新版全國通用高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題12 空間中的平行與垂直含解析
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1、 1
2、 1 【走向高考】(全國通用)20xx高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題12 空間中的平行與垂直 一、選擇題 1.(20xx·銀川市質(zhì)檢)若α,β是兩個(gè)不同的平面,m為平面α內(nèi)的一條直線,則“α⊥β”是“m⊥β”的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 [答案] B [解析] 若α⊥β,m?α,則m與β平
3、行、相交或m?β都有可能,所以充分性不成立;若m⊥β,m?α,則α⊥β,必要性成立,故選B. [方法點(diǎn)撥] 應(yīng)用線面、面面平行與垂直的判定定理、性質(zhì)定理時(shí),必須按照定理的要求找足條件. 2.(20xx·東北三校二模)已知a,b,m,n是四條不同的直線,其中a、b是異面直線,則下列命題正確的個(gè)數(shù)為( ) ①若m⊥a,m⊥b,n⊥a,n⊥b,則m∥n; ②若m∥a,n∥b,則m,n是異面直線; ③若m與a,b都相交,n與a,b都相交,則m,n是異面直線. A.0 B.1 C.2 D.3 [答案] B [解析] 對(duì)于①,過直線a上一點(diǎn)O作直線a1∥b,則直線a,a1確定平面α,因
4、為m⊥a,m⊥a1,所以m⊥α,同理n⊥α,因此m∥n,①正確;對(duì)于②,m,n也可能相交,②錯(cuò)誤;對(duì)于③,在直線a上取點(diǎn)A,過A作直線m、n與b相交,滿足③的條件,因此m,n可能相交,③錯(cuò)誤.綜上所述,其中正確的命題的個(gè)數(shù)是1,故選B. 3.(文)設(shè)m、n是兩條不同的直線,α、β是兩個(gè)不同的平面,若已知m⊥n,m⊥α,則“n⊥β”是“α⊥β”的( ) A.充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 [答案] A ?α⊥β. ?/ n⊥β. (理)已知m、n為兩條不同的直線,α、β為兩個(gè)不同的平面,則下列命題中正確的是( ) A.m∥n,m
5、⊥α?n⊥α B.α∥β,m?α,n?β?m∥n C.m⊥α,m⊥n?n∥α D.m?α,n?α,m∥β,n∥β?α∥β [答案] A [解析] 由線面垂直的性質(zhì)定理知A正確;如圖1知,當(dāng)m1?β,m1∩n=A時(shí)滿足B的條件,但m與n不平行;當(dāng)m⊥α,m⊥n時(shí),可能有n?α;如圖2知,m∥n∥l,α∩β=l時(shí)滿足D的條件,由此知D錯(cuò)誤. 4.(20xx·遼寧理,4)已知m、n表示兩條不同直線,α表示平面,下列說法正確的是( ) A.若m∥α,n∥α,則m∥n B.若m⊥α,n?α,則m⊥n C.若m⊥α,m⊥n,則n∥α D.若m∥α,m⊥n,則n⊥α [答案] B
6、 [分析] 本題考查空間中平行關(guān)系與垂直關(guān)系.依據(jù)線面位置關(guān)系的定義及判定性質(zhì)定理求解. [解析] 對(duì)于A,m∥α,n∥α,則m、n的關(guān)系是平行,相交,異面,故A不正確; 對(duì)于B,由直線與平面垂直的定義知正確; 對(duì)于C,n可能在平面α內(nèi); 對(duì)于D,n?α,n與α斜交,n⊥α,n∥α都有可能. [點(diǎn)評(píng)] 這類題目常借助于多面體(如正方體)進(jìn)行判斷,實(shí)際解答時(shí)只要能確定選項(xiàng)即可,不必逐一判斷. [方法點(diǎn)撥] 解決空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的組合判斷題,主要是根據(jù)平面的基本性質(zhì)、空間位置關(guān)系的各種情況,以及空間線面垂直、平行關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行判斷,必要時(shí)可以利用正方體、長方體、棱
7、錐等幾何模型輔助判斷,同時(shí)要注意平面幾何中的結(jié)論不能完全移植到立體幾何中. 5.(文)(20xx·太原市一模)已知某空間幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是( ) A. B. C. D. [答案] C [解析] 由三視圖知,該幾何體是如圖所示的四棱錐P-ABCD,其中底面ABCD是正方形,側(cè)面PAB是等邊三角形,且側(cè)面PAB⊥底面ABCD,故其體積V=×22×=. (理)(20xx·安徽文,9)一個(gè)四面體的三視圖如圖所示,則該四面體的表面積是( ) A.1+ B.1+2 C.2+ D.2 [答案] C [解析] 考查1.幾何體的三視圖;2.錐體的
8、體積公式. 由該幾何體的三視圖可知,該幾何體的直觀圖如下圖所示: 其中側(cè)面PAC⊥底面ABC,且△PAC≌△BAC,由三視圖中所給數(shù)據(jù)可知:PA=PC=AB=BC=,取AC中點(diǎn)O,連接PO,BO,則Rt△POB中,PO=BO=1?PB=,∴S=(··)·2+(·2·1)·2=2+,故選C. 6.(文)(20xx·廣東理,8)若空間中n個(gè)不同的點(diǎn)兩兩距離都相等,則正整數(shù)n的取值( ) A.至多等于3 B.至多等于4 C.等于5 D.大于5 [答案] B [解析] n=4時(shí)為正四面體,正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)是兩兩距離相等的;n=5時(shí)為四棱錐,側(cè)面為正三角形,底面為菱形,且對(duì)角線長與
9、邊長應(yīng)相等,這不可能.因此空間中n個(gè)不同的點(diǎn)兩兩距離都相等,則正整數(shù)n的取值至多等于4,故選B. (理)(20xx·海淀區(qū)期末)若空間中有n(n≥5)個(gè)點(diǎn),滿足任意四點(diǎn)都不共面,且任意兩點(diǎn)的連線都與其余任意三點(diǎn)確定的平面垂直,則這樣的n值( ) A.不存在 B.有無數(shù)個(gè) C.等于5 D.最大值為8 [答案] C [解析] 當(dāng)五點(diǎn)為正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)和對(duì)稱中心時(shí),符合任意四點(diǎn)都不共面和任意兩點(diǎn)的連線都與其余三點(diǎn)的連線所確定的平面垂直的條件,假設(shè)當(dāng)n≥6時(shí)也滿足題意,不妨設(shè)其中的6個(gè)點(diǎn)為A,B,C,D,E,F(xiàn),則AB⊥平面CDE,AB⊥平面CDF,又因?yàn)槠矫鍯DF∩平面CDE=CD,所
10、以平面CDF與平面CDE重合,C,D,E,F(xiàn)四點(diǎn)共面,與題意相矛盾,所以n=5,故選C. 7.(文)設(shè)m、n是不同的直線,α、β、γ是不同的平面,有以下四個(gè)命題: ①?β∥γ ?、?m⊥β ③?α⊥β ④?m∥α 其中,真命題是( ) A.①④ B.②③ C.①③ D.②④ [答案] C [解析]?、僬_,平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行;②錯(cuò)誤,由線面平行、垂直定理知:m不一定垂直于β;③正確,由線面平行,垂直關(guān)系判斷正確;④錯(cuò)誤,m也可能在α內(nèi).綜上所述,正確的命題是①③,故選C. (理)已知A、B是兩個(gè)不同的點(diǎn),m、n是兩條不重合的直線,α、β
11、是兩個(gè)不重合的平面,給出下列4個(gè)命題:①若m∩n=A,A∈α,B∈m,則B∈α;②若m?α,A∈m,則A∈α;③若m?α,m⊥β,則α⊥β;④若m?α,n?β,m∥n,則α∥β,其中真命題為( ) A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ [答案] C [解析] ②∵m?α,∴m上的點(diǎn)都在平面α內(nèi),又A∈m,∴A∈α,∴②對(duì);由二面垂直的判定定理知,③正確. 8.(文)如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是棱B1C1的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P在底面ABCD內(nèi),且PA1=A1E,則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)形成的圖形是( ) A.線段 B.圓弧 C.橢圓的一部分 D.拋物線的一部分 [答案] B
12、 [解析] |AP|===|B1E|(定值),故點(diǎn)P在底面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)形成的圖形是圓?。? (理)正方體ABCD-A1B1C1D1中,M為CC1的中點(diǎn),P在底面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng),且滿足∠DPD1=∠CPM,則點(diǎn)P的軌跡為( ) A.圓的一部分 B.橢圓的一部分 C.雙曲線的一部分 D.拋物線的一部分 [答案] A [解析] 由∠DPD1=∠CPM得==, ∴=2,在平面ABCD內(nèi),以D為原點(diǎn),DA、DC分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)DC=1,P(x,y), ∵PD=2PC,∴=2,整理得x2+(y-)2=,所以,軌跡為圓的一部分,故選A. 9.(文)已知α、β是兩
13、個(gè)不同的平面,m、n是兩條不重合的直線,下列命題中正確的是( ) A.若m∥α,α∩β=n,則m∥n B.若m⊥α,m⊥n,則n∥α C.若m⊥α,n⊥β,α⊥β,則m⊥n D.若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,則m⊥β [答案] C [解析] 對(duì)于選項(xiàng)A,m,n有可能平行也有可能異面;對(duì)于選項(xiàng)B,n有可能在平面α內(nèi),所以n與平面α不一定平行;對(duì)于選項(xiàng)D,m與β的位置關(guān)系可能是m?β,m∥β,也可能m與β相交.由n⊥β,α⊥β得,n∥α或n?α,又m⊥α,∴m⊥n,故C正確. (理)已知矩形ABCD,AB=1,BC=.將△ABD沿矩形的對(duì)角線BD所在的直線進(jìn)行翻折,在翻折過程中(
14、 )
A.存在某個(gè)位置,使得直線AC與直線BD垂直
B.存在某個(gè)位置,使得直線AB與直線CD垂直
C.存在某個(gè)位置,使得直線AD與直線BC垂直
D.對(duì)任意位置,三對(duì)直線“AC與BD”,“AB與CD”,“AD與BC”均不垂直
[答案] B
[解析]?、龠^A、C作BD的垂線AE、CF,∵AB與BC不相等,∴E與F不重合,在空間圖(2)中,若AC⊥BD,∵AC∩AE=A,∴BD⊥平面ACE,∴BD⊥CE,這樣在平面BCD內(nèi),過點(diǎn)C有兩條直線CE、CF都與BD垂直矛盾,∴A錯(cuò);②若AB⊥CD,∵AB⊥AD,∴AB⊥平面ACD,∴AB⊥AC,∵AB 15、,AB=AC,∴B選項(xiàng)正確,∴選項(xiàng)D錯(cuò);③若AD⊥BC,又CD⊥BC,∴BC⊥平面ACD,∴BC⊥AC,∵BC>AB,這樣的△ABC不存在,∴C錯(cuò)誤.
10.(文)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,AB=2,CC1=2,E為CC1的中點(diǎn),則直線AC1與平面BED的距離為( )
A.2 B.
C. D.1
[答案] D
[解析] 本題考查了正四棱柱的性質(zhì),點(diǎn)到直線距離的求解.連接AC、BD,AC∩BD=O,連接EO,則EO∥AC1.則點(diǎn)C到平面BDE的距離等于AC1到平面BDE的距離,過C作CH⊥OE于H,CH為所求.在△EOC中,EC=,CO=,所以CH 16、=1.本題解答體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想,注意等積法的使用.
(理)已知四棱錐P-ABCD的側(cè)棱長與底面邊長都相等,點(diǎn)E是側(cè)棱PB的中點(diǎn),則異面直線AE與PD所成角的余弦值為( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O,∵棱錐的各棱長都相等,
∴O為BD中點(diǎn),∴EO∥PD,∴∠AEO為異面直線AE與PD所成的角,設(shè)棱長為1,則AO=,EO=,AE=,∵AO2+EO2=AE2,∴cos∠AEO==.
二、填空題
11.a(chǎn)、b表示直線,α、β、γ表示平面.
①若α∩β=a,b?α,a⊥b,則α⊥β;
②若a?α,a垂直于β內(nèi)任意一條直 17、線,則α⊥β;
③若α⊥β,α∩γ=a,β∩γ=b,則a⊥b;
④若a不垂直于平面α,則a不可能垂直于平面α內(nèi)無數(shù)條直線;
⑤若l?α,m?α,l∩m=A,l∥β,m∥β,則α∥β.
其中為真命題的是__________.
[答案] ②⑤
[解析] 對(duì)①可舉反例如圖,需b⊥β才能推出α⊥β.對(duì)③可舉反例說明,當(dāng)γ不與α,β的交線垂直時(shí),即可得到a,b不垂直;④對(duì)a只需垂直于α內(nèi)一條直線便可以垂直α內(nèi)無數(shù)條與之平行的直線.所以只有②⑤是正確的.
12.(文)已知三棱柱ABC-A1B1C1底面是邊長為的正三角形,側(cè)棱垂直于底面,且該三棱柱的外接球表面積為12π,則該三棱柱的體積為__ 18、______.
[答案] 3
[解析] 4πR2=12π,∴R=,△ABC外接圓半徑r=,∴柱高h(yuǎn)=2=2,
∴體積V=×()2×2=3.
(理)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,點(diǎn)P是線段A1C1上的動(dòng)點(diǎn),則四棱錐P-ABCD的外接球半徑R的取值范圍是______________.
[答案]
[解析] 當(dāng)P為A1C1的中點(diǎn)時(shí),設(shè)球半徑為R,球心到底面ABCD距離為h,則,∴R=,當(dāng)P與A1(或C1)重合時(shí),外接球就是正方體的外接球,R=,∴R∈[,].
三、解答題
13.(文)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC為正三角形,M、N、G分別是棱CC 19、1、AB、BC的中點(diǎn).且CC1=AC.
(1)求證:CN∥平面AMB1;
(2)求證:B1M⊥平面AMG.
[證明] (1)如圖取線段AB1的中點(diǎn)P,連接NP、MP,
∵CM綊BB1,
NP綊BB1,
∴CM綊NP,
∴四邊形CNPM是平行四邊形.
∴CN∥MP.
∵CN?平面AMB1,MP?平面AMB1,
∴CN∥平面AMB1.
(2)∵CC1⊥平面ABC,
∴平面CC1B1B⊥平面ABC,
∵AG⊥BC,∴AG⊥平面CC1B1B,
∴B1M⊥AG.
∵CC1⊥平面ABC,
平面A1B1C1∥平面ABC,
∴CC1⊥AC,CC1⊥B1C1,
設(shè)AC=2a, 20、則CC1=2a,
在Rt△MCA中,AM==a.
在Rt△B1C1M中,B1M==a.
∵BB1∥CC1,∴BB1⊥平面ABC,∴BB1⊥AB,
∴AB1===2a.
∵AM2+B1M2=AB,∴B1M⊥AM.
又∵AG∩AM=A,∴B1M⊥平面AMG.
(理)如圖,在三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB⊥BC,且AB=BC=2,點(diǎn)N為B1C1的中點(diǎn),點(diǎn)P在棱A1C1上運(yùn)動(dòng).
(1)試問點(diǎn)P在何處時(shí),AB∥平面PNC,并證明你的結(jié)論;
(2)在(1)的條件下,若AA1 21、析] (1)當(dāng)點(diǎn)P為A1C1的中點(diǎn)時(shí),AB∥平面PNC.
∵P為A1C1的中點(diǎn),N為B1C1的中點(diǎn),∴PN∥A1B1∥AB
∵AB?平面PNC,PN?平面PNC,∴AB∥平面PNC.
(2)設(shè)AA1=m,則m<2,∵AB、BC、BB1兩兩垂直,
∴以B為原點(diǎn),BA、BC,BB1為x軸、y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則A(2,0,0),C(0,2,0),B1(0,0,m),A1(2,0,m),C1(0,2,m),
∴P(1,1,m),設(shè)平面BCP的法向量n=(x,y,z),
則由n·=0,n·=0,解得y=0,x=-mz,
令z=1,則n=(-m,0,1),又=(0,2,-m),
22、
直線B1C與平面BCP所成角正弦值為,
∴=,解之得m=1
∴n=(-1,0,1)
易求得平面ABP的法向量n1=(0,-1,1)
cosα==,設(shè)二面角的平面角為θ,則cosθ=-,∴θ=120°.
[方法點(diǎn)撥] 1.要證線面平行,先在平面內(nèi)找一條直線與已知直線平行,或找一個(gè)經(jīng)過已知直線與已知平面相交的平面,找出交線,證明二線平行.
2.要證線線平行,可考慮公理4或轉(zhuǎn)化為線面平行.
3.要證線面垂直可轉(zhuǎn)化為證明線線垂直,應(yīng)用線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.
14.(文)(20xx·東北三校二模) 如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC為等邊三角形,AB= 23、4,AA1=5,點(diǎn)M是BB1的中點(diǎn).
(1)求證:平面A1MC⊥平面AA1C1C;
(2)求點(diǎn)A到平面A1MC的距離.
[解析] (1)證明:記AC1與A1C的交點(diǎn)為E.連接ME.
∵直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC為等邊三角形,AB=4,AA1=5,點(diǎn)M是BB1的中點(diǎn),
∴MA1=MA=MC1=MC= .
因?yàn)辄c(diǎn)E是AC1、A1C的中點(diǎn),所以ME⊥A1C且ME⊥AC1,
從而ME⊥平面AA1C1C.
因?yàn)镸E?平面A1MC,所以平面A1MC⊥平面AA1C1C.
(2)過點(diǎn)A作AH⊥A1C于點(diǎn)H,
由(1)知平面A1MC⊥平面AA1C1C,平面A1MC∩平面 24、AA1C1C=A1C,
∴AH⊥平面AA1C1C
∴AH即為點(diǎn)A到平面A1MC的距離.
在△A1AC中,∠A1AC=90°,
A1A=5,AC=4,∴A1C=,∴AH==
即點(diǎn)A到平面A1MC的距離為.
(理)(20xx·邯鄲市二模)如圖,在等腰梯形CDFE中,A,B分別為底邊DF,CE的中點(diǎn),AD=2AB=2BC=2,沿AE將△AEF折起,使二面角F-AE-C為直二面角,連接CF,DF.
(1)證明:平面ACF⊥平面AEF;
(2)求點(diǎn)D到平面ACF的距離.
[解析] 在等腰梯形CDFE中,由已知條件可得,
CD=AC=AE=EF=,AF=AD=2,
所以,AE2 25、+EF2=AF2,∴EF⊥EA;同理可證,DC⊥AC,AE⊥AC;
在四棱錐F-AECD中,
∵二面角F-AE-C為直二面角,
∴平面AEF⊥平面AECD,
∴EF⊥平面AECD,
∵AC?平面AECD,∴AC⊥EF,
又∵AC⊥AE,∴AC⊥平面AEF,∴平面ACF⊥平面AEF.
(2)點(diǎn)D到平面ACF的距離即三棱錐D-ACF的高,
因?yàn)閂D-ACF=VF-ACD,AB=BC=1,
所以AC=,AF=2且AC⊥AF,
所以S△ACF=××2=
又因?yàn)锳C=CD=且AC⊥CD
所以S△ACD=××=1,EF=.
所以××d=×1×,所以d=1.
[方法點(diǎn)撥] 解決 26、與折疊有關(guān)的問題,關(guān)鍵是搞清折疊前后的位置與數(shù)量關(guān)系的變化量與不變量,對(duì)比找出平面圖形與折疊后的空間圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.
15.(文)(20xx·河南省高考適應(yīng)性測試)如圖1所示,在Rt△ABC中,AC=6,BC=3,∠ABC=90°,CD為∠ACB的平分線,點(diǎn)E在線段AC上,CE=4.如圖2所示,將△BCD沿CD折起,使得平面BCD⊥平面ACD,連接AB.
(1)求證:DE⊥平面BCD;
(2)求三棱錐A-BDE的體積.
[解析] (1)在圖1中,
∵AC=6,BC=3,∠ABC=90°,∴∠ACB=60°.
因?yàn)镃D為∠ACB的平分線,所以∠BCD=∠ACD=30°, 27、
∴CD=2
∵CE=4,∠DCE=30°,∴DE=2.
則CD2+DE2=EC2,所以∠CDE=90°,DE⊥DC.
又因?yàn)槠矫鍮CD⊥平面ACD,平面BCD∩平面ACD=CD,DE?平面ACD,
所以DE⊥平面BCD.
(2)在圖2中,作BH⊥CD于H,因?yàn)槠矫鍮CD⊥平面ACD,平面BCD∩平面ACD=CD,
BH?平面BCD,所以BH⊥平面ACD.
在圖1中,由條件得BH=
所以三棱錐A-BDE的體積
VA-BDE=VB-ADE=S△ADE·BH=××2×2sin120°×=.
(理)(20xx·遼寧葫蘆島市一模) 如圖,圓柱的軸截面ABCD是正方形,點(diǎn)E在 28、底面的圓周上,BF⊥AE,F(xiàn)是垂足.
(1)求證:BF⊥AC;
(2)若CE=1,∠CBE=30°,求三棱錐F-BCE的體積.
[解析] (1)證明:∵AB⊥平面BEC,CE?平面BEC,∴AB⊥CE
∵BC為圓的直徑 ∴BE⊥CE
∵BE?平面ABE,AB?平面ABE,BE∩AB=B
∴CE⊥平面ABE
∵BF?平面ABE
∴CE⊥BF
又BF⊥AE,且CE∩AE=E
∴BF⊥平面AEC,AC?平面AEC
∴BF⊥AC.
(2)在Rt△BEC中,∵CE=1,∠CBE=30°,∴BE=,BC=2
又∵ABCD為正方形,∴AB=2,∴AE=
∴BF===
∴E 29、F===
∴VF-BCE=VC-BEF=·S△BEF·CE=··EF·BF·CE
=····1=.
[方法點(diǎn)撥] 線面、線線垂直與平行的位置關(guān)系在面面平行與垂直位置關(guān)系的證明中起著承上啟下的橋梁作用,依據(jù)線面、面面位置關(guān)系的判定定理與性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決這類問題的關(guān)鍵.證明面面平行主要依據(jù)判定定理,證明面面垂直時(shí),關(guān)鍵是從現(xiàn)有直線中找一條直線與其中一個(gè)平面垂直,若圖中不存在這樣的直線應(yīng)借助添加中線、高線等方法解決.
16.(文)(20xx·山西太原市一模) 如圖,在底面是正三角形的直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=2,D是BC的中點(diǎn).
(1)求證:A1C∥平面AB1D; 30、
(2)求點(diǎn)A1到平面AB1D的距離.
[解析] (1)證明:連接A1B,交AB1于點(diǎn)O,連接OD,
∵ABC-A1B1C1是直三棱柱,∴ABB1A1是平行四邊形,
∴O是A1B的中點(diǎn),
∵D是BC的中點(diǎn),∴OD∥A1C,
∵OD?平面AB1D,A1C?平面AB1D,
∴A1C∥平面AB1D;
(2)由(1)知,O是A1B的中點(diǎn),
∴點(diǎn)A1到平面AB1D的距離等于點(diǎn)B到平面AB1D的距離,
∵ABC-A1B1C1是直三棱柱,∴BB1⊥平面ABC,∴平面BCC1B1⊥平面ABC,B1D==.
∵△ABC是正三角形,D是BC的中點(diǎn),∴AD⊥BC,∴AD⊥平面BCC1B1, 31、
∴AD⊥B1D,
設(shè)點(diǎn)B到平面AB1D的距離為d,∵VB1-ABD=VB-AB1D,
∴S△ABD·BB1=S△AB1D·d,
∴d====.
∴點(diǎn)A1到平面AB1D的距離為.
(理)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,E為AD的中點(diǎn),M是棱PC的中點(diǎn),PA=PD=2,BC=AD=1,CD=.
(1)求證:PE⊥平面ABCD;
(2)求直線BM與平面ABCD所成角的正切值;
(3)求直線BM與CD所成角的余弦值.
[解析] (1)∵PA=PD,E為AD的中點(diǎn),∴PE⊥AD,
又∵平面PAD⊥平 32、面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PE⊥平面ABCD.
(2)連接EC,取EC中點(diǎn)H,連接MH,HB,
∵M(jìn)是PC的中點(diǎn),H是EC的中點(diǎn),∴MH∥PE,
由(1)知PE⊥平面ABCD,∴MH⊥平面ABCD,
∴HB是BM在平面ABCD內(nèi)的射影,
∴∠MBH即為BM與平面ABCD所成的角.
∵AD∥BC,BC=AD,E為AD的中點(diǎn),∠ADC=90°,
∴四邊形BCDE為矩形,又CD=,∴EC=2,HB=EC=1,
又∵M(jìn)H=PE=,
∴△MHB中,tan∠MBH==,
∴直線BM與平面ABCD所成角的正切值為.
(3)由(2)知CD∥BE,∴直線BM與CD所成角即為直線BM與BE所成角,
連接ME,在Rt△MHE中,ME=,
在Rt△MHB中,BM=,
又BE=CD=,∴△MEB中,
cos∠MBE===,
∴直線BM與CD所成角的余弦值為.
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