新版全國通用高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強化練 專題10 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用含解析
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2、 1 【走向高考】(全國通用)20xx高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強化練 專題10 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用 一、選擇題 1.(文)(20xx·新課標(biāo)Ⅱ文,5)設(shè)Sn是等差數(shù)列的前n項和,若a1+a3+a5=3,則S5=( ) A.5 B.7 C.9 D.11 [答案] A [解析] 考查等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式. a1+a3+a5=3a3=3?a3
3、=1,S5==5a3=5.故選A. (理)(20xx·新課標(biāo)Ⅰ文,7)已知{an}是公差為1的等差數(shù)列,Sn為{an}的前n項和.若S8=4S4,則a10=( ) A. B. C.10 D.12 [答案] B [解析] 本題主要考查等差數(shù)列的通項及求和公式. 由題可知:等差數(shù)列{an}的公差d=1,因為等差數(shù)列Sn=a1n+,且S8=4S4,代入計算可得a1=;等差數(shù)列的通項公式為an=a1+(n-1)d,則 a10=+(10-1)×1=. 故本題正確答案為B. [方法點撥] 數(shù)列求和的類型及方法技巧 (1)公式法:直接應(yīng)用等差、等比數(shù)列的求和公式求和.
4、 (2)錯位相減法 這種方法主要用于求數(shù)列{an·bn}的前n項和,其中{an}、{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列. (3)倒序相加法 這是在推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和公式時所用的方法,也就是將一個數(shù)列倒過來排列(反序),當(dāng)它與原數(shù)列相加時若有公因式可提,并且剩余項的和易于求得,則這樣的數(shù)列可用倒序相加法求和. (4)裂項相消法 利用通項變形,將通項分裂成兩項或幾項的差,通過相加過程中的相互抵消,最后只剩下有限項的和. (5)分組轉(zhuǎn)化求和法 有些數(shù)列,既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列,若將數(shù)列通項拆開或變形,可轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列或常見的數(shù)列,可先分別求和,然后再合并. 2.(文
5、)設(shè){an}是等比數(shù)列,函數(shù)y=x2-x-20xx的兩個零點是a2、a3,則a1a4=( ) A.20xx B.1 C.-1 D.-20xx [答案] D [解析] 由條件得,a1a4=a2a3=-20xx. (理)已知數(shù)列{an}滿足an+2-an+1=an+1-an,n∈N*,且a5=.若函數(shù)f(x)=sin2x+2cos2,記yn=f(an),則數(shù)列{yn}的前9項和為( ) A.0 B.-9 C.9 D.1 [答案] C [解析] 據(jù)已知得2an+1=an+an+2,即數(shù)列{an}為等差數(shù)列,又f(x)=sin2x+2×=sin2x+1+cosx,
6、因為a1+a9=a2+a8=…=2a5=π,故cosa1+cosa9=cosa2+cosa8=…=cosa5=0,又2a1+2a9=2a2+2a8=…=4a5=2π,故sin2a1+sin2a9=sin2a2+sin2a8=…=sin2a5=0,故數(shù)列{yn}的前9項之和為9,故選C. 3.(20xx·遼寧協(xié)作聯(lián)校三模)已知數(shù)列{an}的通項公式an=20xxsin,則a1+a2+…+a20xx=( ) A.20xx B.20xx C.20xx D.20xx [答案] C [解析] 數(shù)列{an}的周期為4,且a1+a2+a3+a4=20xx(sin+sinπ+sin+sin2π)=
7、0, 又∵20xx=4×503+2, ∴a1+a2+…+a20xx=a1+a2=20xxsin+20xxsinπ =20xx. 4.(文)已知函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=+f(x)(x∈R),且f(1)=,則數(shù)列{f(n)}(n∈N*)前20項的和為( ) A.305 B.315 C.325 D.335 [答案] D [解析] ∵f(1)=,f(2)=+, f(3)=++,…, f(n)=+f(n-1), ∴{f(n)}是以為首項,為公差的等差數(shù)列. ∴S20=20×+×=335. (理)設(shè)y=f(x)是一次函數(shù),若f(0)=1,且f(1),f(4),f(13)成
8、等比數(shù)列,則f(2)+f(4)+…+f(2n)等于( ) A.n(2n+3) B.n(n+4) C.2n(2n+3) D.2n(n+4) [答案] A [解析] 設(shè)f(x)=kx+1(k≠0),則(4k+1)2=(k+1)×(13k+1)?k=2, f(2)+f(4)+…+f(2n)=(2×2+1)+(2×4+1)+(2×6×1)+…+(2×2n+1)=2n2+3n. [方法點撥] 解決數(shù)列與函數(shù)知識結(jié)合的題目時,要明確數(shù)列是特殊的函數(shù),它的圖象是群孤立的點,注意函數(shù)的定義域等限制條件,準(zhǔn)確的進行條件的轉(zhuǎn)化,數(shù)列與三角函數(shù)交匯時,數(shù)列通常作為條件出現(xiàn),去除數(shù)列外衣后,本質(zhì)是三角問
9、題. 5.(文)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,且每一項都是正數(shù),若a1、a49是2x2-7x+6=0的兩個根,則a1·a2·a25·a48·a49的值為( ) A. B.9 C.±9 D.35 [答案] B [解析] ∵{an}是等比數(shù)列,且a1,a49是方程2x2-7x+6=0的兩根, ∴a1·a49=a=3.而an>0,∴a25=. ∴a1·a2·a25·a48·a49=a=()5=9,故選B. (理)(20xx·江西質(zhì)檢)如果數(shù)列{an}中,相鄰兩項an和an+1是二次方程x+2nxn+cn=0(n=1,2,3,…)的兩個根,當(dāng)a1=2時,c100的值為( ) A.-
10、9984 B.9984 C.9996 D.-9996 [答案] C [解析] 由根與系數(shù)關(guān)系,an+an+1=-2n,則(an+1+an+2)-(an+an+1)=-2. 即an+2-an=-2,∴a1,a3,a5,…和a2,a4,a6,…都是公差為-2的等差數(shù)列,∵a1=2,a1+a2=-2,∴a2=-4,即a2k=-2k-2,∴a100=-102,a2k-1=-2k+4,∴a101=-98. ∴c100=a100·a101=9996. 6.等差數(shù)列{an}中,a1>0,公差d<0,Sn為其前n項和,對任意自然數(shù)n,若點(n,Sn)在以下4條曲線中的某一條上,則這條曲線應(yīng)是(
11、) [答案] C [解析] ∵Sn=na1+d,∴Sn=n2+(a1-)n,又a1>0,公差d<0,所以點(n,Sn)所在拋物線開口向下,對稱軸在y軸右側(cè). [點評] 可取特殊數(shù)列驗證排除,如an=3-n. 7.(20xx·南昌市一模)已知無窮數(shù)列{an},如果存在常數(shù)A,對于任意給定的正數(shù)ε(無論多小),總存在正整數(shù)N,使得n>N時,恒有|an-A|<ε成立,就稱數(shù)列{an}的極限為A,則四個無窮數(shù)列: ①{(-1)n×2};②{n}; ③;④{},其極限為2的共有( ) A.4個 B.3個 C.2個 D.1個 [答案] C [解析] 對于①,|an-2|=|(-1
12、)n×2-2|=2×|(-1)n-1|,當(dāng)n是偶數(shù)時,|an-2|=0,當(dāng)n是奇數(shù)時,|an-2|=4,所以不符合數(shù)列{an}的極限的定義,即2不是數(shù)列{(-1)n×2}的極限;對于②,由|an-2|=|n-2|<ε,得2-ε
13、的正數(shù)ε(無論多小),總存在正整數(shù)N,使得n>N時,恒有|an-2|<ε成立,所以2是數(shù)列的極限.綜上所述,極限為2的共有2個,即③④. 二、填空題 8.(文)若數(shù)列{an}滿足-=d(n∈N*,d為常數(shù)),則稱數(shù)列{an}為“調(diào)和數(shù)列”.已知正項數(shù)列{}為“調(diào)和數(shù)列”,且b1+b2+…+b9=90,則b4·b6的最大值是________. [答案] 100 [解析] 由調(diào)和數(shù)列的定義知{bn}為等差數(shù)列,由b1+b2+…+b9=9b5=90知b5=10, ∵bn>0,∴b4b6≤()2=b=100. (理)(20xx·河南十所名校聯(lián)考)對于各項均為整數(shù)的數(shù)列{an},如果ai+i
14、(i=1,2,3,…)為完全平方數(shù),則稱數(shù)列{an}具有“P性質(zhì)”,不論數(shù)列{an}是否具有“P性質(zhì)”,如果存在與{an}不是同一數(shù)列的{bn},且{bn}同時滿足下面兩個條件:①b1,b2,b3,…,bn是a1,a2,a3,…,an的一個排列;②數(shù)列{bn}具有“P性質(zhì)”,則稱數(shù)列{an}具有“變換P性質(zhì)”,下面三個數(shù)列:①數(shù)列{an}的前n項和為Sn=(n2-1);②數(shù)列1,2,3,4,5;③數(shù)列1,2,3,…,11.其中具有“P性質(zhì)”或“變換P性質(zhì)”的有________(填序號). [答案] ①② [解析] Sn=(n2-1),Sn-1=[(n-1)2-1](n≥2),∴an=Sn-
15、Sn-1=(n-1)(n+1)-(n2-2n)=(n-1)(n+1-n+2)=n(n-1)(n≥2),又a1=S1=0,∴a1+1=1=12,a2+2=4=22,a3+3=9=32,…,an+n=n2,∴數(shù)列{an}具有“P性質(zhì)”;數(shù)列1,2,3,4,5排為3,2,1,5,4,則a1+1=4=22,a2+2=4=22,a3+3=4=22,a4+4=9=32,a5+5=9=32,∴數(shù)列1,2,3,4,5具有“變換P性質(zhì)”,同理可驗證數(shù)列1,2,3,…,11不具有“P性質(zhì)”和“變換P性質(zhì)”. [方法點撥] 脫去新定義的外衣,將問題化為基本數(shù)學(xué)模型,用相應(yīng)的知識方法解答是解決此類問題的基本方法.
16、 9.(20xx·安徽文,13)已知數(shù)列{an}中,a1=1,an=an-1+(n≥2),則數(shù)列{an}的前9項和等于________. [答案] 27 [解析] 考查1.等差數(shù)列的定義;2.等差數(shù)列的前n項和. ∵n≥2時,an=an-1+,且a1=1, ∴{an}是以1為首項,為公差的等差數(shù)列. ∴S9=9×1+×=9+18=27. 10.已知向量a=(2,-n),b=(Sn,n+1),n∈N*,其中Sn是數(shù)列{an}的前n項和,若a⊥b,則數(shù)列{}的最大項的值為________. [答案] [解析] ∵a⊥b,∴a·b=2Sn-n(n+1)=0, ∴Sn=,∴an=n
17、, ∴==,當(dāng)n=2時,n+取最小值4,此時取到最大值. 三、解答題 11.(文)(20xx·云南省檢測)已知等比數(shù)列{an}的前n項和是Sn,S18S9=78. (1)求證:S3,S9,S6依次成等差數(shù)列; (2)a7與a10的等差中項是否是數(shù)列{an}中的項?如果是,是{an}中的第幾項?如果不是,請說明理由. [解析] (1)證明:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,若q=1,則S18=18a1,S9=9a1, S18S9=21≠78. ∴q≠1. ∴S18=(1-q18),S9=(1-q9),S18S9=1+q9. ∴1+q9=,解得q=-2-. ∴S3==
18、×,S6= =×. S9=(1-q9)=×. ∵S9-S3=-×,S6-S9=-×, ∴S9-S3=S3-S9. ∴S3,S9,S6依次成等差數(shù)列. (2)a7與a10的等差中項等于==. 設(shè)a7與a10的等差中項是數(shù)列{an}中的第n項,則 a1(-2-)n-1=, 化簡得(-2)-=(-2)-4,則-=-4,解得n=13. ∴a7與a10的等差中項是數(shù)列{an}中的第13項. (理)(20xx·唐山一模)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,滿足(1-q)Sn+qan=1,且q(q-1)≠0. (1)求{an}的通項公式; (2)若S3,S9,S6成等差數(shù)列,求證:a2
19、,a8,a5成等差數(shù)列. [解析] (1)當(dāng)n=1時,由(1-q)S1+qa1=1,∴a1=1, 當(dāng)n≥2時,由(1-q)Sn+qan=1,得(1-q)Sn-1+qan-1=1,兩式相減得 (1-q)an+q(an-an-1)=0, ∴an=qan-1,∵a1=1,q(q-1)≠0,∴an=qn-1, 綜上an=qn-1. (2)由(1)可知=q,所以{an}是以1為首項,q為公比的等比數(shù)列. 所以Sn=,又S3+S6=2S9,得+=, 化簡得a3+a6=2a9,兩邊同除以q得a2+a5=2a8. 故a2,a8,a5成等差數(shù)列. [方法點撥] 1.在處理數(shù)列求和問題時,一定
20、要先讀懂題意,分清題型,區(qū)分等差數(shù)列與等比數(shù)列,不是基本數(shù)列模型的注意運用轉(zhuǎn)化思想化歸為等差、等比數(shù)列,在利用分組求和時,要特別注意項數(shù). 2.在處理等差與等比數(shù)列的綜合問題時,先要看所給數(shù)列是等差數(shù)列還是等比數(shù)列,再依據(jù)條件建立方程求解. 12.(文)已知函數(shù)f(x)在(-1,1)上有定義,f=-1,且滿足對任意x、y∈(-1,1),有f(x)+f(y)=f,數(shù)列{xn}中,x1=,xn+1=. (1)證明:f(x)在(-1,1)上為奇函數(shù); (2)求數(shù)列{f(xn)}的通項公式; (3)求證:++…+>-. [分析] (1)要證f(x)為奇函數(shù),只需證明f(-x)+f(x)=0
21、,只需在條件式中令y=-x,為了求f(0),令x=y(tǒng)=0即可獲解. (2)利用f(x)+f(y)=f()可找出f(xn+1)與f(xn)的遞推關(guān)系,從而求得通項. (3)由f(xn)的通項公式確定數(shù)列{}的求和方法,求和后利用放縮法可證明. [解析] (1)證明:令x=y(tǒng)=0,∴2f(0)=f(0), ∴f(0)=0. 令y=-x,則f(x)+f(-x)=f(0)=0, ∴f(-x)=-f(x), ∴f(x)在(-1,1)上為奇函數(shù). (2)f(x1)=f=-1, f(xn+1)=f=f=2f(xn), ∴=2,即{f(xn)}是以-1為首項,2為公比的等比數(shù)列,∴f(xn
22、)=-2n-1. (3)++…+ =- =-=-=-2+>-2, 而-=-=-2-<-2. ∴++…+>-. (理)在直角坐標(biāo)平面上有一點列P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,Pn(xn,yn),…,對于每個正整數(shù)n,點Pn均位于一次函數(shù)y=x+的圖象上,且Pn的橫坐標(biāo)構(gòu)成以-為首項,-1為公差的等差數(shù)列{xn}. (1)求點Pn的坐標(biāo); (2)設(shè)二次函數(shù)fn(x)的圖象Cn以Pn為頂點,且過點Dn(0,n2+1),若過Dn且斜率為kn的直線ln與Cn只有一個公共點,求Tn=++…+的表達式; (3)設(shè)S={x|x=2xn,n為正整數(shù)},T={y|y=12yn,n為正
23、整數(shù)},等差數(shù)列{an}中的任一項an∈(S∩T),且a1是S∩T中最大的數(shù),-225 24、y|y=-12n+9,n為正整數(shù)},
所以S∩T中的元素組成以-3為首項,-12為公差的等差數(shù)列,
所以a1=-3,則數(shù)列{an}的公差為-12k(k∈N*),
若k=1,則an=-12n+9,a10=-111?(-225,-115);
若k=2,則an=-24n+21,a10=-219∈(-225,-115);
若k≥3,則a10≤-327,即a10?(-225,-115).
綜上所述,數(shù)列{an}的通項公式為an=-24n+21(n為正整數(shù)).
[方法點撥] 1.數(shù)列與函數(shù)的綜合性試題通常用到函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合等思想.注意數(shù)列是特殊的函數(shù)、等差、等比數(shù)列更是如 25、此,因此求解數(shù)列與函數(shù)的綜合性題目時,注意數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系,將所給條件向an與n的關(guān)系轉(zhuǎn)化.
2.?dāng)?shù)列還常與不等式交匯命題,不等式常作為條件或證明、求解的一問呈現(xiàn),解答時先將數(shù)列的基本問題解決,再集中解決不等式問題,注意放縮法、基本不等式、裂項、累加法的運用.
13.(文)(20xx·山東文,19)已知數(shù)列{an}是首項為正數(shù)的等差數(shù)列,數(shù)列的前n項和為.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=(an+1)·2an,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
[解析] 考查1.等差數(shù)列的通項公式;2.“錯位相減法”求和及運算求解能力.
(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,
令n=1 26、,得=,得到a1a2=3.
令n=2,得+=,所以a2a3=15.
解得a1=1,d=2,所以an=2n-1.
(2)由(1)知bn=2n·22n-1=n·4n,所以Tn=1·41+2·42+…+n·4n,
所以4Tn=1·42+2·43+…+(n-1)·4n+n·4n+1,
兩式相減,得-3Tn=41+42+…+4n-n·4n+1
=-n·4n+1=×4n+1-,
所以Tn=×4n+1+=.
(理)(20xx·河南八市質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,對于任意的正整數(shù)n,直線x+y=2n總是把圓(x-n)2+(y-)2=2n2平均分為兩部分,各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{bn 27、}中,b6=b3b4,且b3和b5的等差中項是2a3.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;
(2)若cn=anbn,求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.
[解析] (1)由于x+y=2n總是把圓(x-n)2+(y-)2=2n2平均分為兩部分,所以直線過圓心,
所以n+=2n,即Sn=n2,
所以a1=S1=1.
當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,經(jīng)檢驗n=1時也成立,所以an=2n-1.
等比數(shù)列{bn}中,由于b6=b3b4,所以b1q5=bq5,
因為b1>0,q>0,所以b1=1,
因為b3和b5的等差中項是2a3,且2a3=10,所以b 28、3+b5=20,
所以q2+q4=20,解得q=2,所以bn=2n-1.
(2)由于cn=anbn,所以Tn=a1b1+a2b2+…+anbn.
Tn=1+3×2+5×22+…+(2n-1)2n-1?、?
2Tn=2+3×22+5×23+…+(2n-1)2n ②
所以-Tn=1+2(2+22+…+2n-1)-(2n-1)2n
=1+2×-(2n-1)2n
=-3+2×2n-(2n-1)2n=-3+(3-2n)2n,
Tn=3+(2n-3)2n.
14.(文)政府決定用“對社會的有效貢獻率”對企業(yè)進行評價,用an表示某企業(yè)第n年投入的治理污染的環(huán)保費用,用bn表示該企業(yè)第n年的產(chǎn) 29、值.設(shè)a1=a(萬元),且以后治理污染的環(huán)保費用每年都比上一年增加2a萬元;又設(shè)b1=b(萬元),且企業(yè)的產(chǎn)值每年比上一年的平均增長率為10%.用Pn=表示企業(yè)第n年“對社會的有效貢獻率”.
(1)求該企業(yè)第一年和第二年的“對社會的有效貢獻率”;
(2)試問從第幾年起該企業(yè)“對社會的有效貢獻率”不低于20%?
[解析] (1)∵a1=a,b1=b,Pn=,
∴P1==1%,
P2===3.3%.
故該企業(yè)第一年和第二年的“對社會的有效貢獻率”分別為1%和3.3%.
(2)由題意,得數(shù)列{an}是以a為首項,以2a為公差的等差數(shù)列,數(shù)列bn是以b為首項,以1.1為公比的等比數(shù)列,
30、
∴an=a1+(n-1)d=a+(n-1)·2a=(2n-1)a,
bn=b1(1+10%)n-1=1.1n-1b.
又∵Pn=,
∴Pn=
=.
∵=×1.1=×1.1>1,
∴Pn+1>Pn,即Pn=單調(diào)遞增.
又∵P6=≈17.72%<20%,
P7=≈23.03%>20%.
故從第七年起該企業(yè)“對社會的有效貢獻率”不低于20%.
(理)甲、乙兩大超市同時開業(yè),第一年的全年銷售額都為a萬元,由于經(jīng)營方式不同,甲超市前n年的總銷售額為(n2-n+2)萬元,乙超市第n年的銷售額比前一年的銷售額多()n-1a萬元.
(1)求甲、乙兩超市第n年銷售額的表達式;
(2)若 31、其中某一超市的年銷售額不足另一超市的年銷售額的50%,則該超市將被另一超市收購,判斷哪一超市有可能被收購?如果有這種情況,將會出現(xiàn)在第幾年.
[解析] (1)設(shè)甲、乙兩超市第n年銷售額分別為an、bn,
又設(shè)甲超市前n年總銷售額為Sn,則Sn=(n2-n+2)(n≥2),因n=1時,a1=a,
則n≥2時,an=Sn-Sn-1=(n2-n+2)-[(n-1)2-(n-1)+2]=a(n-1),
故an=
又因b1=a,n≥2時,bn-bn-1=()n-1a,
故bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)
=a+a+()2a+…+()n-1a
=[1++( 32、)2+…+()n-1]a
=a=[3-2·()n-1]a,
顯然n=1也適合,故bn=[3-2·()n-1]a(n∈N*)
(2)當(dāng)n=2時,a2=a,b2=a,有a2>b2;
n=3時,a3=2a,b3=a,有a3>b3;
當(dāng)n≥4時,an≥3a,而bn<3a,故乙超市有可能被收購.
當(dāng)n≥4時,令an>bn,
則(n-1)a>[3-2·()n-1]a?n-1>6-4·()n-1,
即n>7-4·()n-1.
又當(dāng)n≥7時,0<4·()n-1<1,
故當(dāng)n∈N*且n≥7時,必有n>7-4·()n-1.
即第7年乙超市的年銷售額不足甲超市的一半,乙超市將被甲超市收購.
33、[方法點撥] 1.用數(shù)列知識解相關(guān)的實際問題,關(guān)鍵是合理建立數(shù)學(xué)模型——數(shù)列模型,弄清所構(gòu)造的數(shù)列的首項是什么,項數(shù)是多少,然后轉(zhuǎn)化為解數(shù)列問題.求解時,要明確目標(biāo),即搞清是求和,還是求通項,還是解遞推關(guān)系問題,所求結(jié)論對應(yīng)的是一個解方程問題,還是解不等式問題,還是一個最值問題,然后進行合理推算,得出實際問題的結(jié)果.
2.?dāng)?shù)列的實際應(yīng)用問題一般文字?jǐn)⑹鲚^長,反映的事物背景陌生,知識涉及面廣,因此要解好應(yīng)用題,首先應(yīng)當(dāng)提高閱讀理解能力,將普通語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言或數(shù)學(xué)符號,實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,然后再用數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)推理予以解決.
3.正確區(qū)分等差與等比數(shù)列模型,正確區(qū)分實際問題中的量是通項 34、還是前n項和.
15.(文)定義:若數(shù)列{An}滿足An+1=A,則稱數(shù)列{An}為“平方遞推數(shù)列”.已知數(shù)列{an}中,a1=2,點(an,an+1)在函數(shù)f(x)=2x2+2x的圖象上,其中n為正整數(shù).
(1)證明:數(shù)列{2an+1}是“平方遞推數(shù)列”,且數(shù)列{lg(2an+1)}為等比數(shù)列;
(2)設(shè)(1)中“平方遞推數(shù)列”的前n項之積為Tn,即Tn=(2a1+1)(2a2+1)…(2an+1),求Tn關(guān)于n的表達式;
(3)記bn=log2an+1Tn,求數(shù)列{bn}的前n項之和Sn,并求使Sn>20xx成立的n的最小值.
[解析] (1)證明:由題意得an+1=2a+2an 35、,
∴2an+1+1=4a+4an+1=(2an+1)2.
所以數(shù)列{2an+1}是“平方遞推數(shù)列”.
令cn=2an+1,所以lgcn+1=2lgcn.
因為lg(2a1+1)=lg5≠0,
所以=2.
所以數(shù)列{lg(2an+1)}為等比數(shù)列.
(2)由(1)知lg(2an+1)=(lg5)×2n-1,
∴2an+1=10(lg5)×2n-1=52n-1,
∴Tn=520×521×522×…×52n-1=520+21+…+2n-1=52n-1.
(3)∵bn=log2an+1Tn==2-()n-1,
∴Sn=b1+b2+…+bn=2n-
=2n-2+,
由2n-2 36、=20xx得n=1007,
∴S1006=2×1006-2+∈(20xx,20xx),S1007=2×1007-2+∈(20xx,20xx).
故使Sn>20xx成立的n的最小值為1007.
(理)已知曲線C:xy=1,過C上一點An(xn,yn)作一斜率為kn=-的直線交曲線C于另一點An+1(xn+1,yn+1),點列{An}的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{xn},其中x1=.
(1)求xn與xn+1的關(guān)系式;
(2)令bn=+,求證:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;
(3)若cn=3n-λbn(λ為非零整數(shù),n∈N*),試確定λ的值,使得對任意n∈N*,都有cn+1>cn成立.
[分析] (1) 37、由直線方程點斜式建立xn與yn關(guān)系,而(xn,yn)在曲線xy=1上,有xnyn=1,消去yn得xn與xn+1的關(guān)系;(2)由定義證為常數(shù);(3)轉(zhuǎn)化為恒成立的問題解決.
[解析] (1)過點An(xn,yn)的直線方程為y-yn=-(x-xn),
聯(lián)立方程,消去y得
x2-x+1=0.
解得x=xn或x=.
由題設(shè)條件知xn+1=.
(2)證明:=
====-2.
∵b1=+=-2≠0,∴數(shù)列{bn}是等比數(shù)列.
(3)由(2)知,bn=(-2)n,要使cn+1>cn恒成立,由cn+1-cn=[3n+1-λ(-2)n+1]-[3n-λ(-2)n]=2·3n+3λ(-2)n>0恒成立,
即(-1)nλ>-n-1恒成立.
①當(dāng)n為奇數(shù)時,即λ
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