高考沖刺 集合與邏輯提高

《高考沖刺 集合與邏輯提高》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考沖刺 集合與邏輯提高（18頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、高考沖刺 集合與邏輯 【高考展望】 集合與常用邏輯用語是高考的必考內(nèi)容，多為選擇題或填空題，難度不大.集合命題以集合的基本運(yùn)算，尤其是交集與補(bǔ)集的運(yùn)算為主；常用邏輯用語多與函數(shù)、三角、數(shù)列、不等式等知識(shí)綜合進(jìn)行命題，難度不大，命題比較分散，命題的四種形式、充要條件的判斷、含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的判斷以及含量詞的命題等考點(diǎn)均有涉及. 【知識(shí)升華】 一、集合知識(shí)可以使我們更好地理解數(shù)學(xué)中廣泛使用的集合語言，并用集合語言表達(dá)數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用集合觀點(diǎn)去研究和解決數(shù)學(xué)問題。 1．學(xué)習(xí)集合的基礎(chǔ)能力是準(zhǔn)確描述集合中的元素，熟練運(yùn)用集合的各種符號(hào)，如、、、、=、、∪，∩等等； 2．強(qiáng)化對集合與集

2、合關(guān)系題目的訓(xùn)練，理解集合中代表元素的真正意義，注意利用幾何直觀性研究問題，注意運(yùn)用Venn圖解題方法的訓(xùn)練，加強(qiáng)兩種集合表示方法轉(zhuǎn)換和化簡訓(xùn)練；解決集合有關(guān)問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解集合所描述的具體內(nèi)容（即讀懂問題中的集合）以及各個(gè)集合之間的關(guān)系，常常根據(jù)“Venn圖”來加深對集合的理解，一個(gè)集合能化簡（或求解），一般應(yīng)考慮先化簡（或求解）； 3．確定集合的“包含關(guān)系”與求集合的“交、并、補(bǔ)”是學(xué)習(xí)集合的中心內(nèi)容，解決問題時(shí)應(yīng)根據(jù)問題所涉及的具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容來尋求方法。 ① 區(qū)別∈與、與、a與{a}、φ與{φ}、{(1,2)}與{1,2}； ② AB時(shí)，A有兩種情況：A＝φ與A≠φ。 ③若集

3、合A中有個(gè)元素，則集合A的所有不同的子集個(gè)數(shù)為，所有真子集的個(gè)數(shù)是－1, 所有非空真子集的個(gè)數(shù)是 ④區(qū)分集合中元素的形式： 如； ； ； ； ； ； 。 ⑤空集是指不含任何元素的集合。、和的區(qū)別；0與三者間的關(guān)系。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。條件為，在討論的時(shí)候不要遺忘了的情況。 ⑥符號(hào)“”是表示元素與集合之間關(guān)系的，立體幾何中的體現(xiàn)點(diǎn)與直線（面）的關(guān)系 ；符號(hào)“”是表示集合與集合之間關(guān)系的，立體幾何中的體現(xiàn)面與直線(面)的關(guān)系。 二、常用邏輯用語 1．命題 命題：可以判斷真假的語句叫命題； 邏輯聯(lián)結(jié)詞：“或”“且”“非”這些詞就叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞；簡

4、單命題：不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題。復(fù)合命題：由簡單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題。 常用小寫的拉丁字母p，q，r，s，……表示命題，故復(fù)合命題有三種形式：p或q；p且q；非p。 2．復(fù)合命題的真值 “非p”形式復(fù)合命題的真假可以用下表表示： p 非p 真 假 假 真 “p且q”形式復(fù)合命題的真假可以用下表表示： p q p且q 真 真 真 真 假 假 假 真 假 假 假 假 “p且q”形式復(fù)合命題的真假可以用下表表示： p q P或q 真 真 真 真 假 真 假 真 真 假 假 假 注：1°像上面表示命題

5、真假的表叫真值表；2°由真值表得：“非p”形式復(fù)合命題的真假與p的真假相反；“p且q”形式復(fù)合命題當(dāng)p與q同為真時(shí)為真，其他情況為假；“p或q”形式復(fù)合命題當(dāng)p與q同為假時(shí)為假，其他情況為真；3°真值表是根據(jù)簡單命題的真假，判斷由這些簡單命題構(gòu)成的復(fù)合命題的真假，而不涉及簡單命題的具體內(nèi)容。 3．四種命題 如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，且第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互為逆命題； 如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是原命題的條件和結(jié)論的否定，那么這兩個(gè)命題叫做互否命題，這個(gè)命題叫做原命題的否命題； 如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是原命題的結(jié)論和條件的否定，那么

6、這兩個(gè)命題叫做互為逆否命題，這個(gè)命題叫做原命題的逆否命題。 兩個(gè)互為逆否命題的真假是相同的，即兩個(gè)互為逆否命題是等價(jià)命題.若判斷一個(gè)命題的真假較困難時(shí)，可轉(zhuǎn)化為判斷其逆否命題的真假。 4．充要條件 一般地，如果已知pTq，那么就說：p是q的充分條件；q是p的必要條件。 一般地，如果既有pTq，又有qTp，就記作：pq.“”叫做等價(jià)符號(hào)。pq表示pTq且qTp。 這時(shí)p既是q的充分條件，又是q的必要條件，則p是q的充分必要條件，簡稱充要條件。 5．全稱命題與特稱命題 這里，短語“所有”在陳述中表示所述事物的全體，邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)表示。含有全體量詞的命題，叫做全稱命題

7、。 短語“有一個(gè)”或“有些”或“至少有一個(gè)”在陳述中表示所述事物的個(gè)體或部分，邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)表示，含有存在量詞的命題，叫做存在性命題。 【典型例題】 類型一、集合概念 例1.已知集合M={y|y=x2＋1,x∈R},N={y|y=x＋1,x∈R}，則M∩N=（ ） A．（0，1），（1，2） B．{（0，1），（1，2）}C．{y|y=1,或y=2} D．{y|y≥1} 【思路點(diǎn)撥】集合M、N是用描述法表示的，元素是實(shí)數(shù)y而不是實(shí)數(shù)對(x,y)，因此M、N分別表示函數(shù)y=x2＋1(x∈R)，y=x＋1(x∈R)的值域，求M∩N即求兩函數(shù)值域的交集． 【

8、答案】D 【解析】M={y|y=x2＋1,x∈R}={y|y≥1}， N={y|y=x＋1,x∈R}={y|y∈R}． ∴M∩N={y|y≥1}∩{y|y∈R}={y|y≥1},∴應(yīng)選D． 【總結(jié)升華】①本題求M∩N，經(jīng)常發(fā)生解方程組 從而選B的錯(cuò)誤，這是由于在集合概念的理解上，僅注意了構(gòu)成集合元素的共同屬性，而忽視了集合的元素是什么．事實(shí)上M、N的元素是數(shù)而不是點(diǎn)，因此M、N是數(shù)集而不是點(diǎn)集．②集合是由元素構(gòu)成的，認(rèn)識(shí)集合要從認(rèn)識(shí)元素開始，要注意區(qū)分{x|y=x2＋1}、{y|y=x2＋1,x∈R}、{(x,y)|y=x2＋1,x∈R}，這三個(gè)集合是不同的． 舉一反三： 【變式】

9、若集合M＝{0,1,2}，N＝{(x，y)|x－y≥0，x2＋y2≤4，x，y∈M}，則N中元素的個(gè)數(shù)為(　　) A．9 B．6C．4 D．2 【答案】C　 【解析】由題意知（0,0），（1,0），（1,1），（2,0）符合，選C. 例2.若P={y|y=x2,x∈R}，Q={(x，y)|y=x2,x∈R}，則必有（ ） A．P∩Q=　 B．P Q C．P=Q D．P Q 【思路點(diǎn)撥】有的同學(xué)一接觸此題馬上得到結(jié)論P(yáng)=Q，這是由于他們僅僅看到兩集合中的y=x2,x∈R相同，而沒有注意到構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是不同的，P集合是函數(shù)值域集合，Q集合是y=x2,x∈R上的點(diǎn)的集合

10、，代表元素根本不是同一類事物． 【答案】A 【解析】正確解法應(yīng)為： P表示函數(shù)y=x2的值域，Q表示拋物線y=x2上的點(diǎn)組成的點(diǎn)集，因此P∩Q=．∴應(yīng)選A． 類型二、集合元素的互異性 集合元素的互異性，是集合的重要屬性，教學(xué)實(shí)踐告訴我們，集合中元素的互異性常常被學(xué)生在解題中忽略，從而導(dǎo)致解題的失敗，下面再結(jié)合例題進(jìn)一步講解以期強(qiáng)化對集合元素互異性的認(rèn)識(shí)． 例3.若A={2，4,3－22－＋7},B={1,＋1,2－2＋2,－ (2－3－8),3＋2＋3＋7}，且A∩B={2，5}，則實(shí)數(shù)的值是________． 【解析】∵A∩B={2，5}，∴3－22－＋7=5,由此求得=2或

11、=±1． A={2,4,5}，集合B中的元素是什么，它是否滿足元素的互異性，有待于進(jìn)一步考查． 當(dāng)=1時(shí)，2－2＋2=1，與元素的互異性相違背，故應(yīng)舍去=1． 當(dāng)=－1時(shí)，B={1,0,5,2,4}，與A∩B={2，5}相矛盾，故又舍去=－1． 當(dāng)=2時(shí)，A={2，4，5},B={1,3,2,5,25}，此時(shí)A∩B={2，5}，滿足題設(shè)． 故=2為所求． 舉一反三： 【變式】已知集合A={x|x2－3x＋2=0},B={x|x2－x＋－1=0}，且A∪B=A，則的值為______． 【思路點(diǎn)撥】由A∪B=A而推出B有四種可能，進(jìn)而求出的值． 【解析】∵ A∪B=A， ∵ A

12、={1，2}，∴ B=或B={1}或B={2}或B={1，2}． 若B=，則令△<0得∈； 若B={1}，則令△=0得=2，此時(shí)1是方程的根； 若B={2}，則令△=0得=2，此時(shí)2不是方程的根，∴∈； 若B={1，2}則令△>0得∈R且≠2，把x=1代入方程得∈R，把x=2代入方程得=3． 綜上的值為2或3． 【總結(jié)升華】本題不能直接寫出B={1，－1}，因?yàn)椋?可能等于1，與集合元素的互異性矛盾，另外還要考慮到集合B有可能是空集，還有可能是單元素集的情況． 類型三、集合的關(guān)系與運(yùn)算 例4.已知全集，，，則（ ） A.B.C.D. 【思路點(diǎn)撥】首先通過解不等式確定兩個(gè)

13、集合、，然后求出，再求.注意集合是滿足條件的整數(shù)的集合. 【解析】解，即，得，所以； 解，得或，故或， 所以，故. 【答案】A 【總結(jié)升華】解答集合間的包含與運(yùn)算關(guān)系問題的一般思路： （1）正確理解各個(gè)集合的含義，認(rèn)清集合元素的屬性，代表意義； （2）根據(jù)集合的性質(zhì)化簡集合； （3）確定集合間的包含關(guān)系或運(yùn)算結(jié)果，注意靈活利用數(shù)軸、韋恩圖等直觀表示各個(gè)集合. 舉一反三： 【變式】設(shè)全集是實(shí)數(shù)集，，則圖中陰影部分所表示的集合是（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由解得：，故； 而，圖中所示集合為 ，故選C. 【變式2】記關(guān)于的不等

14、式的解集為，不等式的解集為． （I）若，求； （II）若，求正數(shù)的取值范圍． 【思路點(diǎn)撥】先解不等式求得集合和． 【解析】（I）由，得． （II）． 由，得，又，所以， 即的取值范圍是． 例5．設(shè)集合,則滿足的集合B的個(gè)數(shù)是（） A . 1 B .3 C .4 D . 8 【解析】，，則集合B中必含有元素3，即此題可轉(zhuǎn)化為求集合的子集個(gè)數(shù)問題，所以滿足題目條件的集合B共有個(gè).故選C. 【總結(jié)升華】本題考查了并集運(yùn)算以及集合的子集個(gè)數(shù)問題，同時(shí)考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想. 例6.設(shè)A={x|－21}，B={x|x2＋x＋b≤0}，已知A∪B={x

15、|x>－2}，A∩B={x|1－2}，且A∩B={x|1

16、,B={x|x2＋3x>0}，求A∪B和A∩B． 【解析】∵ A={x|x2－5x－6≤0}={x|－6≤x≤1}， B={x|x2＋3x>0}={x|x<－3，或x>0}． 如圖所示， ∴ A∪B={x|－6≤x≤1}∪{x|x<－3，或x>0}=R． A∩B={x|－6≤x≤1}∩{x|x<－3，或x>0}={x|－6≤x＜－3，或0

17、何集合的并集仍等于這個(gè)集合．當(dāng)題設(shè)中隱含有空集參與的集合關(guān)系時(shí)，其特殊性很容易被忽視的，從而引發(fā)解題失誤． 例7. 已知A={x|x2－3x＋2=0},B={x|x－2=0}且A∪B=A，則實(shí)數(shù)組成的集合C是________． 【思路點(diǎn)撥】對參數(shù)a進(jìn)行討論，同時(shí)注意空集的情況。 【解析】由x2－3x＋2=0得x=1或2．當(dāng)x=1時(shí)，=2，當(dāng)x=2時(shí)，=1． 這個(gè)結(jié)果是不完整的，上述解答只注意了B為非空集合，實(shí)際上，B=時(shí)，仍滿足A∪B=A，當(dāng)=0時(shí)，B=，符合題設(shè)，應(yīng)補(bǔ)上，故正確答案為C={0，1，2}． 例8．已知集合，．若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是． 【思路點(diǎn)撥】先確定已知集合A和

18、B． 【解析】 故實(shí)數(shù)的取值范圍是． 例9. 已知集合A={x|x2＋(m＋2)x＋1=0,x∈R}，若A∩=，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_________． 【思路點(diǎn)撥】從方程觀點(diǎn)看，集合A是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程x2＋(m＋2)x＋1=0的解集，而x=0不是方程的解，所以由A∩=可知該方程只有兩個(gè)負(fù)根或無實(shí)數(shù)根，從而分別由判別式轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的不等式，并解出m的范圍． 【解析】由A∩=又方程x2＋(m＋2)x＋1=0無零根，所以該方程只有兩個(gè)負(fù)根或無實(shí)數(shù)根， 或△=(m＋2)2－4<0．解得m≥0或－4－4． 【總結(jié)升華】此題容易發(fā)生的錯(cuò)誤是由A∩=只片面地推出

19、方程只有兩個(gè)負(fù)根（因?yàn)閮筛e為1，因?yàn)榉匠虩o零根），而把A=漏掉，因此要全面準(zhǔn)確理解和識(shí)別集合語言． 舉一反三： 【變式】已知集合A={x|x2－3x－10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若BA，則實(shí)數(shù)p的取值范圍是________． 【解析】由x2－3x－10≤0得－2≤x≤5． 欲使BA，只須∴ p的取值范圍是－3≤p≤3． 上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"這一結(jié)論，即B=時(shí)，符合題設(shè)． 應(yīng)有：①當(dāng)B≠時(shí)，即p＋1≤2p－1p≥2． 由BA得：－2≤p＋1且2p－1≤5．由－3≤p≤3．∴ 2≤p≤3. ②當(dāng)B=時(shí)，即p＋1>2p－1p＜2． 由①

20、、②得：p≤3． 【總結(jié)升華】從以上解答應(yīng)看到：解決有關(guān)A∩B=、A∪B=，AB等集合問題易忽視空集的情況而出現(xiàn)漏解，這需要在解題過程中要全方位、多角度審視問題． 類型五、集合的新定義問題 例10.設(shè)S是整數(shù)集Z的非空子集，如果?a，b∈S，有ab∈S，則稱S關(guān)于數(shù)的乘法是封閉的，若T，V是Z的兩個(gè)不相交的非空子集，T∪V＝Z，且?a，b，c∈T，有abc∈T；?x，y，z∈V，有xyz∈V，則下列結(jié)論恒成立的是(　　) A．T，V中至少有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的 B．T，V中至多有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的 C．T，V中有且只有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的 D．T，V中每一個(gè)關(guān)于乘法都是封閉的

21、 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)新定義，就是要判斷“?a，b∈T，有ab∈T”，“?x，y∈V，有xy∈V”這兩個(gè)全稱命題的真假． 【解析】 A　T全部是偶數(shù)，V全部是奇數(shù)，那么T，V對乘法是封閉的，但如果T是全部偶數(shù)和1,3，那么此時(shí)T，V都符合題目要求，但是在V里面，任意取的數(shù)是－1和－3，那么相乘等于3，而V里面沒有3，所以V對乘法不封閉．排除B、C、D選項(xiàng)，所以“至少一個(gè)”是對的． 【總結(jié)升華】集合的創(chuàng)新問題，通常需要弄清題目給出的新定義、新概念、新法則與教材上的知識(shí)間的聯(lián)系，將新的定義、概念、法則轉(zhuǎn)化為“常規(guī)數(shù)學(xué)”問題，然后求解． 例11.在整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個(gè)“

22、類”，記為[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，4。給出如下四個(gè)結(jié)論： ①2011∈[1]； ②－3∈[3]； ③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]； ④“整數(shù)a，b屬于同一‘類’”的充要條件是“a－b∈[0]。 其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ） A．1 B．2C．3 D．4 【思路點(diǎn)撥】對各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析：①∵2011÷5=402…1；②∵-3÷5=-1…2，③整數(shù)集中的數(shù)被5除的數(shù)可以且只可以分成五類，故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④從正反兩個(gè)方面考慮即可得答案． 【答案】C 【解析】①∵2011÷5=402…1，∴

23、2011∈[1]，故①正確； ②∵-3=5×（-1）+2，∴-3?[3]，故②錯(cuò)誤； ③因?yàn)檎麛?shù)集中的數(shù)被5除的數(shù)可以且只可以分成五類，故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故③正確； ④∵整數(shù)a，b屬于同一“類”，∴整數(shù)a，b被5除的余數(shù)相同，從而a-b被5除的余數(shù)為0， 反之也成立，故“整數(shù)a，b屬于同一“類”的充要條件是“a-b∈[0]”．故④正確． 故正確的是：①③④，選C 【總結(jié)升華】本題為同余的性質(zhì)的考查，具有一定的創(chuàng)新，關(guān)鍵是對題中“類”的題解，屬基礎(chǔ)題． 舉一反三： 【變式】設(shè)S是至少含有兩個(gè)元素的集合，在S上定義了一個(gè)二元運(yùn)算“*”(即對任意的a，b∈

24、S，對于有序元素對(a，b)，在S中有唯一確定的元素a*b與之對應(yīng))．若對任意的a，b∈S，有a*(b*a)＝b，則對任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是(　　) A．(a*b)*a＝a B．[a*(b*a)]*(a*b)＝a C．b*(b*b)＝b D．(a*b)*[b*(a*b)]＝b 【答案】A　 【解析】選項(xiàng)B中，[a*(b*a)]*(a*b)＝b*(a*b)＝a，成立；選項(xiàng)C中，b*(b*b)＝b，成立；選項(xiàng)D中，把(a*b)看做一個(gè)整體，記為c，則(a*b)*[b*(a*b)]＝c*(b*c)＝b，成立，故只有選項(xiàng)A中的結(jié)論不恒成立． 例12.定義集合運(yùn)算：設(shè),

25、 ,則集合的所有元素之和為 （ ） A．0 B．2 C．3 D．6 【思路點(diǎn)撥】本題為新定義問題，可根據(jù)題中所定義的的定義，求出集合，而后再進(jìn)一步求解． 【解析】由的定義可得：，故選D． 【總結(jié)升華】近年來，新定義問題也是高考命題的一大亮點(diǎn)，此類問題一般難度不大，需嚴(yán)格根據(jù)題中的新定義求解即可，切忌同腦海中已有的概念或定義相混淆． 關(guān)于逆命題、否命題、逆否命題，也可以有如下表述： 第一：交換原命題的條件和結(jié)論，所得的命題為逆命題； 第二：同時(shí)否

26、定原命題的條件和結(jié)論，所得的命題為否命題； 第三：交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時(shí)否定，所得的命題為逆否命題； 類型六、命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞 例13.命題“若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方是正數(shù)”的逆命題是（ ） A．“若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)” B．“若一個(gè)數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)” C．“若一個(gè)數(shù)不是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)” D．“若一個(gè)數(shù)的平方不是正數(shù)，則它不是負(fù)數(shù)” 【答案】B 【解析】因?yàn)橐粋€(gè)命題的逆命題是將原命題的條件與結(jié)論進(jìn)行交換，因此逆命題為“若一個(gè)數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)” 舉一反三： 【變式1】命題：“若，則”的逆否命題是（ ） A.

27、若，則 B.若，則 C.若，則 D.若，則 【答案】D. 【變式2】命題“若，則”的否命題為__________. 【答案】若a≤b，則2a≤2b-1 【總結(jié)升華】否命題不同于命題否定: 對命題的否定只是否定命題的結(jié)論，而否命題既否定題設(shè)又否定結(jié)論. 例14.已知命題函數(shù)的定義域?yàn)?；命題函數(shù)是減函數(shù).若命題和“或”為真，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 （ ） A. B. C. D. 【思路點(diǎn)撥】先分別求出兩個(gè)命題為真時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍，然后根據(jù)含邏輯聯(lián)結(jié)詞的復(fù)合命題的真假判斷兩個(gè)命題的真假，求出相

28、應(yīng)的實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】C 【解析】為真，則，即；為真，則，即.因?yàn)槊}和“或”為真，所以命題假，命題為真.故的取值范圍是. 【總結(jié)升華】命題真假的判定方法： （1）簡單命題的判斷根據(jù)所涉及到的只是直接進(jìn)行判斷； （2）四種命題的真假判斷，互為逆否命題的兩個(gè)命題的真假相同； （3）含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假根據(jù)真值表，記住相應(yīng)的規(guī)律； （4）含有量詞的命題的真假根據(jù)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行判斷. 舉一反三： 【變式】原命題：“設(shè)，若，則.”以及它的逆命題，否命題、逆否命題中，真命題共有（　?。﹤€(gè). 　　A．0　　 　B．1　　 　C．2　 　　D．

29、4 【解析】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，故原命題是假命題，其逆否命題也是假命題. 逆命題為：若，則.顯然由可知（若，則，與已知矛盾），根據(jù)不等式乘法的單調(diào)性，兩邊同時(shí)乘以，可得.即逆命題是正確的，由因?yàn)槟婷}和否命題互為逆否命題，所以否命題也是正確的. 故原命題的逆命題和否命題是真命題，應(yīng)選C. 【答案】C 例15.對于函數(shù)①，②， ③.判斷如下三個(gè)命題的真假： 命題甲：是偶函數(shù)；命題乙：上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)；命題丙：在上是增函數(shù).能使命題甲、乙、丙均為真的所有函數(shù)的序號(hào)是（） A.①③ B.①② C. ③ D. ② 【答案】 D 【總結(jié)升華】真假判

30、斷（真值表）可概括為: p或q：同假為假，一真為真； p且q：同真為真，一假為假；非p： 真假相反，真假假真 舉一反三： 【變式】下列四個(gè)命題中，真命題的序號(hào)有（寫出所有真命題的序號(hào)）. ①將函數(shù)y=的圖象按向量v=(－1,0)平移，得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y= ②圓x2+y2+4x+2y+1=0與直線y=相交，所得弦長為2 ③若sin(+)= ,sin(－)=,則tancot=5 ④如圖，已知正方體ABCD- A1B1C1D1，P為底面ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)， P到平面AA1D1D的距離與到直線CC1的距離相等，則P點(diǎn)的軌跡是拋物線的一部分. 【解析】①錯(cuò)誤，得到的圖象對應(yīng)的

31、函數(shù)表達(dá)式應(yīng)為y＝|x－2| ②錯(cuò)誤，圓心坐標(biāo)為（－2，1），到直線y=的距離為>半徑2，故圓與直線相離， ③正確，sin(+)=＝sincos＋cossin，sin(－)＝sincos－cossin＝，兩式相加，得2 sincos＝，兩式相減，得2 cossin＝，故將上兩式相除，即得tancot=5 ④正確，點(diǎn)P到平面AD1的距離就是點(diǎn)P到直線AD的距離， 點(diǎn)P到直線CC1就是點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離，由拋物線的定義 可知點(diǎn)P的軌跡是拋物線。 類型七、充要條件 例16.若，的二次方程的一個(gè)根大于零，另一根小于零，則是的（ ） A．充分不必要條件 B．必要不充分

32、條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【思路點(diǎn)撥】先化簡兩個(gè)條件，即求出它們的充要條件，然后判斷這兩個(gè)條件之間的關(guān)系，也可直接利用兩個(gè)集合之間的關(guān)系來判斷. 【答案】A 【解析】方法一：（等價(jià)轉(zhuǎn)化）由，解得；而方程的一根大于零，另一根小于零的充要條件是，即，解得. 因?yàn)槊}：“若，則”是真命題；而“若，則”是假命題，所以是的充分不必要條件，所以是充分不必要條件，選A. 方法二：（集合法）由方法一可知，滿足條件A的參數(shù)的取值集合為，滿足條件B的參數(shù)的取值集合為，顯然，所以是充分不必要條件，選A. 【總結(jié)升華】解決此類問題的應(yīng)該注意兩個(gè)方面的問題：一是準(zhǔn)確化簡條件，也就是求出

33、每個(gè)條件對應(yīng)的充要條件；二是注意問題的形式，看清“是的……”還是“的……是”，如果是第二種形式，要先轉(zhuǎn)為第一種形式，然后再判斷；三是靈活利用各種方法判斷兩個(gè)條件之間的關(guān)系，充要條件的判斷常通過“”來判斷，即轉(zhuǎn)化為兩個(gè)命題的判斷，當(dāng)比較難于判斷的問題時(shí)，可借助兩個(gè)集合之間的關(guān)系來判斷. 舉一反三： 【變式】在中，分別是角所對的邊，則“”是“”的（ ） A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 【答案】C 【解析】由正弦定理可知，故， 由，，得，所以，即“”是“”的

34、充分必要條件. 【變式】下列選項(xiàng)中，p是q的必要不充分條件的是 （A）p:＞b+d , q:＞b且c＞d （B）p:a＞1,b>1 q:的圖像不過第二象限 （C）p: x=1, q: （D）p:a＞1, q:在上為增函數(shù) 【解析】由＞b且c＞d＞b+d，而由＞b+d ＞b且c＞d，可舉反例。選A 【總結(jié)升華】要判斷A是B的什么條件，只要判斷由A能否推出B和由B能否推出A即可． 例17.“”是“”的（ ） A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件

35、 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【思路點(diǎn)撥】簡易邏輯考查重點(diǎn)是命題的真假情況，全稱量詞與存在量詞，充要條件。全稱量詞與存在量詞是新增內(nèi)容，沒有出現(xiàn)單獨(dú)命題的情況，只是在大題中有體現(xiàn)。充要條件是近幾年的高考的重點(diǎn)內(nèi)容，它可與三角、立體幾何、解析幾何，不等式等知識(shí)聯(lián)系起來綜合考查 【解析】當(dāng)時(shí)，， 反之，當(dāng)時(shí)，有， 或，故應(yīng)選A. 【總結(jié)升華】本題主要考查三角函數(shù)的基本概念、簡易邏輯中充要條件的判斷. 屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查. 類型八、含有量詞的命題 例1

36、8.已知函數(shù)，，設(shè)，則下列說法不正確的是（ ） A． B． C． D． 【思路點(diǎn)撥】首先化簡函數(shù)解析式，然后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)以及誘導(dǎo)公式判斷. 【答案】C 【解析】由誘導(dǎo)公式可知，，，所以. 選項(xiàng)A，顯然當(dāng)時(shí)，有，即成立，所以該選項(xiàng)正確； 選項(xiàng)B，對，，所以，故該選項(xiàng)正確； 選項(xiàng)C，為奇函數(shù)，應(yīng)為恒成立，所以該命題不正確； 選項(xiàng)D，，所以恒成立，故該選項(xiàng)正確. 綜上，應(yīng)選C. 【總結(jié)升華】解決此類問題應(yīng)該注意兩個(gè)方面的問題：一是嚴(yán)格按照定義函數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行推理，把一些新定義、新背景的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，準(zhǔn)確利用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行判斷；二是靈活選擇方法判斷全

37、稱命題和特稱命題的真假. 判斷下列命題的真假，寫出它們的否定并判斷真假. （1）； （2）； （3）； （4）. 解析： (1)由于都有，故，為真命題； ：，為假命題 (2) 因?yàn)椴淮嬖谝粋€(gè)實(shí)數(shù)，使成立，為假命題； ：，為真命題. (3)因?yàn)橹挥谢驖M足方程，為假命題； ：，為真命題. (4) 由于使成立的數(shù)有，且它們是有理數(shù)，為真命題； ：，為假命題. 【總結(jié)升華】 1. 要判斷一個(gè)全稱命題是真命題，必須對限定的集合M中的每一個(gè)元素，驗(yàn)證成立；要判斷全稱命題是假命題，只要能舉出集合M中的一個(gè)，使不成立即可； 2.要判斷一個(gè)特稱命題的真假，依據(jù)：只要在

38、限定集合M中，至少能找到一個(gè)，使成立，則這個(gè)特稱命題就是真命題，否則就是假命題. 3.全稱命題的否定是特稱命題,特稱命題的否定是特稱命題.但同一個(gè)特稱或全稱命題由于語言環(huán)境的不同,可有不同的表述方法,在實(shí)際應(yīng)用中要靈活選擇. 舉一反三： 【變式】命題“存在R，0”的否定是 A. 不存在R, >0 B. 存在R, 0 C. 對任意的R,0 D. 對任意的R, >0 【解析】由題否定即“不存在，使”，故選擇D。 【變式】命題“對任意的”的否定是（ ） A.不存在 B.存在 C.存在 D. 對任意的 【答案】C. 內(nèi)容總結(jié) （1）高考沖刺 集合與邏輯 【高考展望】 集合與常用邏輯用語是高考的必考內(nèi)容，多為選擇題或填空題，難度不大.集合命題以集合的基本運(yùn)算，尤其是交集與補(bǔ)集的運(yùn)算為主 （2）這時(shí)p既是q的充分條件，又是q的必要條件，則p是q的充分必要條件，簡稱充要條件