崔氏班六年級第五講 容斥原理 答案版

《崔氏班六年級第五講 容斥原理 答案版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《崔氏班六年級第五講 容斥原理 答案版（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、快樂數(shù)學崔氏班（QQ群）：121260514，歡迎加入，共同進步。崔氏班六年級第五講容斥原理1、實驗小學五年級二班，參加語文興趣小組的有人，參加數(shù)學興趣小組的有人，有人兩個小組都參加這個班有多少人參加了語文或數(shù)學興趣小組？【解析】 如圖所示，圓表示參加語文興趣小組的人，圓表示參加數(shù)學興趣 小組的人，與重合的部分(陰影部分)表示同時參加兩個小組的 人圖中圓不含陰影的部分表示只參加語文興趣小組未參加數(shù)學興 趣小組的人，有(人)；圖中圓不含陰影的部分表示只參加 數(shù)學興趣小組未參加語文興趣小組的人，有(人)方法一：由此得到參加語文或數(shù)學興趣小組的有：(人) 方法二：根據(jù)包含排除法，直接可得： 參加語文

2、或數(shù)學興趣小組的人參加語文興趣小組的人參加數(shù)學興趣小組的人兩個小組都參加的人，即：(人)2、有100位旅客，其中有10人既不懂英語，又不懂俄語，有75人懂英語，又83人懂俄語.那么這100位旅客中既懂英語又懂俄語的有多少人.【解析】如圖，用圓表示懂英語的75人，圓表示懂俄語的83人.那么(人)，人. 3、二元容斥在1至2011的自然數(shù)中，（1)能被3或7整除的數(shù)有個；（2)既能被3整除，又能被7整除的有個；（3)能被3整除，但不能被7整除的有個；（4)能被7整除，但不能被3整除的有個.【解析】如圖，我們用方框表示12011中的所有自然數(shù)；圓表示能被3整除的自然數(shù)；圓表示能被7整除的自然數(shù)；那么

3、中間重疊部分表示既能被3整除，有能被7整除的自然數(shù)，即.那么我們能求出：；.（1)（2)（3)（4) 4、在1至2011的自然數(shù)中，（1)能被3或5或7整除的數(shù)有個；（2)能同時被3,5,7整除的有個；（3)能被3整除，但不能被5和7整除的有個；（4)能被5和7整除，但不能被3整除的有個.【解析】如圖，我們用方框表示12011中的所有自然數(shù)；圓表示能被3整除的自然數(shù)；圓表示能被5整除的自然數(shù)；圓表示能被7整除的自然數(shù).那么我們能求出：；.（1)（2)（3)（4) 5、(2008年西城實驗考題)在1至2008這2008個自然數(shù)中，恰好是3、5、7中兩個數(shù)的倍數(shù)的數(shù)共有 個【解析】1到2008這2

4、008個自然數(shù)中，3和5的倍數(shù)有個，3 和7的倍數(shù)有個，5和7的倍數(shù)有個，3、5 和7的倍數(shù)有個所以，恰好是3、5、7中兩個數(shù)的倍 數(shù)的共有個6、在2至400 的偶數(shù)中，既不能被3整除，又不能被5整除，同時不能被7整除的整數(shù)有多少個？【解析】首先2至400共200個偶數(shù)，即：，從而符合條件的個.7、真分數(shù)是最簡真分數(shù)，問有多少種取值？【解析】作為真分數(shù)，與互質(zhì)，同時，這就要求在1到1001內(nèi)，不是7的倍數(shù)，不是11的倍數(shù)，也不是13的倍數(shù)，本題中：，從而取值條件的有個.8、某班人數(shù)60人，在一次抽考英語、數(shù)學、化學的考試中，英語及格的有41人，數(shù)學及格的有39人，化學及格的有42人；英語、數(shù)學

5、兩科不及格的有14人，數(shù)學、化學兩科不及格的有13人，英語、化學兩科不及格的有11人，有兩科或兩科以上不及格的人數(shù)為20人，則：(1)三科都不及格的有幾人？(2)至少有一科不及格的有幾人？(3)三科都及格的人數(shù)有幾人？ 【解析】使用韋恩圖輔助分析，將不及格作為條件，則英語不及格的有(人)，數(shù)學不及格的有(人)，化學不及格的有(人)，英數(shù)14人、英化11人、數(shù)化13人也如圖所標，并設(shè)三科不及格的 人. 題目中所謂兩科或兩科以上不及格20人，即，解得.即，從而，還知道，.從而：三科都不及格的有：人.至少有一科不及格的有：(人).三科都及格的有：(人).9、衛(wèi)生部對120種食物是否含有維生素A、C、

6、E進行調(diào)查，結(jié)果是：含維生素A的有62種，含維生素C的有90種，含維生素E的有68種，同時含維生素A和C的有48種，同時含維生素A和E的有36種，同時含有維生素C和E的有50種，同時含這三種維生素的有25種.請問：(1)這三種維生素都不含的食物有多少種？(2)僅含維生素A的食物有多少種？【解析】設(shè)三種都不含的有種，則在中，即，解得.輔助韋恩圖進行分析，僅含維生素A的如圖陰影所示，在A中減掉AE和AC，再加上ACE，也就是. 10、森林里住著一群小白兔，每只小白兔都愛吃蘿卜、白菜和青草中的一種或者幾種.愛吃蘿卜的小白兔中有12只不愛吃白菜；愛吃白菜的小白兔中有23只不愛吃青草；愛吃青草的小白兔中

7、有34只不愛吃蘿卜.如果三種食物都愛吃的小白兔有5只，那么這群小白兔一共有多少只？【解析】根據(jù)題意，將各部分分別用字母表示，則有：根據(jù)題目描述，則有：，所以有：，則這群小白兔一共有74只.11、體育課上，60名學生面向老師站成一行，按老師口令，從左到右報數(shù)：1，2，3，60，然后，老師讓所報的數(shù)是4的倍數(shù)的同學向后轉(zhuǎn)，接著又讓 所報的數(shù)是5的倍數(shù)的同學向后轉(zhuǎn)，最后讓所報的數(shù)是6的倍數(shù)的同學向后轉(zhuǎn)，現(xiàn)在面向老師的學生有_人【解析】使用韋恩圖輔助分析，如圖，所有條件都不符合的依然面向老師，符合一個條件的背向，符合兩個條件的面向，符合三個條件的背向，圖中1表示面向，0表示背向.在本題中，(表示總數(shù)，

8、下面的分別表示算過1次，2次，3次的.以后同.)，(注：4，6的最小公倍數(shù)為12)但本題中面向老師的分兩部分，外圍的，內(nèi)部的，因此面向老師的共有人. 12、有編號為12010的2010個氣球.有一個神槍手，他第一次把所有編號是3的倍數(shù)的氣球打破；第二次把編號是5的倍數(shù)的氣球打破；最后把編號是7的倍數(shù)的氣球打破.那么，最后還剩幾個沒有被打破的氣球？【解析】仔細分析，我們發(fā)現(xiàn)這道題實際上是要求12010中有多少個數(shù)不能被3,5,7整除.被3整除的數(shù)有個；被5整除的數(shù)有個；被7整除的數(shù)有個；其中，同時被3、5整除的數(shù)有個；同時被3、7整除的有個；同時被5、7整除的數(shù)有個；同時被3、5、7整除的數(shù)有個

9、.那么，能被3、5、7整除的數(shù)共有： 個.那么，不能被3、5、7整除的數(shù)共有個.13、(2008年101中學考題)一根101厘米長的木棒，從同一端開始，第一次每隔2厘米畫一個刻度，第二次每隔3厘米畫一個刻度，第三次每隔5厘米畫一個刻度，如果按刻度把木棒截斷，那么可以截出 段【解析】要求出截出的段數(shù)，應當先求出木棒上的刻度數(shù)，而木棒上的刻度數(shù)，相當于1、2、3、100、101這101個自然數(shù)中2或3或5的倍數(shù)的個數(shù)，為：，故木棒上共有74個刻度，可以截出75段14、(第四屆走美試題)2006盞亮著的電燈，各有一個拉線開關(guān)控制，按順序編號為1，2，2006將編號為2的倍數(shù)的燈的拉線各拉一下；再將編

10、號為3的倍數(shù)的燈的拉線各拉一下，最后將編號為5的倍數(shù)的燈的拉線各拉一下拉完后亮著的燈數(shù)為_盞【解析】因為燈在開始的時候是亮著的，所以拉了兩次或者沒拉的燈最后還是亮的這道題實際上是求1到2006中不能被2、3、5整除的數(shù)和只能同時被2、3、5中2個數(shù)整除的數(shù)的總個數(shù)我們可以求得被2整除的數(shù)有個，被3整除的數(shù)有，共668個，被5整除的數(shù)有，共401個其中，同時被2、3整除的數(shù)有，共334個；同時被3、5整除的有，共133個；同時被2、5整除的數(shù)有，共200個；同時被2、3、5整除的數(shù)有，共66個，所以，只能同時被2、3、5中2個數(shù)整除的數(shù)的個數(shù)為個，不能被2、3、5整除的數(shù)的個數(shù)為個所以，最后亮著

11、的燈一共為個15、某班共有學生48人，其中27人會游泳，33人會騎自行車，40人會打乒乓球那么，這個班至少有多少學生這三項運動都會？【解析】為了讓三項都會的人盡量少，那么考慮讓盡量多的人參加兩項運動.如果每個學生都參加2項運動，那么參加3種運動的共有（人次）.而實際上參加3種比賽的共有（人次）.那么還余下人次的運動.因此至少有4人這三項運動都會.下面我們來驗證能否構(gòu)造一種情況，使得恰好有4個學生會這3項運動：該情況可以用韋恩圖來構(gòu)造和示意： 16、加語文競賽的有人，參加數(shù)學競賽的有人，參加英語競賽的有人，每人最多參加兩科，那么至少有 人參加這次競賽【解析】由于每人最多參加兩科，也就是說有參加2

12、科的，有參加1科的，要求參加的人最少，那么盡可能讓每人都參加兩科，所以理論上至少有人參加競賽，但參加英語競賽的有人，因此至少應該有人參加競賽17、某班有名學生，參加語文競賽的有人，參加數(shù)學競賽的有人，參加英語競賽的有人，每人最多參加兩科，那么參加兩科的最多有 人【解析】根據(jù)題意可知，該班參加競賽的共有人次由于每人最多參加兩科，也就是說有參加2科的，有參加1科的，也有不參加的，共是71人次.要求參加兩科的人數(shù)最多，則讓這人次盡可能多地重復，而，所以至多有人參加兩科，此時還有1人參加1科.那么是否存在35人參加兩科的情況呢？由于此時還有1人是只參加一科的，假設(shè)這個人只參加數(shù)學一科，那么可知此時參加

13、語文、數(shù)學兩科的共有人，參加語文、英語兩科的共有人，參加數(shù)學、英語兩科的共有人.也就是說，此時全班有15人參加語文、數(shù)學兩科，13人參加語文、英語兩科，7人參加數(shù)學、英語兩科，1人只參加數(shù)學1科，還有14人不參加.檢驗可知符合題設(shè)條件.所以35人是可以達到的，則參加兩科的最多有35人.(當然本題中也可以假設(shè)只參加一科的參加的是語文或英語)18、六年級班有人參加數(shù)學競賽，有人參加英語競賽，有人參加語文競賽，其中參加數(shù)學和英語兩科的有人，參加了英語和語文兩科的有人，參加了數(shù)學和語文的有人，那么六年級班全班至少有多少人？【解析】要使全班人最少，需參加三科競賽的人最少（可通過三元容斥公式來證明），至少

14、有人下面只需驗證人是否成立，如下圖所以全班至少有(人)19、學而思的一場奧數(shù)選拔考試，試卷一共有道題，規(guī)定答對道及道以上的人能通過考試.發(fā)卷子時，唐老師說：“這次考試一共有個班的位同學參加，答對第題到第題的依次有、人.在公布每位同學的成績之前，我想問大家一個問題：這次考試最少有多少位同學能通過呢？”【解析】因為要算至少有多少人能通過考試.所以應該讓答對題的盡量多，且答對題的盡量多，然后是答對題的也盡量多.因為(道)題，去掉每人題，還有(道)題，答對題的最多能有人，而，也就是說可以讓所有不是剛好答對題的同學都答對題.那么還有人全對.因此至少有人能通過考試.20、(第14屆日本算術(shù)奧林匹克預賽試題

15、(高小組)有100人參加算術(shù)測驗，從第1題到第5題共有5道題.答對每道題的人數(shù)分別是：第1題92人，第2題86人，第3題61人，第4題87人，第5題57人.這次測驗規(guī)定，5道題只要做對3道題就及格.那么最少有多少人及格？【解析】答對題數(shù)的合計是：人.為使及格人數(shù)最少，設(shè)全員答對的題不少于2道，余下的答對題的數(shù)量不多于人.把這盡可能少分給一些人.從5道題都答對的最多的人數(shù)來考慮，如果答對第5題的最少人數(shù)57人都是滿分的話，余下的答對題數(shù)的合計是人.再從答對4道題盡可能多的人數(shù)來考慮，答對人數(shù)第二少的第3題的61人中，有57人得滿分的話，答對了4道題的最多的情況下是人.這時，余下的答對題數(shù)的合計是：.答對3道題的人數(shù)是.根據(jù)以上分析，可知及格者的最少人數(shù)是：人.所以至少有65人及格.崔帥帥職業(yè)格言：生有盡，業(yè)無窮；勤無價，耕耘為天下。