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1、行列式的解法小結(jié)
摘要：本文列舉了行列式的幾種計(jì)算方法：如化三角形法，提取公因式法等，并指明了這幾種方法的使用條件。
關(guān)鍵詞：行列式 三角形行列式 范德蒙行列式 循環(huán)行列式
行列式的計(jì)算是一個(gè)很重要的問(wèn)題，也是一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題，階數(shù)不超過(guò)3的行列式可直接按行列式的定義求值，零元素很多的行列式（三角形行列式）也可按行列式的定義求值。對(duì)于一般階行列式，特別是當(dāng)較大時(shí)，直接用定義計(jì)算行列式幾乎是不可能的事。因此，研究一般階行列式的計(jì)算方法是十分必要的。由于不存在計(jì)算階行列式的一般方法，所以，本文只給出八種特殊的計(jì)算方法，基本上可解決一般階行列式的計(jì)算問(wèn)題。
1 升階法
在計(jì)算行列式時(shí)，我
2、們往往先利用行列式的性質(zhì)變換給定的行列式，再用展
開(kāi)定理使之降階，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化。有時(shí)與此相反，即在原行列式的基礎(chǔ)上
添行加列使其升階構(gòu)造一個(gè)容易計(jì)算的新行列式，進(jìn)而求出原行列式的值。這種
計(jì)算行列式的方法稱(chēng)為升階法。凡可利用升階法計(jì)算的行列式具有的特點(diǎn)是：除
主對(duì)角線上的元素外，其余的元素都相同，或任兩行（列）對(duì)應(yīng)元素成比例。升
階時(shí)，新行（列）由哪些元素組成？添加在哪個(gè)位置？這要根據(jù)原行列式的特點(diǎn)
作出選擇。
例1計(jì)算n階行列式 ，其中
解
將最后一個(gè)行列式的第j列的倍加到第一列（，就可以變?yōu)樯先切涡辛惺?，其主?duì)角線上的元素為1+
故
例2 計(jì)算n階行
3、列式
解 好象范德蒙行列式，但并不是，為了利用范德蒙行列式的結(jié)果，令
按第列展開(kāi)，則得到一個(gè)關(guān)于的多項(xiàng)式，的系數(shù)為。另一方面
顯然，中的系數(shù)為
所以
2利用遞推關(guān)系法
所謂利用遞推關(guān)系法，就是先建立同類(lèi)型n階與n-1階（或更低階）行列式之間的關(guān)系——遞推關(guān)系式，再利用遞推關(guān)系求出原行列式的值。
例3計(jì)算n階行列式 ，其中
解 將的第一行視為據(jù)行列式的性質(zhì)，得
于b與c的對(duì)稱(chēng)性，不難得到
聯(lián)立（1），(2）解之，得
例4計(jì)算n
4、階行列式
解將按第一行展開(kāi)，得
于是得到一個(gè)遞推關(guān)系式，變形得
易知
所以，據(jù)此關(guān)系式在遞推，有
如果我們將的第一列元素看作,1+0,……0+0,按第一列坼成兩個(gè)行
列式的和，那么可直接得到遞推關(guān)系式，同樣可得的值。
3 化三角形法
此種方法是利用行列式的性質(zhì)把給定的行列式表為一個(gè)非零數(shù)與一個(gè)三角形行列式之積，所謂三角形行列式是位于對(duì)角線一側(cè)的所有元素全部等于零的行列式。三角形行列式的值容易求得，涉及主對(duì)角線的三角形行列式等于主對(duì)角線上元素之積，涉及次對(duì)
5、角線的N階三角形行列式等于次對(duì)角線上元素之積且?guī)Х?hào)
例5計(jì)算N階行列式
解
4 利用范德蒙（Vandermonde）行列式法
著名的范德蒙行列式，在線性代數(shù)中占有重要地位，研究它的應(yīng)用引起了一些數(shù)學(xué)家的興趣，因此在計(jì)算行列式時(shí)，可直接用其結(jié)果。
例6 計(jì)算n階行列式
解 將第一行可視為，再由行列式的性質(zhì)，得
把第一個(gè)行列式從第一行起依次將行加到行；第二個(gè)行列式的第列提取得
=
5 利用乘法定理法
在計(jì)算行列式時(shí)，有時(shí)可以用乘法定理，將給定的行列式表為兩個(gè)容易計(jì)算的或已知的行列式的乘積
6、，從而求出給定行列式的值；有時(shí)不直接計(jì)算給定的行列式，而是選一個(gè)適當(dāng)?shù)呐c給定行列式同階的行列式，計(jì)算兩行列式的乘積，由此求出給定行列式的值，這樣也可使問(wèn)題簡(jiǎn)單。
例7計(jì)算n階行列式
解
所以，當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
6 利用拉普拉斯（Laplace）定理法
拉普拉斯定理，在計(jì)算行列式時(shí)，主要應(yīng)用k=1的情形，而很少用一般形式，不過(guò)當(dāng)行列式里零元素很多時(shí)，運(yùn)用一般情形的拉普拉斯定理，往往會(huì)給行列式的計(jì)算帶來(lái)方便。
例8 計(jì)算2n階行列式
解
7 提取公因式法
若行列式滿足下列條件之一，則可以用此法：（1）
7、有一行（列）元素相同，稱(chēng)為“型”；（2）有兩行（列）的對(duì)應(yīng)元素之和或差相等，稱(chēng)為“鄰和型”；（3）各行（列）元素之和相等，稱(chēng)為“全和型”。滿足條件（1）的行列式可直接提取公因式變?yōu)椤?，1，…，1型”，于是應(yīng)用按行（列）展開(kāi)定理，使行列式降一階。滿足（2）和（3）的行列式都可以根據(jù)行列式的性質(zhì)變?yōu)闈M足條件（1）的行列式，間接使用提取公因式法。
例9計(jì)算N階行列式
解 該行列式各行元素之和都等于 ，屬于“全和型”，所以
總結(jié):計(jì)算行列式的方法很多,除了以上常見(jiàn)的方法外還有一些特殊的方法,如n階輪換行列式的初等計(jì)算方法、極限法、導(dǎo)數(shù)法、積分法等。對(duì)于一個(gè)給定的行列式可以有多種方法求解，這是則要求我們注意方法的靈活性，要在眾多方法中選取一種最簡(jiǎn)便的方法。
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行列式解法小結(jié)數(shù)學(xué)畢業(yè)論文
