[知識總結]九(上)第二章：一元二次方程

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1、北師大版九年級(上) 第二章：一元二次方程 1. 認識一元二次方程： 概念：只含有一個未知數(shù)，并且可以化為 (為常數(shù)，)的整式方程叫一元二次方程。 構成一元二次方程的三個重要條件： ①、方程必須是整式方程(分母不含未知數(shù)的方程)。 如：是分式方程，所以不是一元二次方程。 ②、只含有一個未知數(shù)。 ③、未知數(shù)的最高次數(shù)是2次。 2. 一元二次方程的一般形式： 一般形式： ()，系數(shù)中，一定不能為0，、則可以為0，所以以下幾種情形都是一元二次方程： ①、如果，則得，例如：； ②、如果，則得，例如：； ③、如果，則得，例如：； ④、如果，則得，例如：。 其中，叫做二

2、次項，叫做二次項系數(shù)；叫做一次項，叫做一次項系數(shù)；叫做常數(shù)項。任何一個一元二次方程經過整理(去括號、移項、合并同類項…)都可以化為一般形式。 例題：將方程化成一元二次方程的一般形式. 解： 去括號，得： 移項、合并同類項，得： (一般形式的等號右邊一定等于0) 3. 一元二次方程的解法： (1)、直接開方法：（利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解） 形式： 舉例：解方程： 解：方程兩邊除以9，得： (2)、配方法：（理論依

3、據(jù)：根據(jù)完全平方公式：，將原方程配成的形式，再用直接開方法求解.） 舉例：解方程： 配方法解一元二次方程 ()的步驟： 解： ①、二次項系數(shù)化為1. (兩邊都除以二次項系數(shù).) ②、移項.(把常數(shù)項移到=號右邊.) ③、配方.(兩邊都加上一次項系數(shù)絕對值一半的 平方，把原方程化成的形式) ④、求解.(用直接開方法求出方程的解.) (3)、公式法：（求

4、根公式：） 舉例：解方程： 公式法解一元二次方程的步驟： 解： ①、把一元二次方程化為一般形式：() ②、確定的值. ③、求出的值. ④、若，則把及的值代入求 根公式，求出和，若，則方程無解。 (4)、分解因式法：（理論依據(jù)：，則或；利用提公因式、運用公式、十字相乘等分解因式方法將原方程化成兩個因式相乘等于0的形式。） 【1】提公因式分解因式法： 舉例：①、解方程：

5、 ②、解方程： 解：原方程可變形為： 解：原方程可變形為： 或 或 【2】運用公式分解因式法： 舉例：①、解方程： ②、解方程： 解：原方程可變形為： 解：原方程可變形為：

6、 或 或 【3】十字相乘分解因式法(簡單、常用、重要的一元二次方程解法)： 舉例：解方程： 十字相乘法： 1 -6 交叉相乘：， 1 +1 即等于一次項系數(shù)。所以可以分解成 解：原方程可變形為：

7、或 【4】其它常見類型舉例： ①、解方程： ②、解方程： （換元法） 解：原方程可變形為： 解：令，原方程可化為：，即： 或 或 ，即 ， 或，即 方程無解。 原方程的解為

8、： 4. 一元二次方程的應用： ①、數(shù)字問題. ②、面積問題.(牢記有關面積的公式，熟練計算組合圖形的面積、面積的轉化.) ③、平均增長率(或降低率)問題.其基本關系式：，其中是增長(或降低)的基礎量，是平均增長(或降低)率，是增長(或降低)的次數(shù)（?？嫉氖莾赡昶?，即，），是增長(或降低)后的數(shù)量(總量)，增長為“+”，降低為“-”. ④、商品利潤問題(重點).基本公式： 1、單件利潤=單件進價 2、總利潤=單件利潤銷售量 ⑤、運動問題、動點問題。 例題：將進貨單價為40元的商品按50元售出時，能賣出500

9、個，已知這種商品每個漲價1元，其銷售量就減少10個。問：為了賺得8000元的利潤，售價應定為多少？這時應進貨多少個？ 解法一：設售價定為元，依題意可得： 整理得： 解得： 售價應定為60元或80元. 當定為60元時，應進貨個； 當定為80元時，應進貨個； 解法二：設上漲元，依題意可得： 整理得：

10、 解得： 售價應定為10+50=60元或30+50=80元. 當定為60元時，應進貨個； 當定為80元時，應進貨個； 5. 常考題型及其相應的知識點： (1)、利用一元二次方程的一個已知根求系數(shù)及求另一個根問題： 例1：關于的一元二次方程有一根為0，則的值為______. 思路分析：有一根為0，說明有，可代入原方程求出. 注意：一元二次方程時刻不要忘記對二次項系數(shù)的討論： 解：將代入原方程得：

11、 即： 又因為 即 的值為. 例2：一元二次方程 的一個根為，則另一個根為_______. 思路分析：先將已知的一個根代入原方程，解出未知系數(shù)，再解出此時一元二次方程的兩根. 解：將代入原方程得： 原方程即為： (2)、判別式：，方程根的情況： 判別式與一元二次方程

12、根的情況： 方程有兩個不相等的實數(shù)根. 方程有兩個相等的實數(shù)根(或說方程有一個實數(shù)根). 方程沒有實數(shù)根. 例1：關于的一元二次方程有實數(shù)根，則的取值范圍是______. 思路分析：方程有實數(shù)根，但具體不知道有多少個根，所以有. 解： 因為方程有實數(shù)根， 即： 例2：方程的根的情況是( ). A、只有一個

13、實數(shù)根. B、有兩個相等的實數(shù)根. C、有兩個不相等的實數(shù)根. D、沒有實數(shù)根 思路分析：判別方程根的情況，之需要計算判別式的值與0比較. 解： 方程沒有實數(shù)根，選擇D. (2)、一元二次方程根與系數(shù)關系，韋達定理： 如果是一元二次方程 ()的兩根，根據(jù)韋達定理，則有： 例1：已知一元二次方程的兩根，則____，____. 解：根據(jù)韋達定理得：

14、 另外：利用韋達定理求一些重要代數(shù)式(、、)的值： ①、 ②、 ③、 例2：若方程的兩根為，則的值為_____. 解：根據(jù)韋達定理得： 例3：已知關于的一元二次方程的兩實數(shù)根是，且 ，則的值是____. 解：根據(jù)韋達定理得：