2018屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習： 第10章 第2節(jié) 排列與組合

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1、 第二節(jié)　排列與組合 [考綱傳真]　1.理解排列與組合的概念.2.理解排列數(shù)公式、組合數(shù)公式.3.能利用公式解決一些簡單的實際問題． 1．排列與組合的概念 名稱 定義 排列 從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素 按照一定的順序排成一列 組合 合成一組 2.排列數(shù)與組合數(shù) (1)排列數(shù)的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用A表示． (2)組合數(shù)的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用C表示． 3．排列數(shù)、組合數(shù)的公

2、式及性質(zhì) 公式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ (2)C＝＝ ＝ 性質(zhì) (1)0?。?；A＝n! (2)C＝C；C＝C＋C 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)所有元素完全相同的兩個排列為相同排列．(　　) (2)兩個組合相同的充要條件是其中的元素完全相同．(　　) (3)若組合式C＝C，則x＝m成立．(　　) (4)排列定義規(guī)定給出的n個元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情況．也就是說，如果某個元素已被取出，則這個元素就不再取了．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√

3、 2．(教材改編)某高三畢業(yè)班有40人，同學(xué)之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留言，那么全班共寫了畢業(yè)留言(　　) A．1 560條　 B.780條 C.1 600條　 D.800條 A　[由題意，得畢業(yè)留言共A＝1 560條．] 3．(2016·四川高考)用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為(　　) A．24 B.48 C.60 D.72 D　[第一步，先排個位，有C種選擇； 第二步，排前4位，有A種選擇． 由分步乘法計數(shù)原理，知有C·A＝72(個)．] 4．(2017·唐山調(diào)研)某市委從組織機關(guān)10名科員中選3人擔任駐村第一書記，則甲、乙

4、至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)為(　　) A．85 B.56 C.49 D.28 C　[法一(直接法)：甲、乙兩人均入選，有CC種方法， 甲、乙兩人只有1人入選，有CC種方法， 由分類加法計數(shù)原理，共有CC＋CC＝49種選法． 法二(間接法)：從9人中選3人有C種方法， 其中甲、乙均不入選有C種方法， ∴滿足條件的選排方法有C－C＝84－35＝49種．] 5．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必須站在A的右邊(A，B可以不相鄰)，那么不同的排法共有________種． 60　[5人的全排列，B站在A的右邊與A站在B的右邊各占一半， ∴滿足條件的不

5、同排法共A＝60種．] 排列應(yīng)用題 　(1)六個人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有(　　) A．192種　　 B.216種　 C.240種　　 D.288種 (2)(2017·北京西城區(qū)質(zhì)檢)把5件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有________種. 【導(dǎo)學(xué)號：01772381】 (1)B　(2)36　[(1)第一類：甲在左端， 有A＝5×4×3×2×1＝120種方法； 第二類：乙在最左端， 有4A＝4×4×3×2×1＝96種方法， 所以共有120＋96＝216種方法． (2)

6、記其余兩種產(chǎn)品為D，E，A，B相鄰視為一個元素，先與D，E排列，有AA種方法．再將C插入，僅有3個空位可選，共有AAC＝2×6×3＝36種不同的擺法．] [規(guī)律方法]　1.第(1)題求解的關(guān)鍵是按特殊元素甲、乙的位置進行分類．注意特殊元素(位置)優(yōu)先原則，即先排有限制條件的元素或有限制條件的位置．對于分類過多的問題，可利用間接法． 2．對相鄰問題采用捆綁法、不相鄰問題采用插空法、定序問題采用倍縮法等常用的解題方法． [變式訓(xùn)練1]　在航天員進行的一項太空實驗中，要先后實施6個程序，其中程序A只能出現(xiàn)在第一或最后一步，程序B和C在實施時必須相鄰，問實驗順序的編排方法共有(　　) A．34

7、種 B.48種 C.96種 D.144種 C　[程序A的順序有A＝2種結(jié)果，將程序B和C看作一個元素與除A外的元素排列有AA＝48種結(jié)果， 由分步乘法計數(shù)原理，實驗編排共有2×48＝96種方法．] 組合應(yīng)用題 　(1)若從1,2,3，…，9這9個整數(shù)中同時取4個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有(　　) A．60種 B.63種 C.65種 D.66種 (2)(2016·全國卷Ⅲ)定義“規(guī)范01數(shù)列”{an}如下：{an}共有2m項，其中m項為0，m項為1，且對任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的個數(shù)不少于1的個數(shù)．若m＝4，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有(　　

8、) A．18個 B.16個 C.14個 D.12個 (1)D　(2)C　[(1)共有4個不同的偶數(shù)和5個不同的奇數(shù)，要使和為偶數(shù)，則4個數(shù)全為奇數(shù)，或全為偶數(shù)，或2個奇數(shù)和2個偶數(shù)， ∴不同的取法共有C＋C＋CC＝66種． (2)由題意知：當m＝4時，“規(guī)范01數(shù)列”共含有8項，其中4項為0,4項為1，且必有a1＝0，a8＝1.不考慮限制條件“對任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的個數(shù)不少于1的個數(shù)”，則中間6個數(shù)的情況共有C＝20(種)，其中存在k≤2m，a1，a2，…，ak中0的個數(shù)少于1的個數(shù)的情況有：①若a2＝a3＝1，則有C＝4(種)；②若a2＝1，a3＝0，則a4

9、＝1，a5＝1，只有1種；③若a2＝0，則a3＝a4＝a5＝1，只有1種．綜上，不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有20－6＝14(種)． 故共有14個．故選C.] [規(guī)律方法]　1.(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中選?。? (2)“至少”或“至多”含有幾個元素的題型：若直接法分類復(fù)雜時，逆向思維，間接求解． 2．第(2)題是“新定義”問題，首先理解“規(guī)范01數(shù)列”的定義是解題的關(guān)鍵，注意分類討論時要不重不漏，并重視間接法的應(yīng)用． [變式訓(xùn)練2]　現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、

10、綠色卡片各4張．從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為________． 472　[第一類，含有1張紅色卡片，不同的取法CC＝264種．第二類，不含有紅色卡片，不同的取法C－3C＝220－12＝208種． 由分類加法計數(shù)原理，不同的取法共264＋208＝472種．] 排列與組合的綜合應(yīng)用 ?角度1　簡單的排列與組合的綜合問題 　(2017·成都質(zhì)檢)用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40 000大的偶數(shù)共有(　　) A．144個 B.120個 C．96個 D.72個 B　[當五位數(shù)的萬位為4時，個

11、位可以是0,2，此時滿足條件的偶數(shù)共有CA＝48個；當五位數(shù)的萬位為5時，個位可以是0,2,4，此時滿足條件的偶數(shù)共有CA＝72個， 所以比40 000大的偶數(shù)共有48＋72＝120個．] ?角度2　分組分配問題 　(2017·江南名校聯(lián)考)將甲、乙等5位同學(xué)分別保送到北京大學(xué)，上海交通大學(xué)，浙江大學(xué)三所大學(xué)就讀，則每所大學(xué)至少保送一人的不同保送的方法有(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：01772382】 A．240種 B.180種 C.150種 D.540種 C　[5名學(xué)生可分為2,2,1和3,1,1兩組方式． 當5名學(xué)生分成2,2,1時，共有CCA＝90種方法；當5名學(xué)生分成3,1

12、,1時，共有CA＝60種方法． 由分類加法計數(shù)原理知共有90＋60＝150種保送方法．] [規(guī)律方法]　1.解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．對于排列組合的綜合題目，一般是先取出符合要求的元素，再對取出的元素排列． 2．(1)不同元素的分配問題，往往是先分組再分配．在分組時，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組，注意各種分組類型中，不同分組方法的求法． (2)對于相同元素的“分配”問題，常用的方法是采用“隔板法”． [思想與方法] 1．解有附加條件的排列、組合應(yīng)用題的三種思路： (1)特殊元素、特

13、殊位置優(yōu)先原則． (2)解受條件限制的組合題，通常用直接法(合理分類)和間接法(排除法)來解決，分類標準應(yīng)統(tǒng)一． (3)解排列、組合的綜合題一般是先選再排，先分組再分配． 2．求解排列組合問題的思路：“排組分清，加乘明確；有序排列，無序組合；分類相加，分步相乘．” [易錯與防范] 1．易混淆排列與組合問題，區(qū)分的關(guān)鍵是看選出的元素是否與順序有關(guān)，排列問題與順序有關(guān)，組合問題與順序無關(guān)． 2．計算A時易錯算為n(n－1)(n－2)…(n－m)． 3．易混淆排列與排列數(shù)，排列是一個具體的排法，不是數(shù)，是一件事，而排列數(shù)是所有排列的個數(shù)，是一個正整數(shù)． 4．解組合應(yīng)用題時，應(yīng)注意“至少”“至多”“恰好”等詞的含義． 5．對于分配問題，一般是堅持先分組，再分配的原則，注意平均分組與不平均分組的區(qū)別，避免重復(fù)或遺漏．