2020高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第五章 數(shù)列 課下層級(jí)訓(xùn)練29 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和（含解析）文 新人教A版.doc

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課下層級(jí)訓(xùn)練(二十九)　等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和 [A級(jí)　基礎(chǔ)強(qiáng)化訓(xùn)練] 1．(2019四川成都月考)在等比數(shù)列{an}中，a1＝2，公比q＝2，若am＝a1a2a3a4(m∈N*)，則m＝(　　) A．11　　　 B．10　　　 C．9　　　　 D．8 A　[am＝a1a2a3a4＝aqq2q3＝2426＝210＝2m－1，∴m＝11.] 2．在等比數(shù)列{an}中，已知a3＝6，a3＋a5＋a7＝78，則a5＝(　　) A．12 B．18 C．24 D．36 B　[a3＋a5＋a7＝a3(1＋q2＋q4)＝6(1＋q2＋q4)＝78?1＋q2＋q4＝13?q2＝3，所以a5＝a3q2＝63＝18.] 3．(2019湖北武漢模擬)設(shè)公比為q(q＞0)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，則a1＝(　　) A．－2 B．－1 C． D． B　[∵S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，∴a1(q3＋q2)＝3a1(q3－q)，q＞0，解得q＝，代入a1(1＋q)＝3a1q＋2，解得a1＝－1.] 4．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，則＝(　　) A．4n－1 B．4n－1 C．2n－1 D．2n－1 D　[設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則q＝＝＝，所以＝＝＝2n－1.] 5．(2019安徽淮北模擬)5個(gè)數(shù)依次組成等比數(shù)列，且公比為－2，則其中奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的比值為(　　) A．－ B．－2 C．－ D．－ C　[由題意可知設(shè)這5個(gè)數(shù)分別為a，－2a,4a，－8a，16a，a≠0，故奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的比值為＝－.] 6．在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn為{an}的前n項(xiàng)和．若Sn＝126，則n＝__________. 6　[因?yàn)閍1＝2，an＋1＝2an，所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．又因?yàn)镾n＝126，所以＝126，所以n＝6.] 7．設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若＝3，則＝__________. 　[設(shè)S2＝k，S4＝3k，由數(shù)列{an}為等比數(shù)列，得S2，S4－S2，S6－S4為等比數(shù)列，∵S2＝k，S4－S2＝2k，∴S6－S4＝4k，∴S6＝7k，∴＝＝.] 8．中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還．”其意思為：有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請(qǐng)問第二天走了__________里． 96　[設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q＝， 由題意得＝378，解得a1＝192，則a2＝192＝96，即第二天走了96里．] 9．已知{an}是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)求{bn}的前n項(xiàng)和． 解　(1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝， 得a1＝2.所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為an＝3n－1. (2)由(1)知anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得bn＋1＝， 因此{(lán)bn}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列． 記{bn}的前n項(xiàng)和為Sn， 則Sn＝＝－. 10．(2017全國卷Ⅱ)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2. (1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通項(xiàng)公式； (2)若T3＝21，求S3. 解　設(shè){an}的公差為d，{bn}的公比為q， 則an＝－1＋(n－1)d，bn＝qn－1. 由a2＋b2＝2得d＋q＝3.① (1)由a3＋b3＝5得2d＋q2＝6.② 聯(lián)立①和②解得(舍去)， 因此{(lán)bn}的通項(xiàng)公式為bn＝2n－1. (2)由b1＝1，T3＝21得q2＋q－20＝0. 解得q＝－5或q＝4. 當(dāng)q＝－5時(shí)，由①得d＝8，則S3＝21. 當(dāng)q＝4時(shí)，由①得d＝－1，則S3＝－6. [B級(jí)　能力提升訓(xùn)練] 11．(2019安徽安慶模擬)數(shù)列{an}滿足：an＋1＝λan－1(n∈N*，λ∈R且λ≠0)，若數(shù)列{an－1}是等比數(shù)列，則λ的值等于(　　) A．1 B．－1 C． D．2 D　[由an＋1＝λan－1，得an＋1－1＝λan－2＝λ.由于數(shù)列{an－1}是等比數(shù)列，所以＝1，得λ＝2.] 12．(2019福建漳州八校聯(lián)考)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝2，S6＝18，則等于(　　) A．－3 B．5 C．－31 D．33 D　[設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則由已知得q≠1. ∵S3＝2，S6＝18，∴＝，得q3＝8， ∴q＝2，∴＝＝1＋q5＝33.] 13．(2019四川南充模擬)將等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)排成如圖所示的三角形數(shù)陣，a1＝，q＝2，則數(shù)陣的第5行所有項(xiàng)之和為__________. a1 a2　a3 a4　a5　a6 a7　a8　a9　a10 992　[由題意可得第5行的所有項(xiàng)為a11，a12，a13，a14，a15.∵a1＝，q＝2，∴a11＝210＝32，∴a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝＝992.] 14．(2019江蘇無錫月考)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an＋Sn＝1(n∈N*)，則通項(xiàng)an＝__________. 　[∵an＋Sn＝1，①　∴an－1＋Sn－1＝1(n≥2)，② 由①－②，得an－an－1＋an＝0，即＝(n≥2)，又a1＝， ∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則an＝n－1＝.] 15．在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an(n∈N*)． (1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝，若數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和是Tn，求證：Tn<2. 證明　(1)由題設(shè)得＝，又＝2， 所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列， 所以＝2n－1＝22－n， an＝n22－n＝. (2)bn＝＝＝， 因?yàn)閷?duì)任意n∈N*,2n－1≥2n－1， 所以bn≤. 所以Tn≤1＋＋＋＋…＋＝2<2.