高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 17-18版 第9章 第43課 直線的方程

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1、 第九章　平面解析幾何 第43課 直線的方程 [最新考綱] 內(nèi)容 要求 A B C 直線的斜率與傾斜角 √ 直線方程 √ 1．直線的傾斜角 (1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與x軸相交的直線，把x軸所在的直線繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)過(guò)的最小正角稱為這條直線的傾斜角．當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0°. (2)范圍：直線l傾斜角的取值范圍是[0，π)． 2．斜率公式 (1)直線l的傾斜角為α≠90°，則斜率k＝tan_α. (2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直線l上，且x1≠x2，

2、則l的斜率k＝. 3．直線方程的五種形式 名稱 方程 適用范圍 點(diǎn)斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直線x＝x0 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x軸的直線 兩點(diǎn)式 ＝ 不含直線x＝x1(x1≠x2)和直線y＝y(tǒng)1(y1≠y2) 截距式 ＋＝1 不含垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線 一般式 Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0 平面內(nèi)所有直線都適用 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)根據(jù)直線的傾斜角的大小不能確定直線的位置．(　　) (2)坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角與斜率．(　　) (3)過(guò)定點(diǎn)P0

3、(x0，y0)的直線都可用方程y－y0＝k(x－x0)表示．(　　) (4)經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同的點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改編)直線x－y＋a＝0(a為常數(shù))的傾斜角為________． 60°　[直線的斜率為k＝tan α＝， 又因?yàn)?°≤α＜180°，則α＝60°.] 3．已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－2,5)，且斜率為－.則直線l的方程為________． 3x＋4y－14＝0　[直線l的方程為y－5＝－(x＋2)，即3x＋

4、4y－14＝0.] 4．如果A·C<0，且B·C<0，那么直線Ax＋By＋C＝0不通過(guò)第________象限． 三　[Ax＋By＋C＝0可變形為y＝－x－. 又A·C<0，B·C<0，故A，B同號(hào)． 所以－<0，－>0， 所以Ax＋By＋C＝0不通過(guò)第三象限．] 5．過(guò)點(diǎn)P(2,3)，并且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線l的方程為________． 3x－2y＝0或x－y＋1＝0　[當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，方程為y＝x，即3x－2y＝0. 當(dāng)直線l不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為－＝1. 將P(2,3)代入方程，得a＝－1， 所以直線l的方程為x－y＋1＝0. 綜上，所求直線l的方程為

5、3x－2y＝0或x－y＋1＝0.] 直線的傾斜角和斜率 　(1)直線x－ycos θ＋1＝0(θ∈R)的傾斜角α的取值范圍是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172235】 (2)若直線l過(guò)點(diǎn)P(－3,2)，且與以A(－2，－3)，B(3,0)為端點(diǎn)的線段相交，則直線l的斜率的取值范圍是________． (1)　(2)　[(1)當(dāng)θ＝kπ＋(k∈Z)時(shí)，cos θ＝0，直線為x＋1＝0，其傾斜角為. 當(dāng)θ≠kπ＋(k∈Z)時(shí)，直線l的斜率為 tan α＝∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)， 所以直線l的傾斜角的取值范圍是∪. 綜上，α的取值范圍是. (2)因?yàn)镻

6、(－3,2)，A(－2，－3)，B(3,0)，則kPA＝＝－5， kPB＝＝－. 如圖所示，當(dāng)直線l與線段AB相交時(shí)，直線l的斜率的取值范圍為.] [規(guī)律方法]　1.(1)任一直線都有傾斜角，但斜率不一定都存在；直線傾斜角的范圍是[0，π)，斜率的取值范圍是R. (2)正切函數(shù)在[0，π)上不單調(diào)，借助圖象或單位圓數(shù)形結(jié)合，確定傾斜角α的取值范圍． 2．第(2)問(wèn)求解要注意兩點(diǎn)： (1)斜率公式的正確計(jì)算； (2)數(shù)形結(jié)合寫出斜率的范圍，切莫誤認(rèn)為k≤－5或k≥－. [變式訓(xùn)練1]　(1)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,2)，在x軸上的截距的取值范圍是(－3,3)，則其斜率k的取值范圍

7、是________． (2)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,1)，B(2，－m2)(m∈R)兩點(diǎn)，則直線l的傾斜角α的取值范圍是________． (1)k＜－1或k＞　(2)　[(1)設(shè)直線的斜率為k，則直線方程為y－2＝k(x－1)，直線在x軸上的截距為1－. 令－3＜1－＜3，解不等式得k＜－1或k＞. (2)直線l的斜率k＝＝1＋m2≥1，所以k＝tan α≥1. 又y＝tan α在上是增函數(shù)，因此≤α＜.] 求直線的方程 　(1)過(guò)點(diǎn)A(1,3)，斜率是直線y＝－4x的斜率的的直線方程為________． (2)若A(1，－2)，B(5,6)，直線l經(jīng)過(guò)AB的中點(diǎn)M且在兩坐標(biāo)

8、軸上的截距相等，求直線l的方程． (1)4x＋3y－13＝0　[設(shè)所求直線的斜率為k，依題意 k＝－4×＝－. 又直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,3)，因此所求直線方程為 y－3＝－(x－1)，即4x＋3y－13＝0.] (2)法一：設(shè)直線l在x軸，y軸上的截距均為a. 由題意得M(3,2)． 若a＝0，即l過(guò)點(diǎn)(0,0)和(3,2)， 所以直線l的方程為y＝x，即2x－3y＝0. 若a≠0，設(shè)直線l的方程為＋＝1， 因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)M(3,2)，所以＋＝1， 所以a＝5，此時(shí)直線l的方程為＋＝1，即x＋y－5＝0. 綜上，直線l的方程為2x－3y＝0或x＋y－5＝0. 法二：易知M

9、(3,2)，由題意知所求直線l的斜率k存在且k≠0，則直線l的方程為y－2＝k(x－3)． 令y＝0，得x＝3－；令x＝0，得y＝2－3k. 所以3－＝2－3k，解得k＝－1或k＝. 所以直線l的方程為y－2＝－(x－3)或y－2＝(x－3)， 即x＋y－5＝0或2x－3y＝0. [規(guī)律方法]　1.截距可正、可負(fù)、可為0，因此在解與截距有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，一定要注意“截距為0”的情況，以防漏解． 2．求直線方程的方法主要有兩種：直接法與待定系數(shù)法．運(yùn)用待定系數(shù)法要先設(shè)出直線方程，再根據(jù)條件求出待定系數(shù)．利用此方法，注意各種形式的適用條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式至關(guān)重要． [變式訓(xùn)練2

10、]　求過(guò)點(diǎn)A(－1，－3)且傾斜角等于直線y＝3x的傾斜角的2倍的直線方程． [解]　由已知設(shè)直線y＝3x的傾斜角為α， 則所求直線的傾斜角為2α. ∵tan α＝3， ∴tan 2α＝＝－. 又直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－1，－3)， 因此所求直線方程為y＋3＝－(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0. 直線方程的綜合應(yīng)用 　已知直線l過(guò)點(diǎn)M(1,1)，且與x軸，y軸的正半軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．求： (1)當(dāng)OA＋OB取得最小值時(shí)，直線l的方程； (2)當(dāng)MA2＋MB2取得最小值時(shí)，直線l的方程. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172236】 [解]　(1)設(shè)A(a,0)，B(0，

11、b)(a＞0，b＞0)． 設(shè)直線l的方程為＋＝1，則＋＝1， 所以O(shè)A＋OB＝a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線l的方程為x＋y－2＝0. (2)設(shè)直線l的斜率為k，則k＜0，直線l的方程為y－1＝k(x－1)， 則A，B(0,1－k)， 所以MA2＋MB2＝2＋12＋12＋(1－1＋k)2＝2＋k2＋≥2＋2＝4. 當(dāng)且僅當(dāng)k2＝，即k＝－1時(shí)，上式等號(hào)成立． ∴當(dāng)MA2＋MB2取得最小值時(shí)，直線l的方程為x＋y－2＝0. [規(guī)律方法]　1.求解本題的關(guān)鍵是找出OA＋OB與MA2＋MB2取得最小值的求法，恰當(dāng)設(shè)出方程的形式，利用均

12、值不等式求解，但一定要注意等號(hào)成立的條件． 2．利用直線方程解決問(wèn)題，為簡(jiǎn)化運(yùn)算可靈活選用直線方程的形式．一般地，已知一點(diǎn)通常選擇點(diǎn)斜式；已知斜率選擇斜截式或點(diǎn)斜式；已知截距選擇截距式． [變式訓(xùn)練3]　已知直線l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，當(dāng)0＜a＜2時(shí)，直線l1，l2與兩坐標(biāo)軸正半軸圍成一個(gè)四邊形，則當(dāng)a為何值時(shí)，四邊形的面積最?。? [解]　由得x＝y(tǒng)＝2， ∴直線l1與l2交于點(diǎn)A(2,2)(如圖)． 易知OB＝a2＋2，OC＝2－a， 則S四邊形OBAC＝S△AOB＋S△AOC＝×2(a2＋2)＋×2(2－a)＝a2－a＋4＝2＋，a∈(0,2

13、)， ∴當(dāng)a＝時(shí)，四邊形OBAC的面積最小． [思想與方法] 1．求直線方程的兩種常見方法： (1)直接法：根據(jù)已知條件選擇恰當(dāng)?shù)闹本€方程形式，直接求出直線方程． (2)待定系數(shù)法：先根據(jù)已知條件設(shè)出直線方程，再根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于待定系數(shù)的方程(組)，求出待定系數(shù)，從而求出直線方程． 2．5種形式的直線方程都有不同的適用條件，當(dāng)條件不具備時(shí)，要注意分類討論思想的應(yīng)用． [易錯(cuò)與防范] 1．求直線方程時(shí)要注意判斷直線斜率是否存在；每條直線都有傾斜角，但不一定每條直線都存在斜率． 2．根據(jù)斜率求傾斜角，一是要注意傾斜角的范圍；二是要考慮正切函數(shù)的單調(diào)性． 3．應(yīng)用截距

14、式方程時(shí)要注意討論直線是否過(guò)原點(diǎn)，截距是否為0. 4．由一般式Ax＋By＋C＝0確定斜率k時(shí)，易忽視判定B是否為0.當(dāng)B＝0時(shí)，k不存在；當(dāng)B≠0時(shí)，k＝－. 課時(shí)分層訓(xùn)練(四十三) A組　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) (建議用時(shí)：30分鐘) 一、填空題 1．傾斜角為135°，在y軸上的截距為－1的直線方程是________． x＋y＋1＝0　[直線的斜率為k＝tan 135°＝－1，所以直線方程為y＝－x－1，即x＋y＋1＝0.] 2．設(shè)直線ax＋by＋c＝0的傾斜角為α，且sin α＋cos α＝0，則a，b滿足的等量關(guān)系式為________． a＝b　[由sin α＋cos α＝0，得＝－

15、1，即tan α＝－1. 又因?yàn)閠an α＝－，所以－＝－1，則a＝b.] 3．直線l：xsin 30°＋ycos 150°＋1＝0的斜率是________． 　[直線l可化簡(jiǎn)為： x－y＋1＝0. 即y＝x＋，故斜率k＝.] 4．直線x＋(a2＋1)y＋1＝0的傾斜角的取值范圍是________． 　[由x＋(a2＋1)y＋1＝0得y＝－x－. ∵a2＋1≥1，∴－∈[－1,0)． 設(shè)直線的傾斜角為α，則－1≤tan α<0， 又α∈[0，π)，故≤α<π.] 5．斜率為2的直線經(jīng)過(guò)(3,5)，(a,7)，(－1，b)三點(diǎn)，則a＋b＝________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：6

16、2172237】 1　[由題意可知＝＝2， 解得a＝4，b＝－3，∴a＋b＝1.] 6．若直線l的斜率為k，傾斜角為α，而α∈∪，則k的取值范圍是________． [－，0)∪　[∵k＝tan α， ∴當(dāng)α∈時(shí)，tan ≤k≤tan ，即≤k≤1； 當(dāng)α∈時(shí)，tan ≤k

17、 8．設(shè)點(diǎn)A(－1,0)，B(1,0)，直線2x＋y－b＝0與線段AB相交，則b的取值范圍是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172238】 [－2,2]　[b為直線y＝－2x＋b在y軸上的截距， 如圖，當(dāng)直線y＝－2x＋b過(guò)點(diǎn)A(－1,0)和點(diǎn)B(1,0)時(shí)，b分別取得最小值和最大值， ∴b的取值范圍是[－2,2]．] 9．直線l過(guò)點(diǎn)(－3,4)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12，則直線l的方程為________． 4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0　[由題意知，截距不為0，設(shè)直線l的方程為＋＝1. 又直線l過(guò)點(diǎn)(－3,4)， 從而＋＝1， 解得a＝－4或a＝9.故所求直線方

18、程為4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.] 10．(2017·蘇州模擬)若直線l：＋＝1(a>0，b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2)，則直線l在x軸和y軸上的截距之和的最小值是________． 3＋2　[∵直線l過(guò)定點(diǎn)(1,2)， ∴＋＝1， ∴a＋b＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2， 當(dāng)且僅當(dāng)b＝a時(shí)上式等號(hào)成立． ∴直線在x軸，y軸上的截距之和的最小值為3＋2.] 二、解答題 11．直線l過(guò)點(diǎn)(－2,2)且與x軸，y軸分別交于點(diǎn)(a,0)，(0，b)，若|a|＝|b|，求l的方程． [解]　若a＝b＝0，則直線l過(guò)點(diǎn)(0,0)與(－2,2)， 直線l的斜率k＝－1，直線l的方程為

19、y＝－x，即x＋y＝0. 若a≠0，b≠0，則直線l的方程為＋＝1， 由題意知解得 此時(shí)，直線l的方程為x－y＋4＝0. 綜上，直線l的方程為x＋y＝0或x－y＋4＝0. 12．設(shè)直線l的方程為(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)． (1)若l在兩坐標(biāo)軸上截距相等，求l的方程； (2)若l不經(jīng)過(guò)第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172239】 [解]　(1)當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，在x軸和y軸上的截距為零， ∴a＝2，方程即為3x＋y＝0. 當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，截距存在且均不為0， ∴＝a－2，即a＋1＝1， ∴a＝0，方程即為x＋y＋2＝0. ∴直線l的方程為3

20、x＋y＝0或x＋y＋2＝0. (2)將l的方程化為y＝－(a＋1)x＋a－2， ∴或∴a≤－1. 綜上可知，a的取值范圍是a≤－1. B組　能力提升 (建議用時(shí)：15分鐘) 1．設(shè)A，B是x軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2且PA＝PB，若直線PA的方程為x－y＋1＝0，則直線PB的方程為________． x＋y－5＝0　[由條件得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1,0)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,3)，因?yàn)镻A＝PB，根據(jù)對(duì)稱性可知，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5,0)，從而直線PB的方程為＝，整理得x＋y－5＝0.] 2．已知A(3,0)，B(0,4)，直線AB上一動(dòng)點(diǎn)P(x，y)，則xy的最大值是________

21、． 3　[直線AB的方程為＋＝1. ∵動(dòng)點(diǎn)P(x，y)在直線AB上，則x＝3－y， ∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y) ＝≤3， 即當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，xy取最大值3.] 3．已知曲線y＝，求曲線的切線中斜率最小的直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積． [解]　y′＝＝，因?yàn)閑x>0，所以ex＋≥2＝2，所以ex＋＋2≥4，故y′＝≥－(當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)取等號(hào))．所以當(dāng)x＝0時(shí)，曲線的切線斜率取得最小值，此時(shí)切點(diǎn)的坐標(biāo)為，切線的方程為y－＝－(x－0)，即x＋4y－2＝0.該切線在x軸上的截距為2，在y軸上的截距為，所以該切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積S＝×2×＝. 4．已知直

22、線l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)． (1)若直線不經(jīng)過(guò)第四象限，求k的取值范圍； (2)若直線l交x軸負(fù)半軸于A，交y軸正半軸于B，△AOB的面積為S(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求S的最小值并求此時(shí)直線l的方程． [解]　(1)由方程知，當(dāng)k≠0時(shí)，直線在x軸上的截距為－，在y軸上的截距為1＋2k，要使直線不經(jīng)過(guò)第四象限，則必須有解得k＞0； 當(dāng)k＝0時(shí)，直線為y＝1，符合題意，故k≥0. (2)由l的方程，得A，B(0,1＋2k)． 依題意得 解得k＞0. ∵S＝·OA·OB＝··|1＋2k| ＝·＝≥×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的條件是k＞0且4k＝，即k＝， ∴Smin＝4，此時(shí)直線l的方程為x－2y＋4＝0.