高考沖刺 轉(zhuǎn)化與化歸的思想.docx

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1、高考沖刺轉(zhuǎn)化與化歸的思想 編稿：孫永釗審稿：張林娟 【高考展望】 解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常遇到一些問(wèn)題直接求解較為困難，通過(guò)觀(guān)察、分析、類(lèi)比、聯(lián)想等思維過(guò)程， 選擇運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法進(jìn)行變換，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)新問(wèn)題(相對(duì)來(lái)說(shuō)，對(duì)自己較熟悉的問(wèn)題)，通 過(guò)新問(wèn)題的求解，達(dá)到解決原問(wèn)題的目的，這一思想方法我們稱(chēng)之為“轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法” 轉(zhuǎn)化與化歸思想在高考中占有相當(dāng)重要的地位，可以說(shuō)比比皆是，如未知向已知的轉(zhuǎn)化、新知識(shí)向舊 知識(shí)的轉(zhuǎn)化、復(fù)雜問(wèn)題向簡(jiǎn)單問(wèn)題的轉(zhuǎn)化、不同數(shù)學(xué)問(wèn)題之間的互相轉(zhuǎn)化、實(shí)際I'可題向數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化等等. 各種變換、具體解題方法都是轉(zhuǎn)化的手段，轉(zhuǎn)化的思想方法滲透到所有的數(shù)學(xué)

2、教學(xué)內(nèi)容和解題過(guò)程中. 高考對(duì)本講的考查為： (1) 常量與變量的轉(zhuǎn)化：如分離變量，求范圍等。 (2) 數(shù)與形的互相轉(zhuǎn)化：若解析幾何中斜率、函數(shù)中的單調(diào)性等。 (3) 數(shù)學(xué)各分支的轉(zhuǎn)化：函數(shù)與立體兒何、向量與解析兒何等的轉(zhuǎn)化。 (4) 出現(xiàn)更多的實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)化問(wèn)題。 【知識(shí)升華】 轉(zhuǎn)化與化歸思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)采用某種手段將問(wèn)題通過(guò)變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn) 而得到解決的一種方法.一般總是將復(fù)雜的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，將難解的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化 為容易求解的問(wèn)題，將未解決的問(wèn)題變換轉(zhuǎn)化為己解決的問(wèn)題.解題的過(guò)程就是“化歸”的過(guò)程，不斷地 改變待解決的問(wèn)題

3、，重新敘述它，變換它，直到最后成功地找到某些有用的東西為止. 1. 轉(zhuǎn)化與化歸應(yīng)遵循的原則 (1) 熟悉化原則：將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，以利于我們運(yùn)用熟知的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和方法來(lái)解決. (2) 簡(jiǎn)單化原則：將復(fù)雜問(wèn)題化歸為簡(jiǎn)單問(wèn)題，通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單問(wèn)題的解決，達(dá)到解決復(fù)雜問(wèn)題的目的， 或獲得某種解題的啟示和依據(jù). (3) 和諧化原則：化歸問(wèn)題的條件或結(jié)論，使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內(nèi)部所呈現(xiàn)的和諧統(tǒng)一的形式, 或者轉(zhuǎn)化命題，使其有利于運(yùn)用某種數(shù)學(xué)方法或符合人們的思維規(guī)律. (4) 直觀(guān)化原則：將比較抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較直觀(guān)的問(wèn)題來(lái)解決. (5) 正難則反原則：當(dāng)問(wèn)題正面討論遇到困難時(shí)，可

4、考慮問(wèn)題的反面，設(shè)法從問(wèn)題的反面去探求，使 問(wèn)題獲解. 2. 轉(zhuǎn)化與化歸的基本類(lèi)型 (1) 正與反、一般與特殊的轉(zhuǎn)化，即正難則反，特殊化原則. (2) 常量與變量的變化，即在處理多元問(wèn)題時(shí)，選取其中的變量(或參數(shù))當(dāng)“主元”，其他的變量 看作常量. 由二次函數(shù)r(x)在［-1, 1］的圖形易知: f(i)w o且 f (-DWO, 3 解得：P<--或P—3. 2 3 ..?滿(mǎn)足已知條件的P的取值范圍為(-己,3). 2 【變式 3】己知三條拋物線(xiàn)：y = x2 +4ax-4a + 3f y = x2 +(a-\)x + a2, y = 中至 少有一條與x軸相交，求實(shí)

5、a的取值范圍. 【答案】a<--^a>-\. 2 類(lèi)型五、換元轉(zhuǎn)化問(wèn)題 【例8】已知aER,求函數(shù)y = (a-sinx)(a-cosx)的最小值. 【思路點(diǎn)撥】y = (a- sin x)(q - cos x) = a2 - tz(sin x + cos x) + sin jvcos x ,而 sin x + cosx 與 sinxcos工有聯(lián)系，可設(shè)1 = sinx + cosx，則原來(lái)的問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題. 【解析】設(shè)z = sinx + cosx,貝it = \/2sin(x + —), t g [->/2,\/2], 4 1 , 1 , 而

6、sin xcos x = — [(sin x + cos x) 一 1]=—(廣一 1), 2 2 于是 y =fit)=6?—。⑸心+cosx)+s i iircosx =?2—— (/2—1)= — r2—— 2 2 2 1 八 1 , 1 2 2 2 原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)M=-U~a)2+-a2~-在公皿]上的最值問(wèn)題. 2 2 2 (1) 當(dāng)一 4iw(iW& t=u 時(shí)， e 1 0 1 ^Omin Cl ——一； 2 2 (2) 當(dāng)時(shí)，f(t)在[―JL 上單調(diào)遞減， f(t)min = f(>/2 )=a2— >/2 a+ —； 2 (3) 當(dāng)a

7、<-V2時(shí)，f(x)在[一丁^, J5]上單調(diào)遞增， f(t)min = f(— >[1 ) = a2+>/2 a+ — 2 【總結(jié)升華】代數(shù)問(wèn)題三角化，往往可充分利用三角函數(shù)的特有性質(zhì)，使較為復(fù)雜的問(wèn)題得以簡(jiǎn)化, 從而獲得解答.一般地，當(dāng)條件能轉(zhuǎn)化成如下形式時(shí)，就可以考慮三角代換： ⑴若 a2+b2= 1,可設(shè) a=cosa, b=sina； (2) 若 a2+b2 可設(shè) a=rcosa, b=rsina(O

8、 【變式】函數(shù)f(x)=-41og2-.|og24xlog24x在區(qū)間［-,4］上的最大值等于() 8 8 A. -24 B. 16 C. 25 D. 24 【答案】故選C. 【解析】設(shè)logu=f,則低［一3,2］, 故函數(shù)7U)可轉(zhuǎn)化為y=g(r)= — 4(，一3)“+2) =—4F+4f+24= —4(/— — )2+25? 2 因?yàn)?G［-3,2J,所以當(dāng)/=；時(shí)，函數(shù)g。)取得最大值為25. 故選C. 【例9】求函數(shù)/*(*) = 2-4。sin工一cos2工的最大值. 【思路點(diǎn)撥】令t=sin x,將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于I的二次函數(shù)，再求二次函數(shù)在區(qū)間［一1, 1

9、］上的最大 值. 【解析】/(x) = 2-4wsinx-(l-2sin2x) = 2sin' x—4osinx + l =2(sinx-?)2 +1-2q2. 設(shè) sin x=t,則一IWtWl, 令 y = g(" = 2(/- a)2 +1 - 2a2. 如圖所示，當(dāng)a<0時(shí)，有= g(l)= 3-4". 同理，當(dāng) aNO 時(shí)，有)，max =g(-l) = 3 + 4". 所以，當(dāng)aVO時(shí)函數(shù)(3)的最大值為3-4a. 當(dāng)a》O時(shí)函數(shù)/(x)的最大值為3+4a. 【總結(jié)升華】通過(guò)換元將三角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為較熟悉的一元二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，特別注意： ① 換元后

10、所得t的函數(shù)的定義域?yàn)椋垡?, 1］；②應(yīng)該討論二次函數(shù)對(duì)應(yīng)的拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸相對(duì)于區(qū)間［一1, I］的位置，才能確定其最值. 舉一反三： 【變式1】已知x2+y2=h則z=x-2y的取值范圍是 . 【解析】令 x=cos 0 , y=sin 0 ,則 z = cos。一2sinO = V^cos(6 + °), , ? Zmax =逐，Zmin = - /. —^5 < z < 5/5 【變式2】已知aER,求函數(shù)y= (a—sin x) (a—cos x)的最小值. 【解析】設(shè) t=sin x+cos x, 貝iJr = V2sin(x+-),故rG［-V2,V2］. 4

11、 . 1 2 1 2 而 sin x - cos x =—［(sin x+cos x)~ 一 1］ = —(廣- I), 2 2 于是，y = /(0 = a2 -^(sin x + cosx) + sin xcosx =a2 -at + -{r -\) = -r-cither-- 2 2 2 1, \2 1 2 1 = -(t-a) +-a ——. 2 2 2 原問(wèn)題化歸為求二次函數(shù)f(t) = -(t-a)2+-a2--在公J3］上的最值問(wèn)題. 2 2 2 ① 當(dāng)-41 < ? < V2 ut, Et=a, /XDmin —!： ② 當(dāng) a>yf2 時(shí)，f(。在［-

12、72,72］上單調(diào)遞減，f(t)m.n=f(42) = a2-42a + ^ ③ 當(dāng)a<-42 時(shí)，f(。在［—J公扳］上單調(diào)遞增，f(t)min=f(-y/2) = a2+>/2a + ^. 【變式 3】已知/(x) = lg(x + l), g(x) = 21g(2x+r) , twR. (1) 當(dāng)t=—1時(shí)，解不等式f(x) -} (2) tmi 4 類(lèi)型六、命題的轉(zhuǎn)化 【例10】關(guān)于x的方程x3-3x2-a=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍. 【

13、思路點(diǎn)撥】本題是一個(gè)高次方程的問(wèn)題，無(wú)法用判別式去判定根的個(gè)數(shù)，故可以轉(zhuǎn)化命題，轉(zhuǎn)化為 曲線(xiàn)y=x3—3x2與直線(xiàn)y=a有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 【解析】由 X1—3x2—a=0 得 a=x3—3x', 令 fM = x3 - 3x2 ?，? f 3 = 3x2 - 6x = 3x(x - 2), 令 f '(-<,) = 0 ,得 x=0 或 x=2. 當(dāng)(一8, o)時(shí)，yu)>o； 當(dāng)(0, 2)時(shí)，尸⑴vO； 當(dāng) xG (2, +8)時(shí)，廣(x)>0. 所以/(x)在(一8, 0)和(2, +8)上是增函數(shù)，在(0, 2)上為減函數(shù). 又/(0) = 0, /

14、⑵= -4. 結(jié)合圖象，直線(xiàn)y=a與曲線(xiàn)y=xa-3x2有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，則a<-4或a>0. 所以關(guān)于x的方程x3-3x2-a=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)， 實(shí)數(shù)a的取值范圍為a<-4或a>0. 【總結(jié)升華】在解題的過(guò)程中，直接考慮思維受阻時(shí)，要學(xué)會(huì)變換解決問(wèn)題的角度，轉(zhuǎn)化命題的形式, 使問(wèn)題變得直觀(guān)、簡(jiǎn)潔，進(jìn)而使問(wèn)題得以解決，有些問(wèn)題可以考慮其反面，通過(guò)解決反面使問(wèn)題得以解決, 有些空間中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題則變得簡(jiǎn)潔.這就是轉(zhuǎn)化與化歸思想的真諦. 舉一反三: 【變式】設(shè)0< 0 <2 n ,且方程2sin(6> + -) = /n有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍及這兩個(gè) 3

15、 實(shí)根的和. JT ]T 【解析】將原方程2sin(Q + ：) = m轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)y = 2sin(x+y)的圖象與直線(xiàn)y = m有兩個(gè)不同 的交點(diǎn)時(shí)，求a的范圍及a+B的值. jr 如圖，在同一坐標(biāo)系中，作出y = 2sin(x+y)及y=m的圖象， 由圖可知：當(dāng)一2<也<占或后 m<2時(shí)，直線(xiàn)與曲線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn), 即原方程2 sin(6> + -) = m有兩個(gè)不同實(shí)根. 3 若y/3

16、6 7 71 7 7T 則另一個(gè)根為易=史一。，?.?為+七=工. 6 3 且由對(duì)稱(chēng)性可知，這兩個(gè)實(shí)根的和為生或一上. 3 3 類(lèi)型七、空間線(xiàn)面關(guān)系的轉(zhuǎn)化 【例11】如圖，在四面體ABCD中，CB=CD, ADLBD,點(diǎn)、E、F分別是AB、8。的中點(diǎn).求證: ⑴直線(xiàn)EF〃平面ACO；⑵平面EFC1.平面BCD. 【思路點(diǎn)撥】證明線(xiàn)面平行，常用方法是轉(zhuǎn)化為證線(xiàn)線(xiàn)平行或面面平行：證明面面垂直，常常轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面垂直 【解析】⑴在△△位)中，因?yàn)樾尽⑹謩e是AB、的中點(diǎn)，所以EF//AD.又AOU平面ACD, E冏平面 ACD.所以直線(xiàn)以〃平面ACD. (2) 在左中，因?yàn)?

17、AD'BD, EF//AD,所以 EFVBD. 在△8CD中，因?yàn)镃D=CB, F為BD的中點(diǎn)，所以CF±BD. 因?yàn)椤?FU平面EFC, CFU平面EFC, EF與CF交于點(diǎn)、F,所以平面EFC. 又因?yàn)锽DU平面BCD,所以平面EFCL平面BCD. 【總結(jié)升華】在立體幾何證明中，兩類(lèi)轉(zhuǎn)化關(guān)系相當(dāng)重要： 線(xiàn)線(xiàn)平行-線(xiàn)面平行一面面平行 線(xiàn)線(xiàn)垂直-線(xiàn)面垂直一面面垂直 舉一反三： 【變式】如圖，在矩形ABCD中，AB=3j^, BC=3,沿對(duì)角線(xiàn)BD把ABCD折起使C點(diǎn)移到G點(diǎn)，旦G在平 面ABD內(nèi)的射影0恰好落在AB上。 (1) 求證：AGIBCi； (2)求AB與平面BGD

18、所成的正弦值; (3)求二面角C.—BD—A的正切值。 【解析】(1)由題意,CiO±面ABD。 又 GOu 面 ABC）, .??面 ABG_L 面 ABDo 又 VADXAB,面 ABGC面 ABD=AB, ?.?ADJL面ABG, ..?AD_LBG, 又 BC.IC.D, ADACiD=D, ABCi± 面 AGD, BCi _L ACi o （還可由三垂線(xiàn)定理證AD±BC.） （2） VBGlfflAC.D, BGu面BGD, .??面 ACiDl面 BGD, 作AH1C.D,于H,則人日_1面時(shí)【）。連結(jié)BH,則BH為AB在面BCJ）上的射影, A

19、 ZABH即為AB與面BCiD所成的角。 又在 RtAACiD 中,GD=3V3 , AD=3, .\ACf3V2 , AAH=V6 , AsinZABH=^=T 即AB與面附）所成角的正弦值為丁 (3) 過(guò) 0 作 OG±BD 于 G,連結(jié) GG,則 GG_LBD。 KOZCiGO為二面角Ci—BD—A的平面角。 在RtAAC.B中，GO二竺陽(yáng)二灰 AB 在 MBGD 中，C,G=—― CD| - BD 0G= Jcq2 cO = g, AtanZC^ —= 2^2 . OG 即二面角G—BD—A的正切值為2次。 【點(diǎn)評(píng)】（1）本題證線(xiàn)線(xiàn)垂直過(guò)程中用到了線(xiàn)線(xiàn)垂

20、直、線(xiàn)面垂直、面面垂直相互轉(zhuǎn)化的思想 線(xiàn)線(xiàn)垂直 線(xiàn)面垂直 （2）通過(guò)作線(xiàn)面角與二面角的平面角，將空間角的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面角處理。 （3） 數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，即利用對(duì)數(shù)量關(guān)系的討論來(lái)研究圖形性質(zhì)，也可利用圖形直觀(guān)提供思路，直觀(guān) 地反映函數(shù)或方程中的變量之間的關(guān)系. （4） 數(shù)學(xué)各分支之間的轉(zhuǎn)化，如利用向量方法解立體幾何問(wèn)題，用解析幾何方法處理平面幾何、代 數(shù)、三角問(wèn)題等. （5） 相等與不等之間的轉(zhuǎn)化，如利用均值不等式、判別式等. （6） 實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)化. 3. 常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化方法 （1） 直接轉(zhuǎn)化法：把原問(wèn)題直接轉(zhuǎn)化為基本定理、基本公式或基本圖形問(wèn)題. （2）

21、換元法：運(yùn)用“換元”把超越式轉(zhuǎn)化為有理式或使整式降'帛等，把較復(fù)雜的函數(shù)、方程、不等 式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為易于解決的基本問(wèn)題. （3） 數(shù)形結(jié)合法：研究原問(wèn)題中數(shù)量關(guān)系（解析式）與空間形式（圖形）關(guān)系，通過(guò)互相變換、獲 得轉(zhuǎn)化途徑. （4） 參數(shù)法：引進(jìn)參數(shù)，使原問(wèn)題的變換具有靈活性，易于轉(zhuǎn)化. （5） 構(gòu)造法：“構(gòu)造” 一個(gè)合適的數(shù)學(xué)模型，把問(wèn)題變?yōu)橐子诮鉀Q的問(wèn)題. （6） 坐標(biāo)法：以坐標(biāo)系為工具，用計(jì)算方法解決幾何問(wèn)題. （7） 類(lèi)比法：運(yùn)用類(lèi)比推理，猜測(cè)問(wèn)題的結(jié)論. （8） 特殊化方法：把原問(wèn)題的形式向特殊化形式轉(zhuǎn)化，并證明特殊化后的結(jié)論適合原問(wèn)題. （9） 一般化方法：當(dāng)原問(wèn)題是

22、某個(gè)一般化形式問(wèn)題的特殊形式且又較難解決時(shí)，可將問(wèn)題通過(guò)一般 化的途徑進(jìn)行轉(zhuǎn)化. （10） 等價(jià)問(wèn)題法：把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)易于解決的等價(jià)命題，達(dá)到轉(zhuǎn)化目的. （11） 加強(qiáng)命題法：在證明不等式時(shí)，原命題難以得證，往往把命題的結(jié)論加強(qiáng)，即把命題的結(jié)論加 強(qiáng)為原命題的充分條件，反而能將原命題轉(zhuǎn)化為一個(gè)較易證明的命題，加強(qiáng)命題法是非等價(jià)轉(zhuǎn)化方法. （12） 補(bǔ)集法：如果正面解決原問(wèn)題有困難，可把原問(wèn)題結(jié)果看作集合A,而把包含該問(wèn)題的整體問(wèn) 題的結(jié)果類(lèi)比為全集U,通過(guò)解決全集U及補(bǔ)集A獲得原問(wèn)題的解決. 以上所列的?些方法是互相交叉的，不能截然分割. 4. 利用轉(zhuǎn)化與化歸的思想解決問(wèn)題的模式

23、可圖示如下： 【典型例題】 類(lèi)型一、函數(shù)、方程與不等式之間的轉(zhuǎn)化與化歸 【例1高清轉(zhuǎn)化與化歸的思想例題1 ID:404094］設(shè)函數(shù) y(.r)= — X3—(1 + u)x2+4ar+ 24a,其中常數(shù) a> 3 1. (1) 討論7U)的單調(diào)性； (2) 若當(dāng)時(shí)，yu)>o恒成立， 【思路點(diǎn)撥】⑴求f(x)=0的根， 立轉(zhuǎn)化為f(x)的最小值大于0. 【解析】(l)f(x)=x2—2(l+a)x+4a 求“的取值范圍. 比較兩根的大小、確定區(qū)間，討論f(x)的單調(diào)性；(2)將f(x)>。恒成 =(x—2)(x —2a). 由已知a>l, ...2a>2, .?

24、?令 f(x)>0,解得 x>2a 或 xV2, ..?當(dāng) xE(-oo, 2)和 xE(2a, +oo)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增， 當(dāng)xE(2,2a)時(shí)，f(x)單調(diào)遞減. 綜上，當(dāng)a>l時(shí)，f(x)在區(qū)間(-00, 2)和(2a, +勿)上是增函數(shù)，在區(qū)間(2,2a)上是減函數(shù). (2)由⑴知，當(dāng)時(shí)，Re)在x=2a或1=0處取得最小值. f(2a)= ； (2。)3—(1 +。)(2。)2+4白 2。+24。 4 4 ——〃+4/+24。= — — a(a—6)(?+3), 3 3 人0)=24“. 由題設(shè)知 。> 1, /(2。) >0,即 , /(0) > 0,

25、 a > 1, 4 + 3)(。- 6) > 0, 24。> 0, 解得\

26、三： 【變式】函數(shù)f（x） = 71-2log6x的定義域?yàn)?▲. 【答案】（0, x/6] 【解析】根據(jù)二次根式和對(duì)數(shù)函數(shù)有意義的條件，得： x>0 I - 21og6x>0=> x>0 x >0 1 n x<6^=V6 0< x< x/6 o 【例2】已知數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足％ =33,%]—% =2〃,則務(wù)的最小值為 . n 21 【答案】— 2 【思路點(diǎn)撥】利用遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性求解。 [解析]an=（an-an-1）+（0卜i-?n-2）+? ? ?+（。2-。\）+ai=2[l +2+???（，?-1 ）]+33=33+

27、/?-〃 所以向=癸+ 〃_1 n n 設(shè)/（H）= —+ /2-1,令f（〃）= W + i>0,則六〃）在（妊,+8）上是單調(diào)遞增，在（0,733）± n n~ 是遞減的，因?yàn)閚CN.,所以當(dāng)n=5或6時(shí)/（〃）有最小值。 又因?yàn)閊 = —, ^ =—=—,所以，務(wù)的最小值為蟲(chóng)=殳 5 5 6 6 2 n 62. 【總結(jié)升華】數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，動(dòng)態(tài)的函數(shù)觀(guān)點(diǎn)是解決數(shù)列問(wèn)題的有效方法。數(shù)列的項(xiàng)可看作定義 在正整數(shù)集（或它的有限子集）上的函數(shù)。 如等差數(shù)列｛at!｝的通項(xiàng)公式％ = % 4-（/7一項(xiàng)=血+ 0-[,前n項(xiàng)的和公式 缶=凹+ = I +（% .°當(dāng)時(shí)，可

28、以看作自變量n的一次和二次函數(shù)。因此利 用函數(shù)的思想方法去研究數(shù)列問(wèn)題不僅能加深對(duì)數(shù)列的理解，也有助于學(xué)生解題思維能力的培養(yǎng)及增強(qiáng)應(yīng) 用函數(shù)思想解題的意識(shí)。 類(lèi)型二、常量與變量的轉(zhuǎn)化問(wèn)題 例3 （2016 江蘇模擬改編）若己知不等式2x- l>m （x2- 1）對(duì)滿(mǎn)足m|W2的一切實(shí)數(shù)m的取值都成立, 則x的取值范圍為 . 【思路點(diǎn)撥】構(gòu)造變量m的函數(shù)，對(duì)x2- 1>0, x2- KO, x2- 1=0,進(jìn)行分類(lèi)討論，利用|m|W2時(shí)函數(shù)的 取值，分別求出x的范圍，然后求并集即可. 【答案】（B,也） 2 2 【解析】構(gòu)造變量m的函數(shù)求解：2x - l>m （x2 - 1） BP

29、： （x2 - 1） m - （2x - 1） <0 構(gòu)造關(guān)于 m 的函數(shù) f (m) = (x2 - 1) m - (2x - 1), | m| W2 即-2WmW2. (1) 當(dāng) x2- 1>0 時(shí)，則 f (2) <0 從而 2x2-2x- l<0 解得： 2 2 又x2- l>0,即x< - 1或x>l,所以10 解得xV二1 頊或x>吏 I】又-IVxVl,從而吏〉lvx〈l 2 2 2 (3) 當(dāng) x2- 1=0 時(shí)，則 f (m)

30、=1 -2x<0 從而 x>l,故 x=l； 2 綜上有：BvxV域 2 2 故答案為(宣二1,寸也) 2 2 【總結(jié)升華】對(duì)于含參數(shù)的不等式問(wèn)題，有的時(shí)候轉(zhuǎn)變思路化“參變量”為“自變量”，往往會(huì)收到“柳 暗花明又一村”的效果. 舉一反三： 【變式1】己知a>0且aHl,若關(guān)于x的方程log,.(x-3)-logA(x+2)-log,.(x-l)=l有實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的 取值范圍. 工一3〉0 【解析】要使原方程有意義，需 0,解得x>3. x-l>0 原方程化為：log,(x — 3) = log”。(工—IX* + 2). /.x-3=a(x-l)

31、(x+2)在區(qū)間(3, +8)上有解， . x — 3 ? ? (1 — . (x-1)(A- +2) 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求右端在(3, +8)上的值域， 即將a看作x的函數(shù)a(x). -a-l)(x + 2) ~ x2+x-2 x-3 1 =”一3)2+7(工一3) + 10 =工 3 1 〔° 17 x-3 Vx>3, Ax-3>0, A X-3 + -15- >2J(x-3)=2V10 . x-3 V x-3 當(dāng)且僅當(dāng)x-3 = —,即工=3 + 應(yīng)時(shí)取等號(hào). x-3 < 1 _7-2而 一 2而+ 7 一 9 又 Vx>3 時(shí)，a>0, 故a的取值范圍

32、是(o,7_2面］ 【變式2】(2016河南模擬)若對(duì)任意的xe (-od,-1］,不等式(3m-l)2x< 1恒成立，則正實(shí)數(shù)m 的取值范圍是 . 【答案】(0,1) 【解析】令 2、=/,X￡(F, — 1) 0,- < 2/ 原不等式可轉(zhuǎn)化為(3/n-l)r < 1即<0 令/(r) = (3/n-l)r-l,r￡ 0,?) ① 當(dāng)3m-1=()即m =；時(shí)，./'(，) = -1 v 0滿(mǎn)足題意. ② 當(dāng) 3/w-l >0 即 時(shí)，/(r) =(3/n-l)/-l,/e 0,| ［單增 /1 \ 1 1 只需f 一 =(3,w-l)—一1<0即可，解得秫<1即：-

33、 v/im(0)= -l<0/.0

34、) X),即 4y2—4by—a2<0, 則由題意可知，不等式4y2-4by-a2^0的解集為[―1, 4]. 也就是一1, 4是關(guān)于y的方程4y~—4by—二0的兩根. 一 1 + 4 = /? , /. a= ± 4, b=3. -1x4 = - — 4 所以所求實(shí)數(shù)a=±4, b=3. 【總結(jié)升華】本題是利用函數(shù)、不等式與方程的關(guān)系一步一步地等價(jià)轉(zhuǎn)化使問(wèn)題得以解決，常見(jiàn)的轉(zhuǎn) 化類(lèi)型有高次向低次的轉(zhuǎn)化，多元向一元的轉(zhuǎn)化，分式向整式的轉(zhuǎn)化，無(wú)理向有理的轉(zhuǎn)化，空間向平面的 轉(zhuǎn)化等. 舉一反三： 【變式1】己知奇函數(shù)/(同在定義域(一1, 1)上是減函數(shù)，且/(1 +。) +

35、 /(1-疽)3 (當(dāng)a=0時(shí)不合題意). 【例5】(1)不等式土二0的解集為() 2x + \ A. -?1 B. C. D. -oo,—— u[l,+a＞）對(duì) 【思路點(diǎn)撥】將不等式進(jìn)行等價(jià)變形，轉(zhuǎn)化為整式不等式求解。 【答案】A； 【解析】原不等式等價(jià)于(x-l)(2x+l)< ()或x-l=0,即一

36、 Lvx

37、2 +1 o 2 2 2 【總結(jié)升華】本題是較為典型的恒成立問(wèn)題，解決恒成立問(wèn)題通?？梢岳梅蛛x變最轉(zhuǎn)化為最值的方 法求解。構(gòu)造函數(shù)解題是數(shù)學(xué)中的常用方法，通過(guò)巧妙地構(gòu)造輔助函數(shù)，把原來(lái)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究輔助函 數(shù)的性質(zhì)，從而達(dá)到解題目的。 舉一反三： 【變式】巳知函數(shù)f(x) = ax2-c,滿(mǎn)足-4

38、{x|x2-Amx+2m+6=0, xER},若AAR ^0,求實(shí)數(shù)m的取值范圍(曠表示 負(fù)實(shí)數(shù)集，R'表示正實(shí)數(shù)集). 【思路點(diǎn)撥】本題可以根據(jù)AAR-^0的反面一一AAR-=0時(shí)的取值范圍進(jìn)行求解. 3 【解析】設(shè)全集 U={m △=16n]2—8m—24全0} = {m|mW— 1 或m > —}. 2 m g U 3 方程x2-4mx+2m+6=0的兩根均非負(fù)的充要條件是4/? >0 ,可得m>~. 2 2m + 6 > 0 3 AAA RJ 0時(shí)，實(shí)數(shù)ni的取值范圍為{〃[ | m > -}； 2 AAR 時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍為{m|inW —1}. 【總

39、結(jié)升華】正面難以解決的問(wèn)題，可采用補(bǔ)集的思想，轉(zhuǎn)化為反面問(wèn)題來(lái)解決.一個(gè)題目若出現(xiàn)多 種成立的情況，則不成立的情況一般較少，易從反而考慮，比如題目中出現(xiàn)“至多”，“至少”等字眼時(shí). 舉一反三： 【變式】試求常數(shù)m的范圍，使曲線(xiàn)y=x?的所有弦都不能被直線(xiàn)y-m(x-3)垂直平分. 【解析】問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為：為使曲線(xiàn)y=x，有兩個(gè)對(duì)稱(chēng)于直線(xiàn)y=m(x-3)的點(diǎn)，求m的取值范圍. 易得m<-~,因此原問(wèn)題的解是m>-~. 2 2 【例7】等比數(shù)列｛%｝中，％,%,為分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且中的任何 兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行

40、3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 (I )求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式； (II)若數(shù)列也,｝滿(mǎn)足：々=%+(—l)lns 求數(shù)列但｝的前2〃項(xiàng)和 【解析】(I )當(dāng)％ =3時(shí)，不合題意；當(dāng)％ =2時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)％=6,% = 18時(shí)，符合題意；當(dāng)4=10 時(shí)，不合題意。 由題意知％ =2,q=6,%=18，因?yàn)椋?｝是等比數(shù)列，所以公比為3,所以數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式 為二2" (II)因 ^jbn = an 4- (―1) In = 2 ? 3n l + (―1) In 2 , 3W 1,所以 Sn =bx + Z?2 + ? ? ? + =

41、(/ + 角 + . ? ? + q,) - (In / + In % + ? .?hi an)= 2(1-3") 1-3 -Ina}a2an=3” 一 1 -ln(2” ? 1 x3' x3? x..?x3“)= 以(〃一 1) 3"-l-ln(2".3亍), 所以 S2n = 32n -1 - ln(22H - 3 2 )=9W -1 - 2n In 2 - (2n2 - n) In 3 o 【總結(jié)升華】一些數(shù)學(xué)問(wèn)題，如果從條件出發(fā)，正面考慮較難較繁，不妨調(diào)整思考方向，從問(wèn)題的結(jié) 論入手，或從問(wèn)題的條件與結(jié)論的反面入手進(jìn)行思考，迂回地得到解題思路，這叫做“正難則反"?！罢y則 反，，是一種重:要的解題策略，靈活用之，能使許多難題、趣題和生活中的問(wèn)題獲得巧解。 舉一反三： 【變式】己知二次函數(shù)f (x) =4x'-2(p-2)x-2p2-p+l,若區(qū)間［T, 1］內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c,使f (c)>0, 則實(shí)數(shù)P的取值范圍是(). 1 1 3 A、(-=,1) B、(-3,-待) C、(-3,二) 2 2 2 【解析】問(wèn)題轉(zhuǎn)化為先求在［T, 1］內(nèi)沒(méi)有一個(gè)實(shí)數(shù)C使f(c)>0, 即對(duì)任意xG［-l,l］, f(x)W0的P的取值范圍.