高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第13章 第68講 二項式定律及其應(yīng)用課件 理

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1、5012CCCC31.2.nnnnnn若，則01122CCCC11CCCC2325.nnnnnnnnnnxxxxxn由，得時，有，故解析：14752().2.xxx在的展開式中， 項的系數(shù)是77 2152C()C2.7251.C214.rrrrrTxxxrrx 通項由已知得，則故 項的系數(shù)為解析：84743.(2011)2()()x xxx的展開式中， 的系數(shù)是 用數(shù)字東卷作答廣47377117 2422()2()C22C72322C84.rrrrrxxxxxTxxxxrrx 所求 的系數(shù)即展開式中 項的系數(shù)，展開式的通項為：，由得，所以 的系為析：數(shù)解7081( .()4).xx的展開式中，

2、常數(shù)項為 用數(shù)字作答88 2141C()C14C170.rrrrrTxxxr設(shè)為常數(shù)項，則，所以常數(shù)項為解析：1234531aaaaa 524325432102.(.)5xa xa xa xa xa xa若，則 用數(shù)字作答554321050123450123450111.0232.31.xaaaaaaxaaaaaaaaaaaaa 解當(dāng)時，當(dāng)時，所以析：二項展開式的通項的二項展開式的通項的應(yīng)用應(yīng)用 106451(2 )112(1)xyx yxx求的展開式中項的系數(shù)；求的展開式中【例】的常數(shù)項 101101010644445101( 1) C( ) ( 1) C ( 2)(010)1064.( 1

3、) C ( 2)4840.rrrrrrrrrrTxyxyrrrx yTC 令 ，得 所以項的系數(shù)為 【解析】 55515552515112(1)(1)1( )(1) (05)1 =( 1) C C ( )(0)( 1) C C(0)25025.rrrrkrkrrkrkrkrkrrxxxxTCxrxxkrxTxkrrkrk 因為，所以，即，得【解析】由456456133455.13303420551.3020 151.krkrkrkrTkrTkrTTTT 令，得；令，得；令，得故當(dāng)，時，=-；當(dāng)，時，=-；當(dāng)，時，=-所以常數(shù)項為=- 二項展開式的通項是求展開式中特殊項的重要工具，通常都是先利用

4、通項由題意列方程，求出Tr+1中的r，再求所需的某項運算中，要特別注意r的取值范圍及n，r的大小關(guān)系對于有三個項的二項式問題，應(yīng)先把其中的兩項并為一項，在應(yīng)用二項式定理時，在展開式中，并為一項的再使用二項式定理，同時注意r、k的大小關(guān)系 【變式練習(xí)1】已知 的展開式中沒有常數(shù)項，nN*，且2n8，求 n 的值.231(1)()nxxxx 【解析】先求 的展開式的通項： (0rn). 于是原式的展開式的項為： , , . 若展開式中有常數(shù)項，則 n=4r , n=4r -1, n=4r -2. 故當(dāng)展開式中沒有常數(shù)項時，則只有n=4r -3. 又 2n8，所以 r=2 , 則 n=5.31()n

5、xx 341()rn rrrnrrnnTC xxC x 4rnrnC x 41rnrnC x 42rnrnC x 二項式系數(shù)與二項展二項式系數(shù)與二項展開式的系數(shù)的比開式的系數(shù)的比 41()21232nxxxx若的展開式中前三項系數(shù)成等差數(shù)列，求：展開式中 的一次項；展開式中所有含 的有理項；展開式中系數(shù)【例 】最大的項 【解析】二項展開式的通項為 . 由條件知 ，得 n=8. 于是 . (1)令 ，得 r=4， 所以展開式中 x 的一次項是 ；234141()()22nrrnrrrrnnTCxrCxx 02111242nnnCCC 16 3412xrrrsTCx 16 314r 4453528

6、sTCxx 【解析】(2)因為 N (0r8 , rN)，得 r=0 , 4 , 8，對應(yīng)的有理項為T1=x4, T5= , T9= . (3)設(shè)第 r 項的系數(shù)最大， 則 ，即 ,16 34r 358x21256x112rrrrTTTT 11112222rrrrssrrrrssCCCC 所以 ， 解得 2r3. 于是系數(shù)最大的項為第3項 和第4項 .8!18!2!(8)! 2(1)!(9)! 28!18!1!(8)! 2(1)!(7)! 2 2rrrrrrrrrrrr 5237Tx 7447Tx 二項式系數(shù)與二項展開式項的系數(shù)是不同的兩個概念，要明確它們的區(qū)別求展開式項的系數(shù)最大的項，關(guān)鍵是

7、列出不等式組，正確應(yīng)用組合數(shù)的計算方法 【變式練習(xí)2】已知 (nN*)的展開式中第五項的系數(shù)與第三項的系數(shù)的比是10 1. 求： (1)展開式中各項系數(shù)的和； (2)展開式中含 的項； (3)展開式中系數(shù)最大的項和二項式系數(shù)最大的項.32x22()nxx 【解析】展開式的通項為 . 依題意， ，得 n=8. (1)令 x=1，則各項系數(shù)和為 (1-2)8=1. (2)通項 . 令8 -5r =3，得 r =1 . 所以展開式中含 的項為 .521( 1)2nrrrrrnTCx 444222( 1)21( 1)2nnCC 521( 1)2nrrrrrnTCx 32x32216Tx 1181118

8、2811116611117831222212256.2221892 8rrrrrrrrrrrrrssrrrrssrrrTCTCTCrCCrCCTCxxn設(shè)展開式中的第 項、第項、第項的系數(shù)的絕對值分別為、 若第項的系數(shù)的絕對值最大， 則，得 于是系數(shù)最大的項是【解析 由】 ，可知第44665821120 TCxx五項的二項式系數(shù)最大， 且二項式系數(shù)與二項二項式系數(shù)與二項展開式的系數(shù)和展開式的系數(shù)和 【例3】在(2x3y)10的展開式中，求：(1)二項式系數(shù)的和；(2)各項系數(shù)的和；(3)奇數(shù)項、偶數(shù)項的二項式系數(shù)和；(4)奇數(shù)項、偶數(shù)項系數(shù)的和 011010101010101001101010

9、1090199101010121024.21(2-3)(-1)1.325122512二項式系數(shù)的和為令，得各項系數(shù)的和為奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為，偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和為項的二解】項式【析CCCMxyCCCCCC 1010910011001101001101002101002104(23 ).11115 .1 5,21 52設(shè)令，得；令，得兩式相加可得兩式相加可得=，xya xa x ya yxyaaaxyaaaaaaaaa (ab)n展開式各二項式系數(shù)和為2n，只與n有關(guān)，而展開式中各項的系數(shù)和還與a，b中的系數(shù)有關(guān)，一般用賦值法求解；而展開式奇數(shù)項的二項式系數(shù)和與偶數(shù)項二項式系數(shù)和相等，而

10、系數(shù)和一般不具有類似性質(zhì)，要用比較的方法學(xué)習(xí) 5230123454502413512345(1)1 ()(3)2.xaa xa xa xa xa xaaaaaaaaaaa已知，求下列【各式的值：；變式練習(xí) 】 0123450123450241350123451234512345110132.161620131.31.xaaaaaaxaaaaaaaaaaaaxaaaaaaaaaaaaaaaa 令，得；令，得由聯(lián)列方程組解得，=-，令，得，所以-從而=-【解析】二項式定理的應(yīng)用二項式定理的應(yīng)用 12321*=C +C 6+CC)466(nnnnnnnnTnT .N【例已，求】知12321*0123

11、2n16=6(C +C 6+C 6C 6)()6+CC6(C +C 6+C 6C 6)(1+6)16=71(71)6nnnnnnnnnnnnnnnnnnnTnTTTN【因為，所以 ，即】，所以解析 抓住二項展開式的特點，對已知問題進行整體轉(zhuǎn)化對于有規(guī)律的組合式子的研究，可以從整體結(jié)構(gòu)出發(fā)，向二項式定理轉(zhuǎn)化，這樣可以簡化解決問題的過程 54320121 (1)5(1)10(1)10(1)5(1)2 C +3C +5C +(2)C .41nnnnnxxxxxn化簡：；【變式練習(xí) 】 5051455233245555554325012111(1) 1 =C (1) +C (1)+C (1) +C (

12、1) +C (1)C(1) +5(1) +10(1) +10(1) +5(1)1.2“”=C +3C +5C +(2 +1)C(21)C +(21)C+3C +CnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxSnSnn因為，所以觀察式子的特點，可利用 倒序求和 法設(shè)，得【解析】00122(1)C +2(1)C +2(1)C(1) 2 .nnnnnnSnnnSng，所以，則1.在二項式 的展開式中，含x4的項的系數(shù)是 .251()xx 【解析】通項 . 由10 -3r=4, 得 r=2, 則含 x4 的項的系數(shù)是 .2 510 31551()()( 1)rrrrrrrTC xC xx 225( 1

13、)10C 1032*(2)2(3N )3 2_2_._ .若，且，則nnnxxaxbxcxnna bn 33223n32n2C2C2(C2)(C 2)3 211.由二項式展開式得，所【解析以】，解得nnnnnnabn 111()364.nxxn若展開式的二項式系數(shù)之和為，則；展開式的常數(shù)項為6166 263612646C( )C(0,16)6203C20.nkkkkkknTxxxkkk依題意， ，令， 故展開式的常數(shù)項為解析：620 887871012802468(31)124.xa xa xa xaaaaaaaaa設(shè)，求下列各式的值：； 080128812802468135878802468

14、880246810112 .21255.21()()4 .2()42 .1(42 )2xaxaaaaaaaxaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 令，得；令，得所以令，得由【，得所以解析】 5.已知 的展開式中偶數(shù)項 的二項式系數(shù)之和比 (a+b)2n 的展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和小120，求第一個展開式的第三項.31()nxx 【解析】第一個展開式中偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為 2n-1，第二個展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和為22n-1. 依題意有22n-1=2n-1+120，所以 2n=16, 則 n=4. 故第一個展開式的第三項 .2223334() ()6TCxxx 01-12-22

15、1101201-1() =C+Cb+C+C+CCCCC .(1) =CCC10“”在二項式定理“”中，二項式系數(shù)為， ，二項式系數(shù)的和是通過當(dāng)時求出的當(dāng)時，得到常數(shù)項求二項展開式的所有項系數(shù)的和，可采用 特殊值取代法 ，通常是nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnabaaababbxxxxx 636336111(1+2 )C20C2160令式中的變量等于 而得到展開式中第項的二項式系數(shù)與第項的系數(shù)不是同一個概念，如的展開式中第四項的二項式系數(shù)為，而第四項的系數(shù)為，二者既有區(qū)別又有聯(lián)系rrx 1(0)1(). 二項展開式的通項=C是展開式中的第項，而不是第 項用通項解題時，一般都是首先將通項轉(zhuǎn)化為關(guān)于 、的方程 組 ，求出 、 ，然后代入公式求解求二項展開式中的特殊項，如系數(shù)最大項、常數(shù)項等，通常都是先利用通項公式，由題意列方程，求出 ，再求所需要的項，有時需要先求出計算時，要注意 、 的取值范圍以及它們之間的大小關(guān)系rn rrrnTabrnrrnrnrrnnr