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xx-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷 理
一、選擇題(共12小題,每小題5.0分,共60分)
1.已知橢圓＋y2＝1(m>1)和雙曲線－y2＝1(n>0)有相同的焦點(diǎn)F1、F2，P是它們的一個(gè)交點(diǎn)，則△F1PF2的形狀是( )
A． 銳角三角形B． 直角三角形
C． 鈍角三角形D． 隨m、n變化而變化
2.命題p:“?x∈[1,2],2x2-x-m>0”,命題q:“?x0∈[1,2],log2x0+m>0”,若“p∧q”為真命題,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A．m<1B．m>-1C． -1
1或x<－1，則>1D． 若x≥1或x≤1，則≥1
4.下列4個(gè)命題：
p1：?x∈(0，＋∞)，<；p2：?x∈(0,1)，>；
p3：?x∈(0，＋∞)，>；p4：?x∈，<.
其中的真命題是( )
A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4
5.設(shè)F為拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，A、B、C為該拋物線上三點(diǎn)，若＋＋＝0，則||＋||＋||等于( )
A． 9B． 6C． 4D． 3
6.長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝a，AA1＝2a，則D1到直線AC的距離為( )．
A．a(chǎn)B．C．D．
7.設(shè)x∈Z,集合A是奇數(shù)集,集合B是偶數(shù)集.若命題p:?x∈A,2x∈B,則( )
A． ﹁p:?x∈A,2x?BB． ﹁p:?x?A,2x?B
C． ﹁p:?x?A,2x∈BD． ﹁p:?x∈A,2x?B
8.給定兩個(gè)命題p,q,若﹁p是q的必要而不充分條件,則p是﹁q的( )
A． 充分而不必要條件B． 必要而不充分條件
C． 充要條件D． 既不充分也不必要條件
9.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A(3,3,2)，B(4，－3,7)，C(0,5,1)，則BC邊上的中線長為( )
A． 2B． 3C． 4D． 5
10.已知三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC上的射影為BC的中點(diǎn)，則異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為( )
A．B．C．D．
11.過點(diǎn)(－2,0)的直線l和拋物線C：y2＝8x有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值集合是( )
A． {－1,0,1}B． {－1,0}C． {0,1}D． {－1,1}
12.命題“若a?A，則b∈B”的否命題是( )．
A． 若a?A，則b?BB． 若a∈A，則b?B
C． 若b∈B，則a?AD． 若b?B，則a?A
二、填空題(共4小題,每小題5.0分,共20分)
13.已知直線l1：x＋ay＋6＝0和l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，則l1∥l2的充要條件是a＝________.
14.過拋物線y2=2x的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),若|AB|=,|AF|<|BF|,則|AF|= .
15.已知p：，q：{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}，若q是p的必要非充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______．
16.在正整數(shù)數(shù)列中，由1開始依次按如下規(guī)則取它的項(xiàng)：第一次取1，第二次取2個(gè)連續(xù)偶數(shù)2、4；第三次取3個(gè)連續(xù)奇數(shù)5、7、9；第四次取4個(gè)連續(xù)偶數(shù)10、12、14、16；第五次取5個(gè)連續(xù)奇數(shù)17、19、21、23、25.按此規(guī)則一直取下去，得到一個(gè)子數(shù)列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，….則在這個(gè)子數(shù)列中，由1開始的第29個(gè)數(shù)是________，第2 014個(gè)數(shù)是________.
三、解答題(共6小題,共70分)
17.將命題“正數(shù)a的平方大于零”改寫成“若p，則q”的形式，并寫出它的逆命題、否命題與逆否命題．
18.求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
(1)經(jīng)過點(diǎn)A(4，3)，且a＝4；
(2)經(jīng)過點(diǎn)A、B(3，－2)．
19.已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)A(4,0), 且在y軸上截得的弦MN的與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P,Q, 若x軸是的角平分線, 證明直線過定點(diǎn).
20.正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面邊長為.
(1)設(shè)側(cè)棱長為1，求證：AB1⊥BC1；
(2)設(shè)AB1與BC1的夾角為，求側(cè)棱的長．
21.已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率e＝，過點(diǎn)A(0，－b)和點(diǎn)B(a,0)的直線與原點(diǎn)的距離為，求此雙曲線的方程．
22.已知p：1＜2x＜8；q：不等式x2－mx＋4≥0恒成立，若p是q的充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
C
D
D
B
D
D
A
B
D
A
B
13.【答案】－1
【解析】由13－a(a－2)＝0得a＝3或－1，而a＝3時(shí)，兩條直線重合，所以a＝－1.
14.【答案】
【解析】拋物線y2=2x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(,0),準(zhǔn)線方程為x=-,設(shè)A,B的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則x1x2==.
設(shè)|AF|=m,|BF|=n,則x1=m-,x2=n-,
所以有解得m=或n=,
所以|AF|=.
15.【答案】[9，＋∞)
【解析】由已知，p?q，q?p
16.【答案】50 3 965
【解析】記該數(shù)列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，…為{an}，
由1開始依次按如下規(guī)則取它的項(xiàng)：第一次取1；第二次取2個(gè)連續(xù)偶數(shù)2、4；第三次取3個(gè)連續(xù)奇數(shù)5、7、9；第四次取4個(gè)連續(xù)偶數(shù)10、12、14、16；第五次取5個(gè)連續(xù)奇數(shù)17、19、21、23、25，…，
可知：每一組的最后一個(gè)數(shù)依次為：1,4,9,16,25，…，
歸納得到，每一組的最后一個(gè)數(shù)依次為：12,22,32,42，…，n2，…，
即第n個(gè)組最后一個(gè)數(shù)為n2.
利用1＋2＋3＋…＋n＝29或1＋2＋3＋…＋n≈29，n∈N*，得到：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋1＝29，
∴a1，a2，a3，a4，…，a29，
按上述分組共有8組，a29是第8組的第一個(gè)數(shù).
∵第七組最后一個(gè)數(shù)為72＝49，
由組間的差為1，得：a29＝49＋1＝50.
由于1＋2＋3＋…＋61＋62＋61＝2 014，
所以a2 014位于第63組，倒數(shù)第三個(gè)，
因?yàn)榈?3組最后一個(gè)數(shù)為632＝3 969，
由組內(nèi)的差為2，得：a2 014＝3 969－4＝3 965.
17.【答案】原命題可以寫成：若a是正數(shù)，則a的平方大于零；
逆命題：若a的平方大于零，則a是正數(shù)；
否命題：若a不是正數(shù)，則a的平方不大于零；
逆否命題：若a的平方不大于零，則a不是正數(shù)．
18.【解析】(1)若所求雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)，則將a＝4代入，得－＝1，
又點(diǎn)A(4，3)在雙曲線上，∴－＝1.解得b2＝9，則－＝1，
若所求雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)．同上，解得b2<0，不合題意，
∴雙曲線的方程為－＝1.
(2)設(shè)雙曲線的方程為mx2＋ny2＝1(mn<0)，
∵點(diǎn)A、B(3，－2)在雙曲線上，
∴解之得∴所求雙曲線的方程為－＝1.
19.【解析】(1)A(4,0),設(shè)圓心，設(shè)圓心C (x,y),線段MN的中點(diǎn)為E,由幾何圖像知
(2) 設(shè)直線l的方程為y=kx+b,聯(lián)立.
設(shè)，
則
若x軸是的角平分線，則
=即k=-b,
故直線l的方程為y=k(x-1), 直線l過定點(diǎn)（1,0）.
20.【答案】(1)＝＋，＝＋，
∵BB1⊥平面ABC，∴＝0，＝0，
又△ABC為正三角形，∴〈，〉＝π－〈，〉＝π－＝，
∵＝(＋)(＋)
＝＋＋2＋
＝||||cos〈，〉＋2＝－1＋1＝0，
∴AB1⊥BC1；
(2)結(jié)合(1)知＝||||cos〈，〉＋2＝2－1.
又||＝＝＝＝||，
∴cos〈，〉＝＝，∴||＝2，即側(cè)棱長為2.
21.【解析】∵e＝，∴＝，
∴＝，∴a2＝3b2. ①
又∵直線AB的方程為bx－ay－ab＝0，
∵d＝＝，即4a2b2＝3(a2＋b2)． ②
解由①②組成方程組得∴雙曲線方程為－y2＝1.
22.【解析】p：1＜2x＜8，即0＜x＜3，
∵p是q的充分條件，
∴不等式x2－mx＋4≥0對x∈(0，3)恒成立，
∴m≤＝x+對x∈(0，3)恒成立，
∵x＋≥2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時(shí)，等號(hào)成立，
∴m≤4，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－∞，4]．
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