精編高中數(shù)學北師大版必修四教學案：第二章 167;7 向量應用舉例 Word版含答案

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1、精編北師大版數(shù)學資料 [核心必知] 1．點到直線的距離公式 若M(x0，y0)是一平面上一定點，它到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝． 2．直線的法向量 (1)定義：稱與直線的方向向量垂直的向量為該直線的法向量． (2)公式：設(shè)直線l：Ax＋By＋C＝0，取其方向向量v＝(B，－A)，則直線l的法向量n＝(A，B)． 3．向量的應用 向量的應用主要有兩方面：一是在幾何中的應用；二是在物理中的應用． [問題思考] 1．教材中在證明點到直線的距離公式時，為什么有d＝|·n0|? 提示： 如圖所示，過M作MN⊥l于N，則d＝||. 在Rt△MPN中，||

2、是在方向上的射影的絕對值， 則||＝|||cos∠PMN| ＝|||×1×cos∠PMN| ＝||×|n0|×|cos∠PMN|＝|·n0| ∴d＝|·n0|. 2．你認為利用向量方法解決幾何問題的關(guān)鍵是什么？ 提示：關(guān)鍵是如何將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題，對具體問題是選用向量幾何法還是坐標法解決． 3．利用向量可以解決哪些物理問題？ 提示：利用向量可以解決物理中有關(guān)力、速度、位移等矢量的合成問題以及力對物體做功的問題等． 講一講 1．已知Rt△ABC，∠C＝90°，設(shè)AC＝m，BC＝n，若D為斜邊AB的中點， (1)求證：CD＝AB； (2)若E為CD的中點

3、，連接AE并延長交BC于F，求AF的長度(用m，n表示)． [嘗試解答]　 以C為坐標原點，以邊CB、CA所在的直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系，如圖所示，A(0，m)，B(n,0)，＝(n，－m)． (1)證明：∵D為AB的中點， ∴D(，)， ∴|＝ ，||＝， ∴||＝||，即CD＝AB. (2)∵E為CD的中點，所以E(，)，設(shè)F(x,0)，則 ＝(，－m)，＝(x，－m)， ∵A、E、F共線，∴＝λ， 解得(x，－m)＝λ(，－m)， ∴ 即x＝，即F(，0)．＝(，－m)． ∴||＝ .即AF＝. 利用向量解決幾何中常見問題的基本策略： (

4、1)證明線段相等，轉(zhuǎn)化為證明向量的長度相等；求線段的長，轉(zhuǎn)化為求向量的模； (2)證明線段、直線平行，轉(zhuǎn)化為證明向量平行； (3)證明線段、直線垂直，轉(zhuǎn)化為證明向量垂直； (4)幾何中與角相關(guān)的問題，轉(zhuǎn)化為向量的夾角問題； (5)對于有關(guān)長方形、正方形、直角三角形等平面幾何問題，通常以相互垂直的兩邊所在直線分別為x軸和y軸建立平面直角坐標系，通過向量的坐標運算解決平面幾何問題． 練一練 1．已知?ABCD中，AD＝1，AB＝2，對角線BD＝2，試求對角線AC的長． 講一講 2．已知過點A(0,2)，且方向向量為a＝(1，k)的直線l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1

5、相交于M，N兩點，若O為坐標原點，且＝12，求k及直線l的方程． [嘗試解答]　 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)． 由題意知，l的方程為y＝kx＋2， 由得， (1＋k2)x2－(4＋2k)x＋4＝0. 由根與系數(shù)的關(guān)系得， x1＋x2＝，x1x2＝ ∵＝(x1，y1)·(x2，y2) ＝x1x2＋y1y2＝12. y1＝kx1＋2，y2＝kx2＋2 ∴x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝0， 即(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)－8＝0， ∴(1＋k2)×＋2k×－8＝0， 解得k＝， ∴直線l的方程為y＝x＋2，即x－2y＋4＝0.

6、向量在解析幾何中的應用主要表現(xiàn)在兩個方面：一是作為題設(shè)條件；二是作為解決問題的工具使用，充分體現(xiàn)了幾何問題代數(shù)化的思想，是高考考查的熱點之一．解決此類問題的思路是轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算，其轉(zhuǎn)化途經(jīng)主要有兩種：一是向量平行或垂直的坐標表示；二是向量數(shù)量積的公式和性質(zhì)． 練一練 2. 過點M(，1)的直線l與圓C：(x－1)2＋y2＝4交于A、B兩點，C為圓心，當最大時，求直線l的方程． 解：可知圓C的圓心C(1,0)，半徑r＝2 ∴＝cos ∠ACB ＝2×2cos ∠ACB＝4cos ∠ACB 當最大時，∠ACB最小． 連接CM，當AB⊥CM時，∠ACB最小 這時直線l的法向量為：

7、 ＝(，1)－(1,0)＝(－，1)． ∴l(xiāng)的方向向量為(1，)，∴l(xiāng)的斜率為k＝ 故直線l的方程為y－1＝(x－)，即2x－4y＋3＝0. 講一講 3. 一架飛機從A地向北偏西60°方向飛行1 000 km到達B地，因大霧無法降落，故轉(zhuǎn)向C地飛行，若C地在A地的南偏西60°方向，并且A、C兩地相距2 000 km，求飛機從B地到C地的位移． ＝2 0002＋1 0002－2×1 000×2 000× ＝3×106 有∠ABD＝60°， 于是∠DBC＝30°. 所以飛機從B地到C地的位移的大小為1 000 km，方向為南偏西30°. 法二：建立如圖所示

8、的坐標系，并取a＝500， 則＝(2acos 150°，2asin 150°) ＝(－a，a)， ＝(4acos 210°，4asin 210°) ＝(－2a，－2a)， ∴＝(－a，－3a)，||＝2a， 即||＝1 000 (km)． 又cos C＝＝＝，C＝30°， 結(jié)合圖形可知的方向為南偏西30°， 所以飛機從B地到C地的位移的大小為1 000 km，方向為南偏西30°. 1．由于物理學中的力、速度、位移都是矢量，它們的分解與合成與向量的加法和減法相似，所以可以用向量的知識來解決； 2．物理中的功是一個標量，它是力F與位移s的數(shù)量積，即W＝F·s＝

9、|F|·|s|cos θ. 練一練 3．已知一物體在共點力F1＝(lg 2，lg 2)，F(xiàn)2＝(lg 5，lg 2)的作用下產(chǎn)生的位移s＝(2lg 5，1)，求這兩個共點力對物體做的功W的值． 解：W＝(F1＋F2)·s，又F1＋F2＝(1, 2lg 2)， s＝(2lg 5，1)，所以W＝2lg 5＋2lg 2＝2. 如圖，在細繩O處用水平力F2緩慢拉起所受重力G的物體，繩子與鉛垂方向的夾角為θ，繩子所受到的拉力為F1，求： (1)|F1|、|F2|隨角θ的變化而變化的情況； (2)當|F1|≤2|G|時，θ角的取值范圍． [巧思]　力的合成與分解滿足

10、平行四邊形法則，合理使用平行四邊形法則及三角形法則對各量間進行分析和運算，從三角函數(shù)的角度分析力的變化，從不等關(guān)系研究角的范圍． [妙解]　 (1)如圖所示，由力的平衡及向量加法的平行四邊形法則，知－G＝F1＋F2. 解直角三角形，得|F1|＝， |F2|＝|G|·tan θ. 當θ從0°趨向于90°時，|F1|、|F2|皆逐漸增大． (2)令|F1|＝≤2|G|，得cos θ≥. 又0°≤θ＜90°， ∴0°≤θ≤60°. 1．過點A(2，3)，且法向量為n＝(2，1)的直線方程為(　　) A．2x＋y－7＝0　　　　　B．2x＋y＋7＝0 C．x－

11、2y＋4＝0 D．x－2y－4＝0 解析：選A　由題意知，可取直線的方向向量為v＝(1，－2)， ∴直線的方程為y－3＝－2(x－2)，即2x＋y－7＝0. 2．點P在平面上做勻速直線運動，速度向量v＝(4，－3)(即點P的運動方向與v相同，且每秒移動的距離為|v|個單位)．設(shè)開始時點P的坐標為(－10，10)，則5秒后點P的坐標為(　　) A．(－2，4) B．(－30，25) C．(10，－5) D．(5，－10) 解析：選C　設(shè)5秒后點P運動到點A，則 ＝5v＝(20，－15)， ∴＝(20，－15)＋(－10,10)＝(10，－5)． 3．已知△

12、ABC， ＝b，且a·b<0；則△ABC的形狀為(　　) A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等腰直角三角形 解析：選A　由a·b＝cos∠BAC<0知cos∠BAC<0，∴∠BAC為鈍角． 4．河水的流速為2 m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s的速度駛向?qū)Π?，則小船的靜水速度大小為________． 解析：設(shè)小船的靜水速度為v，依題意|v|＝＝2. 答案： 2 m/s 5．一質(zhì)點受到平面上的三個力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3(單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài)，已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分別為2和4，則F3的大小為________

13、． 解析：由向量加法的平行四邊形法則知F3的大小等于以F1、F2為鄰邊的平行四邊形的對角線的長，故|F3|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|·cos 60°＝4＋16＋8＝28， ∴|F3|＝2. 答案： 2 6．已知△ABC為直角三角形，設(shè)AB＝c，BC＝a，CA＝b.若c＝90°，試證：c2＝a2＋b2. 證明：以C點為原點建立如圖所示的直角坐標系． 則A(b,0)，B(0，a)． ∴＝(0，a)－(b,0)＝(－b，a)． ∴||＝＝c. 故c2＝a2＋b2. 一、選擇題 1．已知直線l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m，1)與l平行，則實數(shù)

14、m的值是(　　) A．－1　　　　　　　　　B．1 C．2 D．－1或2 解析：選D　取直線l的方向向量v＝(－2，m)，則m(1－m)－1×(－2)＝0，即m2－m－2＝0，得m＝－1或m＝2. 2．用兩條成60°的繩索拉船，每條繩的拉力大小是12 N，則合力的大小為(精確到0.1 N)(　　) A．20.6 N B．18.8 N C．20.8 N D．36.8 N 解析：選C　 設(shè)兩條繩索的拉力F1，F(xiàn)2的合力為F合．如圖所示，則＝12，F(xiàn)合＝，連接BD交AC于M，∠BAM＝30°，∴|F合|＝2||＝2×12cos 30°＝12≈20.8 N. 3．在△ABC

15、中，若＝0，則△ABC為(　　) A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．無法確定 4．已知三個力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3，2)，f3＝(4，－3)同時作用于某物體上一點，為使物體保持平衡，現(xiàn)加上一個力f4，則f4等于(　　) A．(－1，－2) B．(1，－2) C．(－1，2) D．(1，2) 解析：選D　由題可知f4＝－(f1＋f2＋f3)＝－[(－2，－1)＋(－3，2)＋(4，－3)]＝－(－1，－2)＝(1，2)． 二、填空題 5．已知F＝(2，3)作用于一物體，使物體從A(2，0)移動到B(－2，3)，則力F對物體做的功為_____

16、___． 解析：∵＝(－4,3)， ∴W＝F·s＝F·＝(2,3)·(－4,3)＝－8＋9＝1. 答案：1 6．已知直線l經(jīng)過點(－，0)且方向向量為(2，－1)，則原點O到直線l的距離為________． 解析：可知直線l的斜率k＝－， ∴l(xiāng)的方程為y＝－(x＋)， 即x＋2y＋＝0， ∴原點到l的距離為d＝＝1. 答案：1 7．在邊長為1的正三角形中，設(shè)，則＝________. ＝(－1－×1×1×cos 60°＋×1) ＝－. 答案：－ 8．已知直線ax＋by＋c＝0與圓x2＋y2＝1相交于A、B兩點，且|AB|＝，則＝__________. 解析：

17、 如圖，取D為AB的中點，∵OA＝1，AB＝， ∴∠AOD＝. ∴∠AOB＝. ∴＝1×1×cos ＝－. 答案：－ 三、解答題 9．一輛汽車在平直公路上向西行駛，車上裝著風速計和風向標，測得風向為東偏南30°，風速為4 m/s，這時氣象臺報告的實際風速為2 m/s，試求風的實際方向和汽車速度的大小． 解：依據(jù)物理知識，有三對相對速度， 車對地的速度為v車地，風對車的速度為v風車，風對地的速度為v風地，風對地的速度可以看成車對地與風對車的速度的合速度，即v風地＝v風車＋v車地 如圖所示，根據(jù)向量求和的平行四邊形法則，可知表示向量v風地的有向線段對應?ABDC的對角線．

18、 ∵||＝4，∠ACD＝30°，∴∠ADC＝90°. 在Rt△ADC中，||＝||cos 30°＝2. ∴風的實際方向是正南方，汽車速度的大小為2 m/s. 10．試用向量法證明： 三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與他們夾角的余弦之積的兩倍． 證明：設(shè)△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，如圖： ＝b2－2bccos A＋c2， 即a2＝b2＋c2－2bccos A. 同理可證： b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos C. 法二：如圖，以A為原點，AB所在直線為x軸，建立直角坐標系，則： C(bcos A，bsin A)，B(c,0)， ∴＝(bcos A，bsin A)－(c,0) ＝(bcos A－c，bsin A)， ∴a2＝||2＝(bcos A－c)2＋(bsin A)2 ＝b2cos2A－2bccos A＋c2＋b2sin2A， ＝b2－2bccos A＋c2， 即：a2＝b2＋c2－2bccos A. 同理可證： b2＝c2＋a2－2cacos B， c2＝a2＋b2－2abcos C.