新版全國(guó)通用高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題29 坐標(biāo)系與參數(shù)方程含解析

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2、 1 【走向高考】（全國(guó)通用）20xx高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題29 坐標(biāo)系與參數(shù)方程（含解析） 一、填空題 1．(20xx·北京理，11)在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線ρ(cos θ＋sin θ)＝6的距離為_(kāi)_______． [答案]　1 [解析]　考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化；點(diǎn)到直線距離． 先把點(diǎn)極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)(1，)，再把直線的極坐標(biāo)方程ρ＝6

3、化為直角坐標(biāo)方程x＋y－6＝0，利用點(diǎn)到直線距離公式d＝＝1. 2．(20xx·湖南理，11)在平面直角坐標(biāo)系中，傾斜角為的直線l與曲線C：(α為參數(shù))交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝2.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則直線l的極坐標(biāo)方程是________． [答案]　ρsin(θ－)＝－ [解析]　曲線C的普通方程為(x－2)2＋(y－1)2＝1，設(shè)直線l的方程為y＝x＋b，因?yàn)橄议L(zhǎng)|AB|＝2，所以直線l過(guò)圓心(2,1)，所以直線l的方程為y＝x－1，化為極坐標(biāo)方程為ρsinθ＝ρcosθ－1，即ρsin(θ－)＝－. 3．在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的參數(shù)方程為(

4、φ為參數(shù)，a>b>0)，在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸)中，直線l 與圓O的極坐標(biāo)方程分別為ρsin(θ＋)＝m(m為非零常數(shù))與ρ＝b.若直線l經(jīng)過(guò)橢圓C的焦點(diǎn)，且與圓O相切，則橢圓C的離心率為_(kāi)_______． [答案]　 [解析]　橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0)，直線l的普通方程為x＋y－m＝0，圓O的普通方程為＝b，即x2＋y2＝b2. 若l過(guò)右焦點(diǎn)(c,0)，則c－m＝0且＝b，∴c＝b，c2＝2b2，c2＝2(a2－c2) ∴＝，同理l過(guò)左焦點(diǎn)(－c,0)時(shí)，也求得e＝. 4．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，

5、x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(4，)，曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，則點(diǎn)M到曲線C上的點(diǎn)的距離的最小值為_(kāi)_______． [答案]　5－ [解析]　依題意，點(diǎn)M的直角坐標(biāo)是(4,4)，曲線C：(x－1)2＋y2＝2，圓心C(1,0)，|CM|＝＝5>，因此所求的距離的最小值是5－. 5．(20xx·湖北理，16)在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，l與C相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝________. [答案]　2 [解析]　考查極坐標(biāo)

6、方程與直角坐標(biāo)方程，參數(shù)方程與普通方程的互化及兩點(diǎn)間的距離公式． 由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系可得直線l的直角坐標(biāo)方程為y＝3x；① 由曲線C的參數(shù)方程可得其直角坐標(biāo)方程為y2－x2＝4；② 聯(lián)立①②可解得直線l與曲線C的交點(diǎn)坐標(biāo)A(，)， B(－，－)或A(－，－)，B(，)， 因此可解得|AB|＝2. 故本題正確答案為2. 二、解答題 6．(文)(20xx·福建理，21)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．在極坐標(biāo)系(與平面直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸為極軸)中，直線l的方程為ρsin ＝m(m∈R)． (1)求圓C的

7、普通方程及直線l的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)圓心C到直線l的距離等于2，求m的值． [解析]　考查1.參數(shù)方程和普通方程的互化；2.極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化；3.點(diǎn)到直線距離公式． (1)將圓的參數(shù)方程通過(guò)移項(xiàng)平方消去參數(shù)得(x－1)2＋(y＋2)2＝9，利用x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 將直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)利用點(diǎn)到直線距離公式求解． (1)消去參數(shù)t，得到圓C的普通方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝9， 由ρsin(θ－)＝m，得ρsin θ－ρcos θ－m＝0， 所以直線l的直角坐標(biāo)方程為x－y＋m＝0. (2)依題意，圓心C到直線

8、l的距離等于2， 即＝2， 解得m＝－3±2. (理)(20xx·太原市模擬)已知平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)點(diǎn)P(－1，－2)的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsinθtanθ＝2a(a>0)，直線l與曲線C相交于不同的兩點(diǎn)M，N. (1)求曲線C和直線l的普通方程； (2)若|PM|＝|MN|，求實(shí)數(shù)a的值． [解析]　(1)∵(t為參數(shù))． ∴直線l的普通方程為x－y－1＝0， ∵ρsinθtanθ＝2a，∴ρ2sin2θ＝2aρcosθ， 由得曲線C的普通方程為y2＝2ax； (2)∵y2＝2ax，

9、∴x≥0，設(shè)直線l上點(diǎn)M，N對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別是t1，t2(t1>0，t2>0)，則|PM|＝t1，|PN|＝t2， ∵|PM|＝|MN|，∴|PM|＝|PN|，∴t2＝2t1， 將代入y2＝2ax得t2－2(a＋2)t＋4(a＋2)＝0， ∴ 又∵t2＝2t1，∴a＝. 7．(文)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C方程為(φ為參數(shù))． (1)求過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，且與直線m：(t為參數(shù))平行的直線l的普通方程． (2)求橢圓C的內(nèi)接矩形ABCD面積的最大值． [分析]　(1)由直線l與直線m平行可得l的斜率，將橢圓C的方程消參可得普通方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)(也可直接由參數(shù)方程求)可得l方程．

10、 (2)用參數(shù)方程表示面積轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值求解． [解析]　(1)由C的參數(shù)方程可知，a＝5，b＝3，∴c＝4， ∴右焦點(diǎn)F2(4,0)，將直線m的參數(shù)方程化為普通方程：x－2y＋2＝0，所以k＝，于是所求直線方程為x－2y－4＝0. (2)由橢圓的對(duì)稱性，取橢圓在第一象限部分(令0≤φ≤)，則S＝4|xy|＝60sinφcosφ＝30sin2φ，∴當(dāng)2φ＝時(shí)，Smax＝30， 即矩形面積的最大值為30. (理)在平面直角坐標(biāo)xOy中，已知直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))，直線l與拋物線y2＝4x相交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)． [解析]　解法1：將l的方程化為普通方程得l：x＋

11、y＝3， ∴y＝－x＋3，代入拋物線方程y2＝4x并整理得x2－10x＋9＝0，∴x1＝1，x2＝9. ∴交點(diǎn)A(1,2)，B(9，－6)， 故|AB|＝＝8. 解法2：將l的參數(shù)方程代入y2＝4x中得， (2＋t)2＝4(1－t)， 解之得t1＝0，t2＝－8， ∴|AB|＝|t1－t2|＝8. 8．(20xx·商丘市二模)已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)處，極軸與x軸的正半軸重合，直線l的極坐標(biāo)方程為：ρsin＝，曲線C的參數(shù)方程為： (1)寫出直線l的直角坐標(biāo)方程； (2)求曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最大值． [解析]　(1)∵ρsin＝， ∴ρ＝， ∴y

12、－x＝，即l：x－y＋1＝0. (2)解法一：由已知可得，曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(2＋2cosα，2sinα)， 所以，曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離 d＝＝≤. 所以最大距離為. 解法二：曲線C為以(2,0)為圓心，2為半徑的圓．圓心到直線的距離為， 所以，最大距離為＋2＝. 9．(文)(20xx·唐山市二模)在極坐標(biāo)系中，曲線C：ρ＝2acosθ(a>0)，l：ρcos＝，C與l有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)． (1)求a； (2)O為極點(diǎn)，A，B為C上的兩點(diǎn)，且∠AOB＝，求|OA|＋|OB|的最大值． [解析]　(1)曲線C是以(a,0)為圓心，以a為半徑的圓； l的直角坐標(biāo)方程為x

13、＋y－3＝0. 由直線l與圓C相切可得＝a，解得a＝1. (2)不妨設(shè)A的極角為θ，B的極角為θ＋， 則|OA|＋|OB|＝2cosθ＋2cos ＝3cosθ－sinθ＝2cos， 當(dāng)θ＝－時(shí)，|OA|＋|OB|取得最大值2. (理)(20xx·石家莊市一模)已知曲線C1的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝2. (1)分別寫出C1的普通方程，C2的直角坐標(biāo)方程． (2)已知M，N分別為曲線C1的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)P為曲線C2上任意一點(diǎn)，求|PM|＋|PN|的最大值． [解析]　(1)曲線C1的普通方程為＋＝1，

14、 曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝4. (2)法一：由曲線C2：x2＋y2＝4，可得其參數(shù)方程為，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為(2cosα，2sinα)，由題意可知M(0，)，N(0，－)． 因此|PM|＋|PN|＝＋ ＝＋ (|PM|＋|PN|)2＝14＋2. 所以當(dāng)sinα＝0時(shí)，(|PM|＋|PN|)2有最大值28， 因此|PM|＋|PN|的最大值為2. 法二：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，則x2＋y2＝4， 由題意可知M(0，)，N(0，－)． 因此|PM|＋|PN|＝＋ ＝＋ (|PM|＋|PN|)2＝14＋2. 所以當(dāng)y＝0時(shí)，(|PM|＋|PN|)2有最大值28， 因此

15、|PM|＋|PN|的最大值為2. 10．(文)(20xx·新課標(biāo)Ⅰ理，23)已知曲線C：＋＝1，直線l：(t為參數(shù))． (1)寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程； (2)過(guò)曲線C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為30°的直線，交l于點(diǎn)A，求|PA|的最大值與最小值． [解析]　(1)曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)) 直線l的普通方程為：2x＋y－6＝0. (2)曲線C上任意一點(diǎn)P(2cosθ，3sinθ)到l的距離為 d＝|4cosθ＋3sinθ－6|. 則|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α為銳角，且tanα＝. 當(dāng)sin(θ＋α)＝－1時(shí)，|PA|取得最大值，最大值為.

16、 當(dāng)sin(θ＋α)＝1時(shí)，|PA|取得最小值，最小值為. (理)(20xx·太原市一模)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(其中θ為參數(shù))，點(diǎn)M是曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在曲線C2上，且滿足＝2. (1)求曲線C2的普通方程； (2)以原點(diǎn)O為原點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，射線θ＝與曲線C1、C2分別交于A、B兩點(diǎn)，求|AB|. [解析]　(1)設(shè)P(x，y)，M(x′，y′)， ∵＝2，∴ ∵點(diǎn)M在曲線C1上，∴ ∴(x′－1)2＋y′2＝3， 將x′＝，y′＝代入得， 曲線C2的普通方程為(x－2)2＋y2＝12； (2)∵曲線C1的直角坐標(biāo)方程為(x

17、－1)2＋y2＝3， ∴曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρcosθ－2＝0， 將θ＝代入得ρ＝2，∴A的極坐標(biāo)為， 曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ2－4ρcosθ－8＝0， 將θ＝代入得ρ＝4，∴B的極坐標(biāo)為， ∴|AB|＝4－2＝2. 11．(文)在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C1的參數(shù)方程為(a＞b＞0，φ為參數(shù))，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2是圓心在極軸上且經(jīng)過(guò)極點(diǎn)的圓，已知曲線C1上的點(diǎn)M(2，)對(duì)應(yīng)的參數(shù)φ＝，θ＝與曲線C2交于點(diǎn)D(，) (1)求曲線C1、C2的方程； (2)A(ρ1，θ)，Β(ρ2，θ＋)是曲線C1上的兩點(diǎn)，求＋的值． [解析]　(1)

18、將M(2，)及對(duì)應(yīng)的參數(shù)φ＝，代入得 所以所以C1的方程為＋＝1. 設(shè)圓C2的半徑R，則圓C2的方程為：ρ＝2Rcosθ，將點(diǎn)D(，)代入得R＝1， ∴圓C2的方程為：ρ＝2cosθ(或(x－1)2＋y2＝1)． (2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為：＋＝1，將A(ρ1，θ)，Β(ρ2，θ＋)代入得：＋＝1，＋＝1 所以＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝ 即＋的值為. (理)在直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)點(diǎn)P(，)作傾斜角為α的直線l與曲線C：x2＋y2＝1相交于不同的兩點(diǎn)M、N. (1)寫出直線l的參數(shù)方程； (2)求＋的取值范圍． [解析]　(1)(t為參數(shù))． (2)將(t為參數(shù))代入x2

19、＋y2＝1中，消去x，y得，t2＋(cosα＋3sinα)t＋2＝0， 由Δ＝(cosα＋3sinα)2－8＝12sin2(α＋)－8>0 ?sin(α＋)>， ＋＝＋＝－ ＝ ＝sin(α＋)∈(，]． [方法點(diǎn)撥]　1.在將參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，為消去參數(shù)，常用的方法是加、減消元、代入消元、平方相加等，要注意觀察參數(shù)方程特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)?shù)南ǎ? 2．在橢圓的參數(shù)方程(φ為參數(shù))中，可直接求得c＝；在圓的參數(shù)方程(α為參數(shù))中可直接由參數(shù)方程得圓心(x0，y0)，半徑r；在直線的參數(shù)方程(t為參數(shù))中，也可以直接得到直線的斜率k＝. 3．給出曲線的極坐標(biāo)方程，討論曲線的位置關(guān)系或求相交弦等，一般先化為直角坐標(biāo)方程再求解． 4．一般地給出極坐標(biāo)方程，求兩曲線交點(diǎn)的極坐標(biāo)，可先化為直角坐標(biāo)方程，求出交點(diǎn)的直角坐標(biāo)，再化為極坐標(biāo)． 5．在參數(shù)方程(t為參數(shù))中，設(shè)M(x0，y0)，N(x，y)，則MN＝·t，|MN|＝|t|.(其中MN表示有向線段的數(shù)量)