2018-2019學年高中數(shù)學 第一章 三角函數(shù) 1.1.2 弧度制學案 新人教A版必修4.doc

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1.1.2　弧度制 學習目標　1.理解角度制與弧度制的概念，能對弧度和角度進行正確的轉(zhuǎn)換(重點).2.體會引入弧度制的必要性，建立角的集合與實數(shù)集的一一對應關系.3.掌握并能應用弧度制下的弧長公式和扇形面積公式(重、難點)． 知識點1　弧度制 1．度量角的兩種制度 角度制 定義 用度作為單位來度量角的單位制 1度的角 周角的為1度的角，記作1 弧度制 定義 以弧度為單位來度量角的單位制 1弧度 的角 長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角.1弧度記作1 rad 2．弧度數(shù)的計算 (1)正角：正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)． (2)負角：負角的弧度數(shù)是一個負數(shù)． (3)零角：零角的弧度數(shù)是0． (4)如果半徑為r的圓的圓心角α所對弧的長為l，那么，角α的弧度數(shù)的絕對值是|α|＝． 3．角度制與弧度制的換算 角度化弧度 弧度化角度 360＝2π_rad 2π rad＝360 180＝π_rad π rad＝180 1＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝()≈57.30 度數(shù)＝弧度數(shù) 弧度數(shù)()＝度數(shù) 【預習評價】　(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)1弧度就是1的圓心角所對的?。?　　) (2)“1弧度的角”的大小和所在圓的半徑大小無關．(　　) (3)160化為弧度制是π rad.(　　) 提示　(1)，1弧度是長度等于半徑的弧所對的圓心角． (2)√，“1弧度的角”的大小等于半徑長的圓弧所對的圓心角，是一個定值，與所在圓的半徑大小無關． (3)√，160＝160 rad＝π rad． 知識點2　扇形的弧長及面積公式 設扇形的半徑為R，弧長為l，α(0<α<2π)為其圓心角，則 度量單位類別 α為角度制 α為弧度制 扇形的弧長 l＝　 l＝αR　 扇形的面積 S＝　 S＝lR?。溅罵2　 【預習評價】 圓的半徑是6 cm，則圓心角為15的扇形面積是________． 解析　因為15＝，所以面積S＝αR2＝36＝π(cm2)． 答案　π(cm2) 題型一　角度與弧度的互化及應用 【例1】　將下列角度與弧度進行互化： (1)20；(2)－800；(3)；(4)－π． 解　(1)20＝20＝； (2)－800＝－800＝－π； (3)＝()＝105； (4)－π＝－(π)＝－144． 規(guī)律方法　角度制與弧度制互化的原則和方法 (1)原則：牢記180＝π rad，充分利用1＝ rad和1 rad＝()進行換算． (2)方法：設一個角的弧度數(shù)為α，角度數(shù)為n，則α rad＝α()；n＝n． 【訓練1】　(1)把11230′化成弧度； (2)把－化成度． 解　(1)11230′＝()＝＝． (2)－＝－()＝－75． 題型二　用弧度制表示角的集合 【例2】　用弧度表示頂點在原點，始邊重合于x軸的非負半軸，終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合(不包括邊界，如圖)． 解　(1)以OA為終邊的角為＋2kπ(k∈Z)，以OB為終邊的角為－＋2kπ(k∈Z)，所以陰影部分(不包括邊界)內(nèi)的角的集合為{α|－＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z}． (2)終邊落在陰影部分(不含邊界)的角的集合是{α|＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z}． 規(guī)律方法　根據(jù)已知圖形寫出區(qū)域角的集合的步驟 (1)仔細觀察圖形． (2)寫出區(qū)域邊界作為終邊時角的表示． (3)用不等式表示區(qū)域范圍內(nèi)的角． 【訓練2】　已知角α＝2 010． (1)將α改寫成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第幾象限的角； (2)在區(qū)間[－5π，0)上找出與α終邊相同的角． 解　(1)2 010＝2 010＝＝52π＋， 又π<<， ∴α與終邊相同，是第三象限的角． (2)與α終邊相同的角可以寫成γ＝＋2kπ(k∈Z)， 又－5π≤γ＜0， ∴當k＝－3時，γ＝－π； 當k＝－2時，γ＝－π； 當k＝－1時，γ＝－π． 題型三　扇形的弧長公式及面積公式的應用 【例3】　已知一個扇形的周長為a，求當扇形的圓心角多大時，扇形的面積最大，并求這個最大值． 解　設扇形的弧長為l，半徑為r，圓心角為α，面積為S.由已知，2r＋l＝a，即l＝a－2r． ∴S＝lr＝(a－2r)r＝－r2＋r ＝－2＋． ∵r>0，l＝a－2r>0，∴02π rad，舍去； 當r＝4時，l＝2 cm，此時，θ＝＝ rad． (2)由l＋2r＝10得l＝10－2r， S＝lr＝(10－2r)r＝5r－r2 ＝－(r－)2＋(0β，則解得α＝＋，β＝－． 答案?。?，－ 6．如圖所示，用弧度制表示頂點在原點，始邊重合于x軸的非負半軸，終邊落在陰影部分的角的集合． 解　(1)將陰影部分看成是由OA逆時針旋轉(zhuǎn)到OB所形成．故滿足條件的角的集合為 ． (2)若將終邊為OA的一個角改寫為－，此時陰影部分可以看成是OA逆時針旋轉(zhuǎn)到OB所形成，故滿足條件的角的集合為． (3)將題干圖中x軸下方的陰影部分看成是由x軸上方的陰影部分旋轉(zhuǎn)π rad而得到，所以滿足條件的角的集合為． (4)與第(3)小題的解法類似，將第二象限陰影部分旋轉(zhuǎn)π rad后可得到第四象限的陰影部分，所以滿足條件的角的集合為． 7．把下列角化為2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式： (1)；(2)－315． 解　(1)∵0≤＜2π，∴＝4π＋． (2)∵－315＝－315＝－＝－2π＋， ∵0≤＜2π，∴－315＝－2π＋． 能力提升 8．把－π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是(　　) A．－π B．－2π C．π D．－π 解析　∵－π＝－2π＋ ＝2(－1)π＋，或－＝－4π＋，且|－|<||，∴θ＝－π． 答案　A 9．如圖是一個半徑為R的扇形，它的周長為4R，則這個扇形所含弓形(陰影區(qū)域)的面積是(　　) A．(2－sin 1 cos 1)R2 B．R2sin 1cos 1 C．R2 D．(1－sin 1cos 1)R2 解析　∵l＝4R－2R＝2R，∴α＝＝2． ∵S弓形＝S扇形－S△ ＝αR2－(2Rsin )(Rcos ) ＝2R2－R2sin 1cos 1＝R2(1－sin 1cos 1)． 答案　D 10．已知集合A＝{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，集合B＝{x|－4≤x≤4}，則A∩B＝________． 解析　如圖所示， ∴A∩B＝[－4，－π]∪[0，π]． 答案　[－4，－π]∪[0，π] 11．已知α是第二象限角，且|α＋2|≤4，則α的集合是______?。? 解析　∵α是第二象限角， ∴＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z， ∵|α＋2|≤4，∴－6≤α≤2， 當k＝－1時，－＜α＜－π， 當k＝0時，＜α≤2， 當k為其他整數(shù)時，滿足條件的角α不存在． 答案　(－，－π)∪(，2] 12．已知一扇形的圓心角是α，所在圓的半徑是R． (1)若α＝60，R＝10 cm，求扇形的弧長及該弧所在的弓形面積； (2)若扇形的周長是30 cm，當α為多少弧度時，該扇形有最大面積？ 解　(1)設弧長為l，弓形面積為S弓， ∵α＝60＝，R＝10(cm)， ∴l(xiāng)＝αR＝ (cm)． S弓＝S扇－S△＝10－210sin10cos＝50 (cm2)． (2)由l＋2R＝30，∴l(xiāng)＝30－2R， 從而S＝lR＝(30－2R)R ＝－R2＋15R＝－2＋． ∴當半徑R＝ cm時，l＝30－2＝15 cm， 扇形面積的最大值是 cm2，這時α＝＝2 rad． ∴當扇形的圓心角為2 rad，半徑為 cm時，面積最大，為 cm2． 13．(選做題)如圖，已知一長為 dm，寬為1 dm的長方形木塊在桌面上作無滑動的翻滾，翻滾到第四面時被一小木板擋住，使木塊底面與桌面成30的角．求點A走過的路程的長及走過的弧度所對扇形的總面積． 解　AA1所在圓弧的半徑是2 dm，圓心角為；A1A2所在圓弧的半徑是1 dm，圓心角為；A2A3所在圓弧的半徑是 dm，圓心角為，所以走過的路程是3段圓弧之和，即2＋1＋＝π(dm)；3段圓弧所對的扇形的總面積是2π＋＋＝(dm2)．