGD EGA 故 DBA EGA 所以 DBA BAD EGA BAD 從而 BDA PFA 由于AF EP 所以 PFA 90 于是 BDA 90 故AB是直徑 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 2 若AC BD 求證 AB ED 高考題型精練 證明連結BC DC 由于AB是直徑 故 BDA ACB 90 在Rt BDA與Rt ACB中 AB BA AC BD 從而Rt BDA Rt ACB 于是 DAB CBA 1 2 3 4 5 6 7 8 高考題型精練 又因為 DCB DAB 所以 DCB CBA 故DC AB 由于AB EP 所以DC EP DCE為直角 于是ED為直徑 由 1 得ED AB 1 2 3 4 5 6 7 8 8 如圖所示 過圓O外一點M作它的一條切線 切點為A 過A點作直線AP垂直于直線OM 垂足為P 1 證明 OM OP OA2 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 證明因為MA是圓O的切線 所以OA AM 又因為AP OM 在Rt OAM中 由射影定理知 OA2 OM OP 高考題型精練 2 N為線段AP上一點 直線NB垂直于直線ON 且交圓O于B點 過B點的切線交直線ON于K 證明 OKM 90 1 2 3 4 5 6 7 8 證明因為BK是圓O的切線 BN OK 同 1 有OB2 ON OK 又OB OA 所以OP OM ON OK 又 NOP MOK 所以 ONP OMK 故 OKM OPN 90