2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課時(shí)規(guī)范練54 相關(guān)性、最小二乘估計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例 理 北師大版.doc

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課時(shí)規(guī)范練54　相關(guān)性、最小二乘估計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例 基礎(chǔ)鞏固組 1.(2018福建莆田模擬,3)設(shè)一個(gè)線性回歸方程y=3+1.2x,當(dāng)變量x每增加一個(gè)單位時(shí),則y的變化情況正確的是(　　) A.y平均增加約1.2個(gè)單位 B.y平均增加約3個(gè)單位 C.y平均減少約1.2個(gè)單位 D.y平均減少約3個(gè)單位 2.(2018黑龍江模擬十,6)下列表格所示的五個(gè)散點(diǎn),原本數(shù)據(jù)完整,且利用最小二乘法求得這五個(gè)散點(diǎn)的線性回歸直線方程為y=0.8x-155,后因某未知原因使第5組數(shù)據(jù)的y值模糊不清,此位置數(shù)據(jù)記為m(如下表所示),則利用回歸方程可求得實(shí)數(shù)m的值為(　　) x 196 197 200 203 204 y 1 3 6 7 m A.8.3 B.8.2 C.8.1 D.8 3.(2018廣東佛山二模,5)某同學(xué)用收集到的6組數(shù)據(jù)對(duì)(xi,yi)(i=1,2,3,4,5,6)制作成如圖所示的散點(diǎn)圖(點(diǎn)旁的數(shù)據(jù)為該點(diǎn)坐標(biāo)),并由最小二乘法計(jì)算得到回歸直線l的方程為y=bx+a,相關(guān)系數(shù)為r.現(xiàn)給出以下3個(gè)結(jié)論:①r>0;②直線l恰好過(guò)點(diǎn)D;③b>1.其中正確結(jié)論是(　　) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 4.(2018遼南協(xié)作校一模,3)根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)得到回歸直線方程y=bx+a,其中a=10.5,則當(dāng)x=6時(shí),y的估計(jì)值是(　　) x 4 2 3 5 y 49 26 39 54 A.57.5 B.61.5 C.64.5 D.67.5 5.(2018黑龍江仿真模擬十一,5)某研究型學(xué)習(xí)小組調(diào)查研究學(xué)生使用智能手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)的影響.部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表: 使用智能手機(jī) 不使用智能手機(jī) 總計(jì) 學(xué)習(xí)成績(jī)優(yōu)秀 4 8 12 學(xué)習(xí)成績(jī)不優(yōu)秀 16 2 18 總　計(jì) 20 10 30 附表: P(χ2>k0) 0.10 0.05 0.010 k0 2.706 3.841 6.635 經(jīng)計(jì)算χ2=10,則下列選項(xiàng)正確的是(　　) A.有99%的把握認(rèn)為使用智能手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)有影響 B.有99%的把握認(rèn)為使用智能手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)無(wú)影響 C.有95%的把握認(rèn)為使用智能手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)有影響 D.有95%的把握認(rèn)為使用智能手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)無(wú)影響 6.(2018河南洛陽(yáng)質(zhì)檢,13)某工廠為了對(duì)新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià),將該產(chǎn)品按事先擬訂的價(jià)格進(jìn)行試銷,得到如下數(shù)據(jù). 單價(jià)x/元 4 5 6 7 8 9 銷量y/件 90 84 83 80 75 68 由表中數(shù)據(jù)求得線性回歸方程y=-4x+a,則x=10元時(shí)預(yù)測(cè)銷量為　　　　　件. 7.(2018河南商丘模擬,19)已知具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量x,y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表所示: x 2 4 6 8 10 y 3 6 7 10 12 (1)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程y=bx+a,并估計(jì)當(dāng)x=20時(shí),y的值; (2)將表格中的數(shù)據(jù)看作五個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),則從這五個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)抽取2個(gè)點(diǎn),求恰有1個(gè)點(diǎn)落在直線2x-y-4=0右下方的概率. 參考公式:b=∑i=1nxiyi-nx y∑i=1nxi2-n(x)2,a=y-bx. 綜合提升組 8.(2018河北保定一模,3)已知具有線性相關(guān)的變量x,y,設(shè)其樣本點(diǎn)為Ai(xi,yi)(i=1,2,…,8),回歸直線方程為y=x+a,若OA1+OA2+…+OA8=(6,2),(O為原點(diǎn)),則a=(　　) A. B.- C. D.- 9.(2018安徽合肥一中最后1卷,文13)為了研究某班學(xué)生的腳長(zhǎng)x(單位:cm)和身高y(單位:cm)的關(guān)系,從該班隨機(jī)抽取10名學(xué)生,根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系,設(shè)其回歸直線方程為y=bx+a.已知∑i=110xi=225,∑i=110yi=1 600,b=4.該班某學(xué)生的腳長(zhǎng)為24 cm,據(jù)此估計(jì)其身高為　　　　　 cm. 10.(2018安徽蚌埠一模,文19)某圖書(shū)公司有一款圖書(shū)的歷史收益率(收益率=利潤(rùn)每本收入)的頻率分布直方圖如圖所示: (1)試估計(jì)平均收益率;(用區(qū)間中點(diǎn)值代替每一組的數(shù)值) (2)根據(jù)經(jīng)驗(yàn),若每本圖書(shū)的收入在20元的基礎(chǔ)上每增加x元,對(duì)應(yīng)的銷量y(萬(wàn)本)與x(元)有較強(qiáng)線性相關(guān)關(guān)系,從歷史銷售記錄中抽樣得到如下5組x與y的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù): x元 25 30 38 45 52 銷量y萬(wàn)本 7.5 7.1 6.0 5.6 4.8 據(jù)此計(jì)算出的回歸方程為y=10.0-bx. ①求參數(shù)b的估計(jì)值; ②若把回歸方程y=10.0-bx當(dāng)作y與x的線性關(guān)系,x取何值時(shí),此產(chǎn)品獲得最大收益?求出該最大收益. 11.(2018山東日照5月校際聯(lián)考,19)為了緩解日益擁堵的交通狀況,不少城市實(shí)施車(chē)牌競(jìng)價(jià)策略,以控制車(chē)輛數(shù)量.某地車(chē)牌競(jìng)價(jià)的基本規(guī)則是:①“盲拍”,即所有參與競(jìng)拍的人都要網(wǎng)絡(luò)報(bào)價(jià)一次,每個(gè)人不知曉其他人的報(bào)價(jià),也不知道參與當(dāng)期競(jìng)拍的總?cè)藬?shù);②競(jìng)價(jià)時(shí)間截止后,系統(tǒng)根據(jù)當(dāng)期車(chē)牌配額,按照競(jìng)拍人的出價(jià)從高到低分配名額.某人擬參加2018年5月份的車(chē)牌競(jìng)拍,他為了預(yù)測(cè)最低成交價(jià),根據(jù)競(jìng)拍網(wǎng)站的數(shù)據(jù),統(tǒng)計(jì)了最近5個(gè)月參與競(jìng)拍的人數(shù)(見(jiàn)下表): 月　份 2017.12 2018.01 2018.02 2018.03 2018.04 月份編號(hào)t 1 2 3 4 5 競(jìng)拍人數(shù)y(萬(wàn)人) 0.5 0.6 1 1.4 1.7 (1)由收集數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn),可用線性回歸模型擬合競(jìng)拍人數(shù)y(萬(wàn)人)與月份編號(hào)t之間的相關(guān)關(guān)系.請(qǐng)用最小二乘法求出y關(guān)于t的線性回歸方程:y=bt+a,并預(yù)測(cè)2018年5月份參與競(jìng)拍的人數(shù). (2)某市場(chǎng)調(diào)研機(jī)構(gòu)從擬參加2018年5月份車(chē)牌競(jìng)拍人員中,隨機(jī)抽取了200人,對(duì)他們的擬報(bào)價(jià)價(jià)格進(jìn)行了調(diào)查,得到如下頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖: 報(bào)價(jià)區(qū)間(萬(wàn)元) [1,2) [2,3) [3,4) [4,5) [5,6) [6,7) [7,8) 頻數(shù) 10 30 a 60 30 20 10 ①求a,b的值及這200位競(jìng)拍人員中報(bào)價(jià)大于5萬(wàn)元的人數(shù); ②若2018年5月份車(chē)牌配額數(shù)量為3 000,假設(shè)競(jìng)拍報(bào)價(jià)在各區(qū)間分布是均勻的,請(qǐng)你根據(jù)以上抽樣的數(shù)據(jù)信息,預(yù)測(cè)(需說(shuō)明理由)競(jìng)拍的最低成交價(jià). 參考公式及數(shù)據(jù):①y=bx+a,其中b=∑i=1nxiyi-nx y∑i=1nxi2-nx2,a=y-bx;②∑i=15ti2=55,∑i=15tiyi=18.8. 創(chuàng)新應(yīng)用組 12.(2018黑龍江哈爾濱三中一模,10)千年潮未落,風(fēng)起再揚(yáng)帆,為實(shí)現(xiàn)“兩個(gè)一百年”奮斗目標(biāo)、實(shí)現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興的中國(guó)夢(mèng)奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ),哈三中積極響應(yīng)國(guó)家號(hào)召,不斷加大拔尖人才的培養(yǎng)力度,據(jù)不完全統(tǒng)計(jì): 年份(屆) 2014 2015 2016 2017 學(xué)科競(jìng)賽獲省級(jí)一等獎(jiǎng) 及以上學(xué)生人數(shù)x 51 49 55 57 被清華、北大等世界名校 錄取的學(xué)生人數(shù)y 103 96 108 107 根據(jù)上表可得回歸方程y=bx+a中的b為1.35,我校2018屆同學(xué)在學(xué)科競(jìng)賽中獲省級(jí)一等獎(jiǎng)以上學(xué)生人數(shù)為63人,據(jù)此模型預(yù)報(bào)我校今年被清華、北大等世界名校錄取的學(xué)生人數(shù)為(　　) A.111 B.115 C.117 D.123 13.(2018湖北七校聯(lián)盟2月聯(lián)考,19)已知雞的產(chǎn)蛋量與雞舍的溫度有關(guān),為了確定下一個(gè)時(shí)段雞舍的控制溫度,某企業(yè)需要了解雞舍的溫度x(單位:℃),對(duì)某種雞的時(shí)段產(chǎn)蛋量y(單位:t)和時(shí)段投入成本z(單位:萬(wàn)元)的影響,為此,該企業(yè)收集了7個(gè)雞舍的時(shí)段控制溫度xi和產(chǎn)蛋量yi(i=1,2,…,7)的數(shù)據(jù),對(duì)數(shù)據(jù)初步處理后得到了如圖所示的散點(diǎn)圖和表中的統(tǒng)計(jì)量的值. ∑i=17(xi-x)2 17.40 82.30 3.6 140 ∑i=17(ki-k)2 ∑i=17(xi-)(yi-) ∑i=17(xi-)(ki-) 9.7 2 935.1 35.0 其中ki=ln yi,k=17∑i=17ki. (1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,y=bx+a與y=c1ec2x哪一個(gè)更適宜作為該種雞的時(shí)段產(chǎn)蛋量y關(guān)于雞舍時(shí)段控制溫度x的回歸方程類型?(給判斷即可,不必說(shuō)明理由) (2)若用y=c1ec2x作為回歸方程模型,根據(jù)表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程; (3)已知時(shí)段投入成本z與x,y的關(guān)系為z=e-2.5y-0.1x+10,當(dāng)時(shí)段控制溫度為28 ℃時(shí),雞的時(shí)段產(chǎn)蛋量及時(shí)段投入成本的預(yù)報(bào)值分別是多少? 附:①對(duì)于一組具有有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(μi,vi)(i=1,2,3,…,n),其回歸直線v=βu+α的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為β=∑i=1n(ui-u)(vi-v)∑i=1n(ui-u)2,α=v-βu ② e-2.5 e-0.75 e e3 e7 0.08 0.47 2.72 20.09 1 096.63 　　　 　　　　　　 　　　　　　 參考答案 課時(shí)規(guī)范練54　相關(guān)性、最小二乘估計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例 1.A　令x=a,y=3+1.2a,令x=a+1,則y=3+1.2(a+1)=4.2+1.2a,所以當(dāng)變量x每增加一個(gè)單位時(shí),則y平均增加約1.2個(gè)單位,故選A. 2.D　由題意可得:x=196+197+200+203+2045=200,y=1+3+6+7+m5=17+m5,回歸方程過(guò)樣本中心點(diǎn),則:17+m5=0.8200-155,解得m=8,故選D. 3.A　由題圖可知這些點(diǎn)分布在一條斜率大于零的直線附近,所以為正相關(guān),即相關(guān)系數(shù)r>0; 因?yàn)閤=0+1+2+3+5+76=3,y=1.5+2+2.3+3+5+4.26=3, 所以回歸直線l的方程必過(guò)點(diǎn)(3,3),即直線l恰好過(guò)點(diǎn)D.因?yàn)橹本€l斜率接近于AD斜率,而kAD=3-1.53=12<1,所以③錯(cuò)誤,綜上正確結(jié)論是①②,故選A. 4.C　自變量x的平均數(shù)x=4+2+3+54=3.5,自變量y的平均數(shù)y=49+26+39+544=42. ∵線性回歸直線方程y=bx+a過(guò)樣本中心點(diǎn)(x,y),其中a=10.5,∴42=b3.5+10.5,即b=9. ∴當(dāng)x=6時(shí),y=96+10.5=64.5,故選C. 5.A　由于χ2=10>6. 635,據(jù)此結(jié)合獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想可知:有99%的把握認(rèn)為使用智能手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)有影響,故選A. 6.66　由已知得x= (4+5+6+7+8+9)=132,y= (90+84+83+80+75+68)=80, ∴a=80+4132=106,∴當(dāng)x=10時(shí),y=106-40=66,故答案為66. 7.解 (1)x= (2+4+6+8+10)=6,y= (3+6+7+10+12)=7.6, ∑i=15xi2=4+16+36+64+100=220,∑i=15xiyi=6+24+42+80+120=272, b=∑i=15xiyi-5x y∑i=15xi2-5(x)2=272-567.6220-562=4440=1.1,∴a=7.6-61.1=1, ∴回歸直線方程為y=1.1x+1,故當(dāng)x=20時(shí),y=23. (2)可以判斷,落在直線2x-y-4=0右下方的點(diǎn)滿足2x-y-4>0, 故符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為(6,7),(8,10),(10,12),共有10種取法,滿足條件的有6種,所以P=610=35. 8.B　因?yàn)镺A1+OA2+…+OA8=(x1+x2+…+x8,y1+y2+…+y8)=(8x,8y)=(6,2),所以8x=6,8y=2?x=,y=,因此=+a,即a=-,故選B. 9.166　由∑i=110xi=225,∑i=110yi=1 600,利用平均值公式求得x=22.5,y=160, ∵b=4,∴a=160-422.5=70,從而當(dāng)x=24時(shí),y=424+70=166,故答案為166. 10.解 (1)區(qū)間中值依次為:0.05,0.15,0.25,0.35,0.45,0.55,取值的估計(jì)概率依次為:0.1,0.2,0.25,0.3,0.1,0.05,故平均收益率為 0.050.10+0.150.20+0.250.25+0.350.30+0.450.10+0.550.05=0.275. (2)①x=25+30+38+45+525=1905=38,y=7.5+7.1+6.0+5.6+4.85=315=6.2, 將(38,6.2)代入y=10-bx,得b=10.0-6.238=0.10. ②設(shè)每本圖書(shū)的收入是20+x元,則銷量為y=10-0.1x,則圖書(shū)總收入為 f(x)=(20+x)(10-0.1x)=200+8x-0.1x2=360-0.1(x-40)2(萬(wàn)元), 當(dāng)x=40時(shí),圖書(shū)公司總收入最大為360萬(wàn)元,預(yù)計(jì)獲利為3600.275=99萬(wàn)元. 11.解 (1)易知=1+2+3+4+55=3,y=0.5+0.6+1+1.4+1.75=1.04,b=∑i=15tiyi-5t y∑i=15ti2-5t2=18.8-531.0455-532=0.32,a=y-b=1.04-0.323=0.08, 則y關(guān)于t的線性回歸方程為y=0.32t+0.08,當(dāng)t=6時(shí),y=2.00,即2018年5月份參與競(jìng)拍的人數(shù)估計(jì)為2萬(wàn)人. (2)①由a200=0.20解得a=40.由頻率和為1,得(0.052+0.10+2b+0.20+0.30)1=1,解得b=0.15,200位競(jìng)拍人員報(bào)價(jià)大于5萬(wàn)元的人數(shù)為(0.05+0.10+0.15)200=60人. ②2018年5月份實(shí)際發(fā)放車(chē)牌數(shù)量為3 000,根據(jù)競(jìng)價(jià)規(guī)則,報(bào)價(jià)在最低成交價(jià)以上人數(shù)占總?cè)藬?shù)比例為3 00020 000100%=15%;又由頻率分布直方圖知競(jìng)拍報(bào)價(jià)大于6萬(wàn)元的頻率為0.05+0.10=0.15, 所以,根據(jù)統(tǒng)計(jì)思想(樣本估計(jì)總體)可預(yù)測(cè)2018年5月份競(jìng)拍的最低成交價(jià)為6萬(wàn)元. 12.C　由題意得x=51+49+55+574=53,y=103+96+108+1074=103.5. ∵數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)在線性回歸直線上,y=bx+a中的b為1.35,∴103.5=1.3553+a,即a=31.95,∴線性回歸方程是y=1.35x+31.95. ∵2018屆同學(xué)在學(xué)科競(jìng)賽中獲省級(jí)一等獎(jiǎng)以上學(xué)生人數(shù)為63人, ∴今年被清華、北大等世界名校錄取的學(xué)生人數(shù)為1.3563+31.95=117,故選C. 13.解 (1)y=c1ec2x適宜. (2)由y=c1ec2x得ln y=c2x+ln c1,令ln y=k,c2=β,α=ln c1,由圖表中的數(shù)據(jù)可知β=35140=14,α=-34,∴k=14x-34,∴y關(guān)于x的回歸方程為y=ex4-34=0.47ex4. (3)當(dāng)x=28時(shí),由回歸方程得y=0.471 096.63=515.4,z=0.08515. 4-2.8+10=48.432. 即雞舍的溫度為28 ℃時(shí),雞的時(shí)段產(chǎn)量的預(yù)報(bào)值為515.4,投入成本的預(yù)報(bào)值為48.432.