高考數(shù)學(xué) 5.1 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法課件.ppt

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第五章數(shù)列第一節(jié)數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法 知識(shí)梳理 1 必會(huì)知識(shí)教材回扣填一填 1 數(shù)列的有關(guān)概念 一定順序 每一個(gè)數(shù) an f n a1 a2 an 2 數(shù)列的表示方法 n an 公式 3 an與Sn的關(guān)系 若數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn n 1 n 2 則an S1 Sn Sn 1 4 數(shù)列的分類 an 1 an an 1 an 2 必備結(jié)論教材提煉記一記常見(jiàn)數(shù)列的通項(xiàng)公式 自然數(shù)列 1 2 3 4 an n 奇數(shù)列 1 3 5 7 an 2n 1 偶數(shù)列 2 4 6 8 an 2n 平方數(shù)列 1 4 9 16 an n2 2的乘方數(shù)列 2 4 8 16 an 2n 倒數(shù)列 乘積數(shù)列 2 6 12 20 可化為 1 2 2 3 3 4 4 5 an n n 1 重復(fù)數(shù)串列 9 99 999 9999 an 10n 1 0 9 0 99 0 999 0 9999 an 1 10 n 符號(hào)調(diào)整數(shù)列 1 1 1 1 an 1 n 3 必用技法核心總結(jié)看一看 1 常用方法 由數(shù)列的前n項(xiàng)歸納通項(xiàng)公式的方法 遞推數(shù)列轉(zhuǎn)化的方法 判斷數(shù)列的單調(diào)性的方法以及求最大 小 項(xiàng)的方法 2 數(shù)學(xué)思想 函數(shù)與方程 分類討論 等價(jià)轉(zhuǎn)化 3 記憶口訣 數(shù)列函數(shù)同族類 函數(shù)性質(zhì)幫你忙 通項(xiàng)遞推關(guān)系式 等價(jià)轉(zhuǎn)化解析式 an與Sn關(guān)系式 分類討論來(lái)合并 歸納思想非常好 猜測(cè)證明不可少 小題快練 1 思考辨析靜心思考判一判 1 數(shù)列 an 和集合 a1 a2 a3 an 表達(dá)的意義相同 2 所有數(shù)列的第n項(xiàng)都能使用公式表達(dá) 3 如果數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 則對(duì) n N 都有an 1 Sn 1 Sn 4 在數(shù)列 an 中 對(duì)于任意正整數(shù)m n am n amn 1 若a1 1 則a2 2 5 若已知數(shù)列 an 的遞推公式為an 1 且a2 1 則可以寫出數(shù)列 an 的任何一項(xiàng) 解析 1 錯(cuò)誤 數(shù)列 an 是表示按照一定順序排列的一列數(shù) 為a1 a2 a3 an 而集合 a1 a2 a3 an 只表明該集合中有n個(gè)元素 數(shù)列中的項(xiàng)有順序 集合中的元素沒(méi)有順序 2 錯(cuò)誤 不是所有的數(shù)列的第n項(xiàng)都能使用公式直接表達(dá) 3 正確 根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)和的定義可知 4 正確 在am n amn 1中 令m n 1得a2 a1 1 1 1 2 5 正確 在已知遞推公式中 令n 1得a2 而a2 1解得a1 1 同理可得an 1 答案 1 2 3 4 5 2 教材改編鏈接教材練一練 1 必修5P31例3改編 在數(shù)列 an 中 a1 1 則a5 解析 選D 由已知得 2 必修5P29例1 2 改編 已知數(shù)列 an 的前四項(xiàng)分別為1 0 1 0 給出下列各式 其中可以作為數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式的有 寫出所有正確結(jié)論的序號(hào) 解析 根據(jù)各個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式分別寫出其前四項(xiàng) 只有 符合 答案 3 真題小試感悟考題試一試 1 2015 石家莊模擬 把1 3 6 10 15 21 這些數(shù)叫做三角形數(shù) 這是因?yàn)橐赃@些數(shù)目的點(diǎn)可以排成一個(gè)正三角形 如圖 則第7個(gè)三角形數(shù)是 A 27B 28C 29D 30 解析 選B 由圖可知 第7個(gè)三角形數(shù)是1 2 3 4 5 6 7 28 2 2015 蘭州模擬 已知數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和Sn n2an n 2 且a1 1 通過(guò)計(jì)算a2 a3 猜想an等于 解析 選B a1 1 因?yàn)镾n n2an n 2 所以S2 4a2 即a1 a2 4a2 所以當(dāng)n 3時(shí) S3 9a3 即a1 a2 a3 9a3 解得因此猜想 3 2015 廣州模擬 數(shù)列 an 滿足an an 1 n N a2 2 Sn是數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和 則S21為 解析 選B 因?yàn)閍n an 1 n N 所以故a2n 2 a2n 1 所以 4 2014 新課標(biāo)全國(guó)卷 數(shù)列 an 滿足an 1 a8 2 則a1 解析 由an 1 可得又a8 2 故答案 考點(diǎn)1由數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式 典例1 1 2015 深圳模擬 數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為 2 寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式 a b a b a b 其中a b為實(shí)數(shù) 3 33 333 3333 解題提示 1 根據(jù)a1 0 驗(yàn)證答案 用排除法求解 2 通過(guò)分析各數(shù)列已知項(xiàng)的數(shù)字特征的共性寫出各數(shù)列的通項(xiàng)公式 規(guī)范解答 1 選C 因?yàn)閍1 0 排除選項(xiàng)D 因?yàn)榕懦x項(xiàng)A B 只有選項(xiàng)C符合 2 這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的絕對(duì)值都等于序號(hào)與序號(hào)加1的積的倒數(shù) 且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù) 偶數(shù)項(xiàng)為正 所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an 這是一個(gè)擺動(dòng)數(shù)列 奇數(shù)項(xiàng)是a 偶數(shù)項(xiàng)是b 所以此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為 將數(shù)列各項(xiàng)改寫為 分母都是3 而分子分別是10 1 102 1 103 1 104 1 所以 將該數(shù)列的前4項(xiàng)改寫成分?jǐn)?shù)的形式 可得通項(xiàng)公式 規(guī)律方法 由前幾項(xiàng)歸納數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法及具體策略 1 常用方法 觀察 觀察規(guī)律 比較 比較已知數(shù)列 歸納 轉(zhuǎn)化 轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列 聯(lián)想 聯(lián)想常見(jiàn)的數(shù)列 等方法 2 具體策略 分式中分子 分母的特征 相鄰項(xiàng)的變化特征 拆項(xiàng)后的特征 各項(xiàng)的符號(hào)特征和絕對(duì)值特征 化異為同 對(duì)于分式還可以考慮對(duì)分子 分母各個(gè)擊破 或?qū)ふ曳肿?分母之間的關(guān)系 對(duì)于符號(hào)交替出現(xiàn)的情況 可用 1 k或 1 k 1 k N 處理 變式訓(xùn)練 根據(jù)下面各數(shù)列前幾項(xiàng)的值 寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式 1 2 3 4 5 55 555 5555 解析 1 將數(shù)列統(tǒng)一為 對(duì)于分子3 5 7 9 是序號(hào)的2倍加1 可得分子的通項(xiàng)公式為bn 2n 1 對(duì)于分母2 5 10 17 聯(lián)想到數(shù)列1 4 9 16 即數(shù)列 n2 可得分母的通項(xiàng)公式為cn n2 1 因此可得數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an 2 這是一個(gè)分?jǐn)?shù)數(shù)列 其分子構(gòu)成偶數(shù)數(shù)列 而分子可分解為1 3 3 5 5 7 7 9 9 11 每一項(xiàng)都是兩個(gè)相鄰奇數(shù)的乘積 知所求數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為 3 數(shù)列的各項(xiàng) 有的是分?jǐn)?shù) 有的是整數(shù) 可將數(shù)列的各項(xiàng)都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀察 即 從而可得數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為 4 將原數(shù)列改寫為 易知數(shù)列9 99 999 的通項(xiàng)為10n 1 故所求的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為 加固訓(xùn)練 根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng) 寫出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式 1 1 7 13 19 2 0 8 0 88 0 888 3 解析 1 符號(hào)可通過(guò) 1 n表示 后面的數(shù)的絕對(duì)值總比前一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值大6 故通項(xiàng)公式為an 1 n 6n 5 2 數(shù)列變?yōu)樗云渫?xiàng)公式為 3 各項(xiàng)的分母分別為21 22 23 24 易看出第2 3 4項(xiàng)的分子分別比分母少3 因此把第1項(xiàng)變?yōu)樵瓟?shù)列化為 所以 考點(diǎn)2an與Sn關(guān)系式的應(yīng)用 典例2 1 2015 臨沂模擬 已知數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和則a4等于 2 已知數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn a1 1 Sn 2an 1 則Sn 解題提示 1 直接根據(jù)a4 S4 S3求出即可 2 根據(jù) n N 都有an 1 Sn 1 Sn 把Sn 2an 1化為Sn 1與Sn之間的關(guān)系 求出數(shù)列 Sn 的通項(xiàng) 另外也可根據(jù)Sn 2an 1得出Sn 1 2an 進(jìn)而得出an 1與an的關(guān)系 從而求出Sn 規(guī)范解答 1 選A 2 選B 方法一 因?yàn)閍n 1 Sn 1 Sn 所以由Sn 2an 1得 Sn 2 Sn 1 Sn 整理得3Sn 2Sn 1 所以所以數(shù)列 Sn 是以S1 a1 1為首項(xiàng) 為公比的等比數(shù)列 所以故選B 方法二 因?yàn)镾n 2an 1 所以Sn 1 2an n 2 兩式相減得 an 2an 1 2an 所以 所以數(shù)列 an 從第2項(xiàng)起為等比數(shù)列 又n 1時(shí) S1 2a2 所以所以 互動(dòng)探究 若本例題 2 中 結(jié)論改為求an 應(yīng)如何求解 解析 根據(jù)原題的結(jié)果當(dāng)n 1時(shí) a1 1 當(dāng)n 2時(shí) an Sn Sn 1 n 1時(shí)不適合這個(gè)公式 所以 規(guī)律方法 已知Sn求an的三個(gè)步驟 1 先利用a1 S1求出a1 2 用n 1替換Sn中的n得到一個(gè)新的關(guān)系 利用an Sn Sn 1 n 2 便可求出當(dāng)n 2時(shí)an的表達(dá)式 3 對(duì)n 1時(shí)的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn) 看是否符合n 2時(shí)an的表達(dá)式 如果符合 則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫 如果不符合 則應(yīng)該分n 1與n 2兩段來(lái)寫 變式訓(xùn)練 已知下面數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和Sn 求 an 的通項(xiàng)公式 1 Sn 2n2 3n 2 Sn 3n b 解析 1 a1 S1 2 3 1 當(dāng)n 2時(shí) an Sn Sn 1 2n2 3n 2 n 1 2 3 n 1 4n 5 由于當(dāng)n 1時(shí)也適合此等式 所以an 4n 5 2 a1 S1 3 b 當(dāng)n 2時(shí) an Sn Sn 1 3n b 3n 1 b 2 3n 1 當(dāng)b 1時(shí) a1適合此等式 當(dāng)b 1時(shí) a1不適合此等式 所以當(dāng)b 1時(shí) an 2 3n 1 當(dāng)b 1時(shí) 加固訓(xùn)練 1 已知數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和Sn n2 3n 若an 1an 2 80 則n的值為 A 5B 4C 3D 2 解析 選A 因?yàn)镾n n2 3n 所以a1 S1 2 當(dāng)n 2時(shí) an Sn Sn 1 4 2n 因此an 4 2n n N 又因?yàn)閍n 1an 2 80 即 4 2 n 1 4 2 n 2 80 n n 1 20 解得n 5或n 4 舍去 2 2015 重慶模擬 設(shè)數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 且Sn 2n 1 數(shù)列 bn 滿足b1 2 bn 1 2bn 8an 1 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 2 證明 數(shù)列為等差數(shù)列 并求 bn 的通項(xiàng)公式 解析 1 當(dāng)n 1時(shí) a1 S1 21 1 1 當(dāng)n 2時(shí) an Sn Sn 1 2n 1 2n 1 1 2n 1 因?yàn)閍1 1適合通項(xiàng)公式an 2n 1 所以an 2n 1 n N 2 因?yàn)閎n 1 2bn 8an 所以bn 1 2bn 2n 2 即所以是首項(xiàng)為1 公差為2的等差數(shù)列 所以 1 2 n 1 2n 1 所以bn 2n 1 2n 考點(diǎn)3由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式 典例3 1 在數(shù)列 an 中 a1 2 an 1 則an等于 A 2 lnnB 2 n 1 lnnC 2 nlnnD 1 n lnn 2 設(shè) an 是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列 且 n 1 an 12 nan2 an 1 an 0 n 1 2 3 則它的通項(xiàng)公式an 解題提示 1 把已知轉(zhuǎn)化為采用疊加的方法求an 2 把已知轉(zhuǎn)化為采用疊乘的方法求an 規(guī)范解答 1 選A 由已知 所以 將以上n 1個(gè)式子疊加 得 lnn 所以an 2 lnn n 2 經(jīng)檢驗(yàn)n 1時(shí)也適合 故選A 2 因?yàn)?n 1 an 12 an 1 an nan2 0 所以 an 1 an n 1 an 1 nan 0 又an 1 an 0 所以 n 1 an 1 nan 0 即所以所以答案 規(guī)律方法 典型的遞推數(shù)列及處理方法 其中 1 an 1 pan q p 0 1 q 0 的求解方法是 設(shè)an 1 p an 即an 1 pan p 與an 1 pan q比較即可知只要 2 an 1 pan q pn 1 p 0 1 q 0 的求解方法是兩端同時(shí)除以pn 1 即得數(shù)列為等差數(shù)列 提醒 對(duì)于有些遞推公式要注意參數(shù)的限制條件 變式訓(xùn)練 根據(jù)下列條件 確定數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 1 a1 1 an 1 3an 2 2 a1 2 an 1 an 3n 2 解析 1 因?yàn)閍n 1 3an 2 所以an 1 1 3 an 1 所以所以數(shù)列 an 1 為等比數(shù)列 公比q 3 又a1 1 2 所以an 1 2 3n 1 所以an 2 3n 1 1 2 因?yàn)閍n 1 an 3n 2 所以an an 1 3n 1 n 2 所以an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 當(dāng)n 1時(shí) a1 2符合上式 所以 加固訓(xùn)練 1 設(shè)數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 已知2an 2n Sn 則數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式an 解析 令n 1得a1 2 由2an 2n Sn 得2an 1 2n 1 Sn 1 整理得an 1 2an 2n 即即數(shù)列是首項(xiàng)為1 公差為的等差數(shù)列 故故an n 1 2n 1 答案 n 1 2n 1 2 已知數(shù)列 an 中 a1 1 則數(shù)列 bn 的通項(xiàng)公式bn 解析 由于an 1 2 即bn 1 4bn 2 又a1 1 故所以是首項(xiàng)為公比為4的等比數(shù)列 答案 考點(diǎn)4數(shù)列的性質(zhì)知 考情因?yàn)閿?shù)列可以看作是一類特殊的函數(shù) 所以數(shù)列也具備函數(shù)應(yīng)具備的性質(zhì) 因此 高考命題往往以數(shù)列作載體 用選擇題 填空題的形式考查單調(diào)性 周期性等問(wèn)題 明 角度命題角度1 數(shù)列的單調(diào)性問(wèn)題 典例4 已知那么數(shù)列 an 是 A 遞減數(shù)列B 遞增數(shù)列C 常數(shù)列D 擺動(dòng)數(shù)列 解題提示 利用比較法判斷 規(guī)范解答 選B 因?yàn)樗运运詀n 1 an 所以數(shù)列 an 是遞增數(shù)列 一題多解 解答本題 你知道幾種解法 解答本題 還有以下解法 因?yàn)楦鶕?jù)函數(shù)為減函數(shù) 知 x 0 為增函數(shù) 即為增函數(shù) 則an為遞增數(shù)列 命題角度2 數(shù)列的周期性問(wèn)題 典例5 2015 哈爾濱模擬 數(shù)列 an 滿足則數(shù)列的第2015項(xiàng)為 解題提示 先根據(jù)已知推理得出數(shù)列的周期 再利用周期性求解 規(guī)范解答 因?yàn)樗詀2 2a1 1 所以a3 2a2 所以a4 2a3 a5 2a4 1 a6 2a5 1 所以該數(shù)列的周期T 4 而2015 4 503 3 所以a2015 a3 答案 悟 技法1 解決數(shù)列的單調(diào)性問(wèn)題可用以下三種方法 1 用作差比較法 根據(jù)an 1 an的符號(hào)判斷數(shù)列 an 是遞增數(shù)列 遞減數(shù)列或是常數(shù)列 2 用作商比較法 根據(jù) an 0或an 0 與1的大小關(guān)系進(jìn)行判斷 3 結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷 2 解決數(shù)列周期性問(wèn)題的方法先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng) 確定數(shù)列的周期 再根據(jù)周期性求值 通 一類1 2015 武漢模擬 已知數(shù)列 xn 滿足xn 3 xn xn 2 xn 1 xn n N 若x1 1 x2 a a 1且a 0 則數(shù)列 xn 的前2015項(xiàng)的和S2015為 A 671B 670C 1342D 1344 解題提示 推算出 xn 的周期 利用周期性簡(jiǎn)化計(jì)算 解析 選D 由題意x1 1 x2 a x3 x2 x1 a 1 1 a x4 1 a a 1 2a 又x4 x1 所以 1 2a 1 又因?yàn)閍 0 所以a 1 所以此數(shù)列為 1 1 0 1 1 0 其周期為3 所以S2015 S671 3 2 671 2 2 1344 2 2015 西安模擬 已知數(shù)列 an 滿足a1 33 an 1 an 2n 則的最小值為 解析 選B 因?yàn)閍n 1 an 2n 所以an an 1 2 n 1 所以an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 2n 2 2n 4 2 33 n2 n 33 n 2 又a1 33適合上式 所以an n2 n 33 所以令f x 則f x 令f x 0得所以當(dāng)0 x 時(shí) f x 0 當(dāng)時(shí) f x 0 即f x 在區(qū)間上遞減 在區(qū)間上遞增 又且所以f 5 f 6 所以當(dāng)n 6時(shí) 有最小值 創(chuàng)新體驗(yàn)5數(shù)列的新定義問(wèn)題 創(chuàng)新點(diǎn)撥 1 高考考情 以數(shù)列為背景的新定義問(wèn)題是高考命題創(chuàng)新型試題的一個(gè)熱點(diǎn) 考查頻次較高 2 命題形式 常見(jiàn)的有新定義 新規(guī)則等 新題快遞 1 2015 石家莊模擬 將石子擺成如圖所示的梯形形狀 稱數(shù)列5 9 14 20 為 梯形數(shù) 根據(jù)圖形的構(gòu)成 此數(shù)列的第2014項(xiàng)與5的差 即a2014 5 A 2018 2012B 2020 2013C 1009 2012D 1010 2013 解析 選D 因?yàn)閍n an 1 n 2 n 2 a1 5 所以a2014 a2014 a2013 a2013 a2012 a2 a1 a1 2016 2015 4 5 1010 2013 5 所以a2014 5 1010 2013 故選D 2 2015 武漢模擬 在一個(gè)數(shù)列中 如果 n N 都有anan 1an 2 k k為常數(shù) 那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列 k叫做這個(gè)數(shù)列的公積 已知數(shù)列 an 是等積數(shù)列 且a1 1 a2 2 公積為8 則a1 a2 a3 a12 解析 依題意得數(shù)列 an 是周期為3的數(shù)列 且a1 1 a2 2 a3 4 因此a1 a2 a3 a12 4 a1 a2 a3 4 1 2 4 28 答案 28 3 2015 煙臺(tái)模擬 對(duì)于E a1 a2 a100 的子集X 定義X的 特征數(shù)列 為x1 x2 x100 其中其余項(xiàng)均為0 例如 子集 a2 a3 的 特征數(shù)列 為0 1 1 0 0 0 1 子集 a1 a3 a5 的 特征數(shù)列 的前3項(xiàng)和等于 2 若E的子集P的 特征數(shù)列 為p1 p2 p100滿足p1 1 pi pi 1 1 1 i 99 E的子集Q的 特征數(shù)列 為q1 q2 q100滿足q1 1 qj qj 1 qj 2 1 1 j 98 則P Q的元素個(gè)數(shù)為 解析 1 子集 a1 a3 a5 的 特征數(shù)列 的前三項(xiàng)是1 0 1 故和為2 2 根據(jù)題設(shè)條件 子集P的 特征數(shù)列 是1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 子集Q的 特征數(shù)列 是1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 發(fā)現(xiàn)p1 q1 1 p7 q7 1 p6i 5 q6i 5 1 于是令6n 5 97 得n 17 所以P Q的元素個(gè)數(shù)為17 答案 1 2 2 17 備考指導(dǎo) 1 準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化 解決數(shù)列新定義問(wèn)題時(shí) 一定要讀懂新定義的本質(zhì)含義 將題目所給定義轉(zhuǎn)化成題目要求的形式 切忌同已有概念或定義相混淆 2 方法選取 對(duì)于數(shù)列新定義問(wèn)題 搞清定義是關(guān)鍵 仔細(xì)認(rèn)真地從前幾項(xiàng) 特殊處 簡(jiǎn)單處 體會(huì)題意 從而找到恰當(dāng)?shù)慕鉀Q方法