人教版 高中數(shù)學(xué) 選修22習(xí)題 第二章　推理與證明 章末復(fù)習(xí)課

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1、20192019 年編人教版高中數(shù)學(xué)年編人教版高中數(shù)學(xué) 章末復(fù)習(xí)課 1 1進(jìn)行類比推理時進(jìn)行類比推理時，可以從以下方面入手進(jìn)行類比：可以從以下方面入手進(jìn)行類比：問題的外在結(jié)構(gòu)特征；問題的外在結(jié)構(gòu)特征；圖形的圖形的性質(zhì)或維數(shù)；性質(zhì)或維數(shù)；處理一類問題的方法；處理一類問題的方法；事物的相似性質(zhì)等要盡量從本質(zhì)上去類比事物的相似性質(zhì)等要盡量從本質(zhì)上去類比，不要不要被表面現(xiàn)象迷惑被表面現(xiàn)象迷惑，否則否則，只抓住一點(diǎn)表面的相似甚至假象就去類比只抓住一點(diǎn)表面的相似甚至假象就去類比，就會犯機(jī)械類比的錯誤就會犯機(jī)械類比的錯誤 2 2進(jìn)行歸納推理時進(jìn)行歸納推理時，要把作為歸納基礎(chǔ)的條件變形為有規(guī)律的統(tǒng)一的形式要把

2、作為歸納基礎(chǔ)的條件變形為有規(guī)律的統(tǒng)一的形式，以便于作出以便于作出歸納猜想歸納猜想 3 3推理證明過程敘述要完整、嚴(yán)謹(jǐn)推理證明過程敘述要完整、嚴(yán)謹(jǐn)，邏輯關(guān)系清晰、不跳步邏輯關(guān)系清晰、不跳步 4 4注意區(qū)分演繹推理和合情推理注意區(qū)分演繹推理和合情推理，當(dāng)前當(dāng)前提為真時提為真時，前者結(jié)論一定為真前者結(jié)論一定為真，而后者結(jié)論可能而后者結(jié)論可能為真也可能為假合情推理得到的結(jié)論的正確性需要進(jìn)一步推證為真也可能為假合情推理得到的結(jié)論的正確性需要進(jìn)一步推證，合情推理中運(yùn)用猜想時要合情推理中運(yùn)用猜想時要有依據(jù)有依據(jù) 5 5用反證法證明數(shù)學(xué)命題時用反證法證明數(shù)學(xué)命題時，必須把反設(shè)作為推理依據(jù)書寫證明過程時必須把反

3、設(shè)作為推理依據(jù)書寫證明過程時，一定要注意一定要注意不能把不能把“假設(shè)假設(shè)”誤寫為誤寫為“設(shè)設(shè)”，還要注意一些常見用語的否定形式還要注意一些常見用語的否定形式 6 6運(yùn)用分析法時僅需要尋求結(jié)論成立的充分條件即可運(yùn)用分析法時僅需要尋求結(jié)論成立的充分條件即可，而不是充要條件分析法是逆推而不是充要條件分析法是逆推證明證明，故在利用分析法證明問題時應(yīng)注意邏輯性與規(guī)范性故在利用分析法證明問題時應(yīng)注意邏輯性與規(guī)范性. . 7 7應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)自然數(shù)應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)自然數(shù)n n的命題時的命題時，第一步驗(yàn)證第一步驗(yàn)證n n取第一個值時取第一個值時，必須注意必須注意項(xiàng)數(shù)項(xiàng)數(shù)，第二步從第二步從n nk

4、 k到到n nk k1 1 的過渡必須注意兩點(diǎn)的過渡必須注意兩點(diǎn)，一是一是n nk k1 1 的證明必須用上歸納假的證明必須用上歸納假設(shè)設(shè)，二是弄清二是弄清n nk k與與n nk k1 1 時命題時命題( (等式、不等式、整除等等式、不等式、整除等) )的變化的變化 專題一專題一 合情推理合情推理 合情推理包括歸納推理和類比合情推理包括歸納推理和類比推理，歸納推理是由部分到整體，由特殊到一般的推理，推理，歸納推理是由部分到整體，由特殊到一般的推理，是做出科學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要手段是做出科學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要手段類比推理是由特殊到特殊的推理類比推理是由特殊到特殊的推理，它常以已知的知識作基礎(chǔ)它常以已知的知識作

5、基礎(chǔ)，推測出新的結(jié)果推測出新的結(jié)果，具有發(fā)現(xiàn)功能具有發(fā)現(xiàn)功能 (1)(1)觀察下列等式：觀察下列等式： 1 11 1 1 13 31 1 1 12 23 3 1 13 32 23 39 9 1 12 23 36 6 1 13 32 23 33 33 33636 1 12 23 34 410 10 1 13 32 23 33 33 34 43 3100100 1 12 23 34 45 515 15 1 13 32 23 33 33 34 43 35 53 3225225 可以推測：可以推測：1 13 32 23 33 33 3n n3 3_(_(n nNN* *，用含有用含有n n的代數(shù)式表示

6、的代數(shù)式表示) ) (2)(2)由圓的下列性質(zhì)類比球的有關(guān)性質(zhì)由圓的下列性質(zhì)類比球的有關(guān)性質(zhì) 圓心與弦圓心與弦( (非直徑非直徑) )中點(diǎn)的連線垂直于弦中點(diǎn)的連線垂直于弦 與圓心距離相等的兩弦相等與圓心距離相等的兩弦相等 圓的周長圓的周長c cd d( (d d為直徑為直徑) ) 圓的面積圓的面積S S4 4d d2 2. . 解析：解析：(1)(1)由條件可知：由條件可知：1 13 31 12 2，1 13 32 23 39 93 32 2(1(12)2)2 2， 1 13 32 23 33 33 336366 62 2(1(12 23)3)2 2，不不難得出：難得出： 1 13 32 23

7、 33 33 3n n3 3(1(12 23 3n n) )2 2 n n（n n1 1）2 22 2n n2 2（n n1 1）2 24 4. . 答案：答案：n n2 2（n n1 1）2 24 4 (2)(2)解：圓與球具有下列相似性質(zhì)解：圓與球具有下列相似性質(zhì)( (見下表見下表) )，與圓的有關(guān)性質(zhì)相比較與圓的有關(guān)性質(zhì)相比較，可以推測球的有關(guān)可以推測球的有關(guān)性質(zhì)性質(zhì) 圓圓 球球 圓心與弦圓心與弦( (非直徑非直徑) )中點(diǎn)的連線垂直于弦中點(diǎn)的連線垂直于弦 球心與截面圓球心與截面圓( (非軸截面非軸截面) )圓心的連線垂直于圓心的連線垂直于截面截面 與圓心距離相等的兩條弦長相等與圓心距離

8、相等的兩條弦長相等 與球心距與球心距離相等的兩個截面圓面積相等離相等的兩個截面圓面積相等 圓的周長圓的周長c cd d 球的表面積球的表面積S Sd d2 2 圓的面積圓的面積S S4 4d d2 2 球的體積球的體積V V6 6d d3 3 歸納升華歸納升華 (1)(1)歸納推理中有很大一部分題目是數(shù)列內(nèi)容歸納推理中有很大一部分題目是數(shù)列內(nèi)容，通過觀察給定的規(guī)律通過觀察給定的規(guī)律，得到一些簡單數(shù)列得到一些簡單數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列中的常見方法的通項(xiàng)公式是數(shù)列中的常見方法 (2)(2)類比推理重在考查觀察和比較的能力類比推理重在考查觀察和比較的能力， 題目一般情況下較為新穎題目一般情況下較為新穎

9、， 也有一定的探索性也有一定的探索性 (1)(1)有一個奇數(shù)列有一個奇數(shù)列 1 1，3 3，5 5，7 7，9 9，現(xiàn)在進(jìn)行如下分組：第一組含一個數(shù)現(xiàn)在進(jìn)行如下分組：第一組含一個數(shù)11；第二；第二組含兩個數(shù)組含兩個數(shù)33，55；第三組含三個數(shù)；第三組含三個數(shù)77，9 9，1111 ；第四組含四個數(shù)；第四組含四個數(shù)1313，1515，1717，1919；. . 則則觀察每組內(nèi)各數(shù)之和觀察每組內(nèi)各數(shù)之和f f( (n n)()(n nNN* *) )與組的編號數(shù)的關(guān)系式為與組的編號數(shù)的關(guān)系式為_ (2)(2)在平面幾何中在平面幾何中，對于對于 RtRtABCABC，設(shè)設(shè)ABABc c，ACACb

10、b，BCBCa a，則：則：a a2 2b b2 2c c2 2；coscos2 2 A Acoscos2 2 B B1 1；RtRtABCABC的外接圓半徑為的外接圓半徑為r ra a2 2b b2 22 2. . 把上面的結(jié)論類比到空間寫出相類似的結(jié)論把上面的結(jié)論類比到空間寫出相類似的結(jié)論 (1)(1)解析：由于解析：由于 1 11 13 3，3 35 58 82 23 3，7 79 9111127273 33 3，131315151717191964644 43 3，猜想第猜想第n n組內(nèi)各數(shù)之和組內(nèi)各數(shù)之和f f( (n n) )與組的編號數(shù)與組的編號數(shù)n n的關(guān)系式為的關(guān)系式為f f

11、( (n n) )n n3 3. . 答案：答案：f f( (n n) )n n3 3 ( (2)2)解：選取解：選取 3 3 個側(cè)面兩兩垂直的四面體作為直角三角形的類比對象個側(cè)面兩兩垂直的四面體作為直角三角形的類比對象 設(shè)設(shè) 3 3 個兩兩垂直的側(cè)面的面積分別為個兩兩垂直的側(cè)面的面積分別為S S1 1，S S2 2，S S3 3，底面面積為底面面積為S S，則則S S2 21 1S S2 22 2S S2 23 3S S2 2. . 設(shè)設(shè) 3 3 個兩兩垂直的側(cè)面與底面所成的角分別為個兩兩垂直的側(cè)面與底面所成的角分別為，則則 coscos2 2 coscos2 2 coscos2 2 1.1

12、. 設(shè)設(shè) 3 3 個兩兩垂直的側(cè)面形成的側(cè)棱長分別為個兩兩垂直的側(cè)面形成的側(cè)棱長分別為a a，b b，c c，則這個四面體的外接球的半徑為則這個四面體的外接球的半徑為R Ra a2 2b b2 2c c2 22 2. . 專題二專題二 演繹推理演繹推理 演繹推理是由一般到特殊的推理演繹推理是由一般到特殊的推理，其結(jié)論不會超出前提所界定的范圍其結(jié)論不會超出前提所界定的范圍，所以其前提和結(jié)所以其前提和結(jié)論之間的聯(lián)系是必然的因此論之間的聯(lián)系是必然的因此，在演繹推理中在演繹推理中，只要前提及推理正確只要前提及推理正確，結(jié)論必然正確結(jié)論必然正確 已知函數(shù)已知函數(shù)f f( (x x) ) 1 12 2x

13、x1 11 12 2x x3 3. . (1)(1)判斷判斷f f( (x x) )的奇偶性；的奇偶性； (2)(2)證明：證明：f f( (x x) )0.0. (1)(1)解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)?2 2x x1010，所以函數(shù)所以函數(shù)f f( (x x) )的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?x x| |x x00 因?yàn)橐驗(yàn)閒 f( (x x) )f f( (x x) ) 1 12 2x x1 11 12 2( (x x3 3) ) 1 12 2x x1 11 12 2x x3 3 2 2x x1 12 2x x1 12 2( (x x3 3) ) 1 12 2x x1 11 12 2x x3 3x x3 3

14、x x3 30 0， 所以所以f f( (x x) )f f( (x x) )，所以所以f f( (x x) )是偶函數(shù)是偶函數(shù) (2)(2)證明：因?yàn)樽C明：因?yàn)閤 x00， 所以當(dāng)所以當(dāng)x x0 0 時時，2 2x x1 1，2 2x x1 10 0，x x3 30 0，所以所以f f( (x x) )0.0. 當(dāng)當(dāng)x x0 0 時時，x x0 0，f f( (x x) )f f( (x x) )0 0，所以所以f f( (x x) )0.0. 綜上可知綜上可知，f f( (x x) )0.0. 歸納升華歸納升華 數(shù)學(xué)中的演繹推理一般是以數(shù)學(xué)中的演繹推理一般是以“三段論三段論”的格式進(jìn)行的的

15、格式進(jìn)行的“三段論三段論”由大前提、小前提和由大前提、小前提和結(jié)論三個命題組成結(jié)論三個命題組成，大前提是一個一般性原理大前提是一個一般性原理，小前提給出了適合這個原理的一個特殊場合小前提給出了適合這個原理的一個特殊場合，結(jié)論是大前提和小前提的邏輯結(jié)果結(jié)論是大前提和小前提的邏輯結(jié)果 若定義在區(qū)間若定義在區(qū)間D D上函數(shù)上函數(shù)f f( (x x) )對于對于D D上的幾個值上的幾個值x x1 1，x x2 2， ， ，x xn n總滿足總滿足1 1n nf f x x1 1x x2 2x xn nn n稱函數(shù)稱函數(shù)f f( (x x) )為為D D上的凸函數(shù)上的凸函數(shù)，現(xiàn)已知現(xiàn)已知f f( (x

16、x) )sin sin x x在在(0(0，)上是凸函數(shù)上是凸函數(shù)，則在則在ABCABC中中，sin sin A Asin sin B Bsin sin C C的最大值是的最大值是_ 解析：因?yàn)榻馕觯阂驗(yàn)? 1n n f f x x1 1x x2 2x xn nn n， 因?yàn)橐驗(yàn)閒 f( (x x) )sin sin x x在在(0(0，)上是凸函數(shù)上是凸函數(shù)， 所以所以f f( (A A) )f f( (B B) )f f( (C C)3)3f f A AB BC Cn n， 即即 sin sin A Asin sin B Bsin sin C C3sin 3sin 3 33 3 3 32

17、2， 所以所以 sin sin A Asin sin B Bsin sin C C的的最大值是最大值是3 3 3 32 2. . 答案：答案：3 3 3 32 2 專題三專題三 綜合法與分析法綜合法與分析法 綜合法是從原因推測結(jié)果的思維方法綜合法是從原因推測結(jié)果的思維方法，即從已知條件出發(fā)即從已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的推理經(jīng)過逐步的推理，最后達(dá)到最后達(dá)到待證的結(jié)論待證的結(jié)論，這是常用的數(shù)學(xué)方法這是常用的數(shù)學(xué)方法 分析法是從待證的結(jié)論出發(fā)分析法是從待證的結(jié)論出發(fā)，一步一步地尋找結(jié)論一步一步地尋找結(jié)論成立的充分條件成立的充分條件，最后達(dá)到題設(shè)的已最后達(dá)到題設(shè)的已知條件或已被證明的事實(shí)知條件或已被證明

18、的事實(shí) 用綜合法和分析法證明：用綜合法和分析法證明： 已知已知( (0 0，)，求證：求證：2 2sin 2sin 2sin sin 1 1cos cos . . 證明：法一證明：法一( (分析法分析法) ) 要證明要證明 2 2sin 2sin 2sin sin 1 1cos cos 成立成立， 只要證明只要證明 4 4sin sin cos cos sin sin 1 1cos cos . . 因?yàn)橐驗(yàn)閍 a(0(0，)，所以所以 sin sin 0 0， 只要證明只要證明 4 4cos cos 1 11 1cos cos . . 上式可變形為上式可變形為 441 11 1cos cos

19、4(14(1cos cos ) ) 因?yàn)橐驗(yàn)?1 1cos cos 0 0， 所以所以1 11 1cos cos 4(14(1cos cos )2 )2 1 11 1cos cos 4 4（1 1cos cos ）4.4. 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) cos cos 1 12 2， 即即3 3時取等號時取等號 所以所以 441 11 1cos cos 4(14(1cos cos ) )成立成立 所以不等式所以不等式 2 2sin 2sin 2sin sin 1 1cos cos 成立成立 法二法二( (綜合法綜合法) ) 因?yàn)橐驗(yàn)? 11 1cos cos 4(14(1cos cos )4)4， 1 1

20、cos cos 0 0，當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)cos cos 1 12 2，即即3 3，3 3時取等號時取等號 所以所以 4 4cos cos 1 11 1cos cos . . 因?yàn)橐驗(yàn)?0(0，)，所以所以 sin sin 0 0， 所以所以 4 4sin sin cos cos sin sin 1 1cos cos . . 所以所以 2 2sin 2sin 2sin sin 1 1coscos . . 歸納升華歸納升華 綜合法和分析法是直接證明中的兩種最基本的證明綜合法和分析法是直接證明中的兩種最基本的證明方法方法，但兩種證明方法思路截然相反但兩種證明方法思路截然相反，分析法既可用于尋找解題思

21、路分析法既可用于尋找解題思路，也可以是完整的證明過程分析法與綜合法可相互轉(zhuǎn)換也可以是完整的證明過程分析法與綜合法可相互轉(zhuǎn)換，相相互滲透互滲透，要充分利用這一辯證關(guān)系要充分利用這一辯證關(guān)系，在解題中綜合法和分析法聯(lián)合運(yùn)用在解題中綜合法和分析法聯(lián)合運(yùn)用，可轉(zhuǎn)換解題思路可轉(zhuǎn)換解題思路，增加解題途增加解題途徑徑一般以分析法為主尋求解題思路一般以分析法為主尋求解題思路，再用綜合法有條理地表示證明過程再用綜合法有條理地表示證明過程 求證：求證：sin sin （2 2）sin sin 2 2cos cos ( () )sin sin sin sin . . 證明：因?yàn)樽C明：因?yàn)?sin sin (2(2)

22、 )2 2cos cos ( () )sin sin sin sin 2 2cos cos ( () )sin sin sin sin ( () )coscoscoscos ( () )sin sin 2 2cos cos ( () )sin sin sin sin ( () )cos cos cos cos ( () )sin sin sin sin sin sin ， 兩邊同除以兩邊同除以 sin sin 得得sin sin （2 2）sin sin 2 2cos cos ( () )sin sin sin sin . . 專題四專題四 反證法反證法 反證法不是去直接證明結(jié)論反證法不是去直

23、接證明結(jié)論，而是先否定結(jié)論而是先否定結(jié)論，在此基礎(chǔ)上運(yùn)用演在此基礎(chǔ)上運(yùn)用演繹推理，導(dǎo)出矛盾，繹推理，導(dǎo)出矛盾，從而肯定結(jié)論的真實(shí)性從而肯定結(jié)論的真實(shí)性 等差數(shù)列等差數(shù)列 a an n 的前的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n，a a1 11 1 2 2，S S3 39 93 3 2 2. . (1)(1)求數(shù)列求數(shù)列 a an n 的通項(xiàng)的通項(xiàng)a an n及前及前n n項(xiàng)和項(xiàng)和S Sn n； (2)(2)設(shè)設(shè)b bn nS Sn nn n( (n nNN* *) )求證：數(shù)列求證：數(shù)列 b bn n 中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列 (1)(1)解：設(shè)等差

24、數(shù)列公差為解：設(shè)等差數(shù)列公差為d d， 由由 a a1 11 1 2 2，S S3 3a a1 1a a2 2a a3 39 93 3 2 2 得得 a a1 11 1 2 2，3 3a a1 13 3d d9 93 3 2 2，解得解得d d2.2. 所以所以a an n2 2n n1 1 2 2，S Sn nn n( (n n 2 2) ) (2)(2)證明：由證明：由(1)(1)得得b bn nS Sn nn nn n 2 2. . 假設(shè)假設(shè) b bn n 中存在三項(xiàng)中存在三項(xiàng)b bp p，b bq q，b br r( (p p，q q，r r互不相等互不相等) )成等比數(shù)列成等比數(shù)列，

25、則則b b2 2q qb bp pb br r. . 即即( (q q 2 2) )2 2( (p p 2 2)()(r r 2 2) )， 所以所以( (q q2 2prpr) )(2(2q qp pr r) 2 20.0. 因?yàn)橐驗(yàn)閜 p，q q，r rN N* *， 所以所以 q q2 2prpr0 0，2 2q qp pr r0 0，所以所以 p pr r2 22 2prpr. . 所以所以( (p pr r) )2 20 0，所以所以p pr r與與p pr r矛盾矛盾 所以數(shù)列所以數(shù)列 b bn n 中任意不同的三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列中任意不同的三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列 歸納升華歸納

26、升華 應(yīng)用反證法證明命題時要注意以下三點(diǎn)：應(yīng)用反證法證明命題時要注意以下三點(diǎn)： (1)(1)必須必須先否定結(jié)論先否定結(jié)論當(dāng)結(jié)論的反面有多種情況時當(dāng)結(jié)論的反面有多種情況時，必須羅列各種情況加以論證必須羅列各種情況加以論證，缺少任缺少任何一種可能何一種可能，反證法都是不完全的反證法都是不完全的 (2)(2)反證法必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理反證法必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理，即應(yīng)把結(jié)論的反面作為即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件條件，且必須根據(jù)這一條件且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行推證進(jìn)行推證，否則否則，僅否定結(jié)論僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面進(jìn)行推理不從結(jié)論的反面進(jìn)行推理，就不是反證法就不是反證法 (3)(3)推導(dǎo)出的矛盾多種多

27、樣推導(dǎo)出的矛盾多種多樣，有的與已知相矛盾有的與已知相矛盾，有的與假設(shè)相矛盾有的與假設(shè)相矛盾，有的與已知事實(shí)相有的與已知事實(shí)相矛盾等等矛盾等等，推出的矛盾必須是明顯的推出的矛盾必須是明顯的 已知直線已知直線axaxy y1 1 與曲線與曲線x x2 22 2y y2 21 1 相交于相交于P P，Q Q兩點(diǎn)兩點(diǎn)，證明：不存在實(shí)數(shù)，證明：不存在實(shí)數(shù)a a，使得以使得以PQPQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O O. . 證明：假設(shè)存在實(shí)數(shù)證明：假設(shè)存在實(shí)數(shù)a a，使得以使得以PQPQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O O，則則OPOPOQOQ. . 設(shè)設(shè)P P( (x x1

28、 1，y y1 1) )，Q Q( (x x2 2，y y2 2) )，則則y y1 1x x1 1y y2 2x x2 21 1， 所以所以( (axax1 11)(1)(axax2 21)1)x x1 1x x2 2， 即即(1(1a a2 2) )x x1 1x x2 2a a( (x x1 1x x2 2) )1 10.0. 由題意由題意得得( (1 12 2a a2 2) )x x2 24 4axax3 30 0， 所以所以x x1 1x x2 24 4a a1 12 2a a2 2，x x1 1x x2 23 31 12 2a a2 2. . 所以所以(1(1a a2 2)3 31

29、 12 2a a2 2a a4 4a a1 12 2a a2 21 10 0， 即即a a2 22 2，這是不可能的這是不可能的 所以假設(shè)不成立故不存在實(shí)數(shù)所以假設(shè)不成立故不存在實(shí)數(shù)a a，使得以使得以PQPQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O O. . 專題五專題五 數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法 數(shù)學(xué)歸納法是專門證明與數(shù)學(xué)歸納法是專門證明與正整數(shù)有關(guān)的命題的一種方法正整數(shù)有關(guān)的命題的一種方法它是一種完全歸納法它是一種完全歸納法，它的證它的證明共分兩步明共分兩步，其中第一步是命題成立的基礎(chǔ)其中第一步是命題成立的基礎(chǔ)，稱為稱為“歸納奠基歸納奠基”(”(或稱特殊性或稱特殊性) )；第二步解決；

30、第二步解決的是延續(xù)性的是延續(xù)性( (又稱傳遞性又稱傳遞性) )問題問題，稱為歸納遞推稱為歸納遞推 已知函數(shù)已知函數(shù)f f( (x x) )x x1 1x x2 2( (x x0)0)，數(shù)列數(shù)列 a an n 滿足滿足a a1 1f f( (x x) )，a an n1 1f f( (a an n) ) (1)(1)求求a a2 2、a a3 3、a a4 4； (2)(2)猜想數(shù)列猜想數(shù)列 a an n 的的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法予以證明通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法予以證明 解：解：(1)(1)由由a a1 1f f( (x x) )，a an n1 1f f( (a an n) )得：得： a

31、 a2 2f f( (a a1 1) )a a1 11 1a a2 21 1x x1 12 2x x2 2； a a3 3f f( (a a2 2) )a a2 21 1a a2 22 2x x1 13 3x x2 2； a a4 4f f( (a a3 3) )a a3 31 1a a2 23 3x x1 14 4x x2 2 . . (2)(2)猜想數(shù)列猜想數(shù)列 a an n 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式a an nx x1 1nxnx2 2. . 證明：證明：當(dāng)當(dāng)n n1 1 時時，結(jié)論顯然成立；結(jié)論顯然成立； 假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n nk k時結(jié)論成立時結(jié)論成立，即即a ak kx x1 1kxkx2

32、 2， 則當(dāng)則當(dāng)n nk k1 1 時時，a ak k1 1f f( (a ak k) )x x1 1kxkx2 21 1 x x1 1kxkx2 22 2 x x1 1（k k1 1）x x2 2 . .上式表明上式表明，當(dāng)當(dāng)n nk k1 1 時結(jié)論也成立時結(jié)論也成立 由由、可得可得，數(shù)列數(shù)列 a an n 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式a an nx x1 1nxnx2 2 . . 歸納升華歸納升華 運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)命題要注意以下幾點(diǎn)：運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)命題要注意以下幾點(diǎn)： (1)(1)兩個步驟兩個步驟缺一不可缺一不可 (2)(2)第二步中第二步中，證明證明“當(dāng)當(dāng)n nk k1 1 時結(jié)

33、論正確時結(jié)論正確”的過程中的過程中，必須利必須利用“歸納假設(shè)”用“歸納假設(shè)” ，即必，即必須用上“當(dāng)須用上“當(dāng)n nk k時結(jié)論正確時結(jié)論正確”這一結(jié)論這一結(jié)論 數(shù)學(xué)歸納法可以用來證明與正整數(shù)有關(guān)的代數(shù)恒等式、三角恒等式、不等式、整除性問數(shù)學(xué)歸納法可以用來證明與正整數(shù)有關(guān)的代數(shù)恒等式、三角恒等式、不等式、整除性問題題 設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列 a an n 滿足滿足a an n1 1a a2 2n nnanan n1 1，n nN N* *. . (1)(1)當(dāng)當(dāng)a a1 12 2 時時，求求a a2 2，a a3 3，a a4 4，并由此猜想出并由此猜想出a an n的一個通項(xiàng)公式；的一個通項(xiàng)公式； (

34、2)(2)當(dāng)當(dāng)a a1 12 2 時時，證明對所有的證明對所有的n n11，有有a an nn n1.1. (1)(1)解：由解：由a a1 12 2，得得a a2 2a a2 21 1a a1 11 13.3. 由由a a2 23 3，得得a a3 3a a2 22 22 2a a2 21 14.4. 由由a a3 34 4，得得a a4 4a a2 23 34 4a a3 31 15.5. 由此猜想由此猜想a an n的一個通項(xiàng)公式為的一個通項(xiàng)公式為a an nn n1(1(n n1)1) (2)(2)證明：證明：當(dāng)當(dāng)n n1 1 時時，因?yàn)橐驗(yàn)閍 an na a1 12 2，n n1 11 11 12 2，所以不等式成立所以不等式成立 假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n nk k時不等式成立時不等式成立，即，即a ak kk k1.1. 那么當(dāng)那么當(dāng)n nk k1 1 時時，a ak k1 1a ak k( (a ak kk k) )1(1(k k1)(1)(k k1 1k k) )1 1k k2.2. 也就是說也就是說，當(dāng)當(dāng)n nk k1 1 時時，a ak k1 1( (k k1)1)1.1. 根據(jù)根據(jù)和和，對于所有對于所有n n11，有有a an nn n1.1.