2016年高考數(shù)學(xué)（文科）真題分類匯編N單元選修4系列

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1、 數(shù) 學(xué) N單元 選修4系列 N1 選修4-1 幾何證明選講 22．N1[2016·全國(guó)卷Ⅰ] 選修4-1：幾何證明選講 如圖1-6所示，△OAB是等腰三角形，∠AOB＝120°.以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓． (1)證明：直線AB與⊙O相切； (2)點(diǎn)C，D在⊙O上，且A，B，C，D四點(diǎn)共圓，證明：AB∥CD. 圖1-6 22．證明：(1)設(shè)E是AB的中點(diǎn)，連接OE. 因?yàn)镺A＝OB，∠AOB＝120°， 所以O(shè)E⊥AB，∠AOE＝60°. 在Rt△AOE中，OE＝AO，即O到直線AB的距離等于⊙O的半徑，所以直線AB與⊙O相切． (2)因?yàn)镺A

2、＝2OD，所以O(shè)不是A，B，C，D四點(diǎn)所在圓的圓心．設(shè)O′是A，B，C，D四點(diǎn)所在圓的圓心，作直線OO′. 由已知得O在線段AB的垂直平分線上，又O′在線段AB的垂直平分線上，所以O(shè)O′⊥AB. 同理可證，OO′⊥CD，所以AB∥CD. 22．N1[2016·全國(guó)卷Ⅱ] 選修4-1：幾何證明選講 如圖1-5，在正方形ABCD中，E，G分別在邊DA，DC上(不與端點(diǎn)重合)，且DE＝DG，過D點(diǎn)作DF⊥CE，垂足為F. (1)證明：B，C，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓； (2)若AB＝1，E為DA的中點(diǎn)，求四邊形BCGF的面積． 圖1-5 22．解：(1)證明：因?yàn)镈F⊥EC，所以△DEF∽

3、△CDF，則有∠GDF＝∠DEF＝∠FCB，＝＝， 所以△DGF∽△CBF，由此可得∠DGF＝∠CBF. 因此∠CGF＋∠CBF＝180°，所以B，C，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓． (2)由B，C，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，CG⊥CB知FG⊥FB.連接GB. 由G為Rt△DFC斜邊CD的中點(diǎn)，知GF＝GC，故Rt△BCG≌Rt△BFG，因此，四邊形BCGF的面積S是△GCB面積S△GCB的2倍，即S＝2S△GCB＝2×××1＝. 22．N1[2016·全國(guó)卷Ⅲ] 選修4-1：幾何證明選講 如圖1-6，⊙O中的中點(diǎn)為P，弦PC，PD分別交AB于E，F(xiàn)兩點(diǎn)． (1)若∠PFB＝2∠PCD，求∠PC

4、D的大小； (2)若EC的垂直平分線與FD的垂直平分線交于點(diǎn)G，證明：OG⊥CD. 圖1-6 22．解：(1)連接PB，BC，則∠BFD＝∠PBA＋∠BPD，∠PCD＝∠PCB＋∠BCD. 因?yàn)椋?，所以∠PBA＝∠PCB，又∠BPD＝∠BCD，所以∠BFD＝∠PCD. 又∠PFB＋∠BFD＝180°，∠PFB＝2∠PCD，所以3∠PCD＝180°，因此∠PCD＝60°. (2)證明：因?yàn)椤螾CD＝∠BFD，所以∠EFD＋∠PCD＝180°，由此知C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓，其圓心既在CE的垂直平分線上，又在DF的垂直平分線上，故G就是過C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)的圓的圓心，所以G在CD

5、的垂直平分線上．又O也在CD的垂直平分線上，因此OG⊥CD. 21．A.N1[2016·江蘇卷] 選修4-1：幾何證明選講 如圖1-7，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，D為垂足，E是BC的中點(diǎn)，求證：∠EDC＝∠ABD. 圖1-7 21．A.證明：在△ADB和△ABC中， 因?yàn)椤螦BC＝90°，BD⊥AC，∠A為公共角， 所以△ADB∽△ABC，于是∠ABD＝∠C. 在Rt△BDC中，因?yàn)镋是BC的中點(diǎn)， 所以ED＝EC，從而∠EDC＝∠C， 所以∠EDC＝∠ABD. N2 選修4-2 矩陣 21．B．N2[2016·江蘇卷] 選修4-2：矩

6、陣與變換 已知矩陣A＝，矩陣B的逆矩陣B－1＝，求矩陣AB. 21．B．解：設(shè)B＝，則B－1B＝ ＝， 即＝， 故解得所以B＝. 因此，AB＝＝. N3 選修4-4 參數(shù)與參數(shù)方程 23．N3[2016·全國(guó)卷Ⅰ] 選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a>0)．在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ＝4cos θ. (1)說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程； (2)直線C3的極坐標(biāo)方程為θ＝α0，其中α0滿足tan α0＝2，若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上，求a. 23

7、．解：(1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2.C1是以(0，1)為圓心，a為半徑的圓． 將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0. (2)曲線C1，C2的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)滿足方程組 若ρ≠0，則由方程組得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，從而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1. 當(dāng)a＝1時(shí)，極點(diǎn)也為C1，C2的公共點(diǎn)，在C3上， 所以a＝1. 23．N3[2016·全國(guó)卷Ⅱ] 選修4-4：坐

8、標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為(x＋6)2＋y2＝25. (1)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求C的極坐標(biāo)方程； (2)直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝，求l的斜率． 23．解：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圓C的極坐標(biāo)方程ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為θ＝α(ρ∈R)． 設(shè)A，B所對(duì)應(yīng)的極徑分別為ρ1，ρ2.將l的極坐標(biāo)方程代入C的極坐標(biāo)方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB

9、|＝|ρ1－ρ2|＝＝.由|AB|＝得cos2α＝，則tan α＝±. 所以l的斜率為或－. 23．N3[2016·全國(guó)卷Ⅲ] 選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ＋）＝2. (1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)點(diǎn)P在C1上，點(diǎn)Q在C2上，求|PQ|的最小值及此時(shí)P的直角坐標(biāo)． 23．解：(1)C1的普通方程為＋y2＝1，C2的直角坐標(biāo)方程為x＋y－4＝0. (2)由題意，可設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(cos α，sin α)．

10、因?yàn)镃2是直線，所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d(α)的最小值，d(α)＝＝|sin（α＋）－2|， 當(dāng)且僅當(dāng)α＝2kπ＋(k∈Z)時(shí)，d(α)取得最小值，最小值為，此時(shí)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(，). 21．C．N3[2016·江蘇卷] 選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，橢圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))．設(shè)直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)． 21．C．解：橢圓C的普通方程為x2＋＝1. 將直線l的參數(shù)方程代入x2＋＝1，得1＋t2＋＝1，即7t2＋16t＝0，解得t1＝0，t2＝－. 所以AB＝|t1－t2

11、|＝. N4 選修4-5 不等式選講 24．N4[2016·全國(guó)卷Ⅰ] 選修4-5：不等式選講 已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|－|2x－3|. (1)在圖1-7中畫出y＝f(x)的圖像； (2)求不等式|f(x)|>1的解集． 圖1-7 24．解：(1)f(x)＝ 則y＝f(x)的圖像如圖所示． (2)由f(x)的表達(dá)式及圖像知，當(dāng)f(x)＝1時(shí)，x＝1或x＝3； 當(dāng)f(x)＝－1時(shí)，x＝或x＝5. 故f(x)>1的解集為{x|11的解集為{x或15}. 24．N4[2016·全國(guó)卷Ⅱ

12、] 選修4-5：不等式選講 已知函數(shù)f(x)＝＋，M為不等式f(x)<2的解集． (1)求M； (2)證明：當(dāng)a，b∈M時(shí)，|a＋b|<|1＋ab|. 24．解：(1)f(x)＝ 當(dāng)x≤－時(shí)，由f(x)<2得－2x<2，解得x>－1； 當(dāng)－

13、16·全國(guó)卷Ⅲ] 選修4-5：不等式選講 已知函數(shù)f(x)＝|2x－a|＋a. (1)當(dāng)a＝2時(shí)，求不等式f(x)≤6的解集； (2)設(shè)函數(shù)g(x)＝|2x－1|，當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范圍． 24．解：(1)當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＝|2x－2|＋2. 解不等式|2x－2|＋2≤6，得－1≤x≤3. 因此，f(x)≤6的解集為{x|－1≤x≤3}． (2)當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a， 當(dāng)x＝時(shí)等號(hào)成立， 所以當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)＋g(x)≥3等價(jià)于|1－a|＋a≥3.① 當(dāng)a≤1時(shí)，①等價(jià)于1－a＋a≥3，無解． 當(dāng)a>1時(shí)，①等價(jià)于a－1＋a≥3，解得a≥2. 所以a的取值范圍是[2，＋∞)． 21．D．N4[2016·江蘇卷] 選修4-5：不等式選講 設(shè)a>0，|x－1|<，|y－2|<，求證：|2x＋y－4|