高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)突破 導(dǎo)數(shù)與積分（打包9套）.zip
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2017年高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)突破——導(dǎo)數(shù)與積分
第1講 變化率與導(dǎo)數(shù)
【知識(shí)梳理】
1．函數(shù)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)
(1)定義：稱函數(shù)在x＝x0處的瞬時(shí)變化率為函數(shù)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作或，即．
【基礎(chǔ)考點(diǎn)突破】
考點(diǎn)1．求平均變化率
【例1】若一質(zhì)點(diǎn)按規(guī)律運(yùn)動(dòng)，則在時(shí)間段2～2.1中，平均速度是 ( )
A．4 B．4.1 C．0.41 D．－1.1
【歸納總結(jié)】求函數(shù)的平均變化率的步驟:
（1）求函數(shù)的增量；（2）計(jì)算平均變化率
考點(diǎn)2 瞬時(shí)速度與瞬時(shí)變化率
【例2】自由落體運(yùn)動(dòng)的公式為s＝s(t)＝gt2(g＝10 m/s2)，若v＝，則下列說(shuō)法正確的是( )
A．v是在0～1 s這段時(shí)間內(nèi)的速度
B．v是1 s到(1＋Δt)s這段時(shí)間內(nèi)的速度
C．5Δt＋10是物體在t＝1 s這一時(shí)刻的速度
D．5Δt＋10是物體從1 s到(1＋Δt)s這段時(shí)間內(nèi)的平均速度
【例3】某物體作直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律是s＝t2＋(t的單位是秒，s的單位是米)，則它在4秒末的瞬時(shí)速度為( )
A.米/秒 B．米/秒 C．8米/秒 D．米/秒
考點(diǎn)3．定義法求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
【例4】.求函數(shù)y＝x＋在x＝1處的導(dǎo)數(shù)
【歸納小結(jié)】1．求導(dǎo)方法簡(jiǎn)記為：一差、二化、三趨近．
2．求函數(shù)在某一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的方法有兩種：一種是直接求出函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)；另一種是求出導(dǎo)函數(shù)，再求導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值，此方法是常用方法．
變式訓(xùn)練1．用定義求函數(shù)f(x)＝x2在x＝1處的導(dǎo)數(shù)．
【例5】（ ）
A. B. C. D.
【基礎(chǔ)練習(xí)鞏固】
1．已知物體位移公式s＝s(t)，從t0到t0＋Δt這段時(shí)間內(nèi)，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )
A．Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)叫做位移增量 B．＝叫做這段時(shí)間內(nèi)物體的平均速度
C．不一定與Δt有關(guān) D． 叫做這段時(shí)間內(nèi)物體的平均速度
2．設(shè)函數(shù)，當(dāng)自變量由改變到時(shí)，函數(shù)的改變量為（ ?。?
A． B． C． D．
3．某地某天上午9：20的氣溫為23.40℃，下午1：30的氣溫為15.90℃，則在這段時(shí)間內(nèi)氣溫變化率為（℃/min） （ ）
A. B. C. D.
4．.函數(shù)y＝x3在x＝1處的導(dǎo)數(shù)為( )
A．2 B．－2 C．3 D．－3
5．已知點(diǎn)P(x0，y0)是拋物線y＝3x2＋6x＋1上一點(diǎn)，且f′(x0)＝0，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為( )
A．(1,10) B．(－1，－2) C．(1，－2) D．(－1,10)
6．設(shè)，若，則的值（ ）
A．2 B．－2 C．3 D．－3
7．函數(shù)在處有增量，則在到上的平均變化率是
8．一小球沿斜面自由滾下，其運(yùn)動(dòng)方程是s(t)＝t2(s的單位：米，t的單位：秒)，則小球在t＝5時(shí)的瞬時(shí)速度為_(kāi)_______．
9．某物體按照s(t)＝3t2＋2t＋4(s的單位：m)的規(guī)律作直線運(yùn)動(dòng)，求自運(yùn)動(dòng)開(kāi)始到4 s時(shí)物體運(yùn)動(dòng)的平均速度和4 s時(shí)的瞬時(shí)速度．
10．求函數(shù)f(x)=在附近的平均變化率，并求出在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)．
11．若，求 ．
12．是二次函數(shù)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，且，求的表達(dá)式．
2017年高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)突破——導(dǎo)數(shù)與積分
第1講 變化率與導(dǎo)數(shù)（教師版）
【知識(shí)梳理】
1．函數(shù)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)
(1)定義：稱函數(shù)在x＝x0處的瞬時(shí)變化率為函數(shù)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作或，即．
【基礎(chǔ)考點(diǎn)突破】
考點(diǎn)1．求平均變化率
【例1】若一質(zhì)點(diǎn)按規(guī)律運(yùn)動(dòng)，則在時(shí)間段2～2.1中，平均速度是 ( )
A．4 B．4.1 C．0.41 D．－1.1
解析：＝＝＝＝4.1，故應(yīng)選B.
【歸納總結(jié)】求函數(shù)的平均變化率的步驟:
（1）求函數(shù)的增量；（2）計(jì)算平均變化率
知識(shí)點(diǎn)2 瞬時(shí)速度與瞬時(shí)變化率
【例2】自由落體運(yùn)動(dòng)的公式為s＝s(t)＝gt2(g＝10 m/s2)，若v＝，則下列說(shuō)法正確的是( )
A．v是在0～1 s這段時(shí)間內(nèi)的速度
B．v是1 s到(1＋Δt)s這段時(shí)間內(nèi)的速度
C．5Δt＋10是物體在t＝1 s這一時(shí)刻的速度
D．5Δt＋10是物體從1 s到(1＋Δt)s這段時(shí)間內(nèi)的平均速度
【解析】 由平均速度的概念知：v＝＝5Δt＋10.故應(yīng)選D.
【例3】某物體作直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律是s＝t2＋(t的單位是秒，s的單位是米)，則它在4秒末的瞬時(shí)速度為( )
A.米/秒 B．米/秒 C．8米/秒 D．米/秒
【解析】∵＝＝＝Δt＋8－，
∴ ＝8－＝. 故選B.
考點(diǎn)3．定義法求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
【例4】.求函數(shù)y＝x＋在x＝1處的導(dǎo)數(shù)
【解析】法一 ∵Δy＝(1＋Δx)＋－(1＋)＝Δx－1＋＝，∴＝.
∴y′|x＝1＝ ＝ ＝0.
法二 ∵Δy＝(x＋Δx)＋－(x＋)＝Δx－＋＝，
∴y′＝ ＝ ＝＝1－.
∴y′|x＝1＝1－1＝0.
【歸納小結(jié)】1．求導(dǎo)方法簡(jiǎn)記為：一差、二化、三趨近．
2．求函數(shù)在某一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的方法有兩種：一種是直接求出函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)；另一種是求出導(dǎo)函數(shù)，再求導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值，此方法是常用方法．
變式訓(xùn)練1．用定義求函數(shù)f(x)＝x2在x＝1處的導(dǎo)數(shù)．
解析：法一 Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－1＝2Δx＋(Δx)2，
∴ f′(1)＝ ＝ ＝ (2＋Δx)＝2，即f(x)＝x2在x＝1處的導(dǎo)數(shù)f′(1)＝2.
法二 Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)2－x2＝2Δx·x＋(Δx)2，∴ ＝＝2x＋Δx.
∴，∴ ，即f(x)＝x2在x＝1處的導(dǎo)數(shù)f′(1)＝2.
【例5】（ ）
A. B. C. D.
【解析】，故選B.
【基礎(chǔ)練習(xí)鞏固】
1．已知物體位移公式s＝s(t)，從t0到t0＋Δt這段時(shí)間內(nèi)，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )
A．Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)叫做位移增量 B．＝叫做這段時(shí)間內(nèi)物體的平均速度
C．不一定與Δt有關(guān) D． 叫做這段時(shí)間內(nèi)物體的平均速度
【解析】D錯(cuò)誤，應(yīng)為t＝t0時(shí)的瞬時(shí)速度，選D
2．設(shè)函數(shù)，當(dāng)自變量由改變到時(shí)，函數(shù)的改變量為（ ?。?
A． B． C． D．
2. 解析】D.
3．某地某天上午9：20的氣溫為23.40℃，下午1：30的氣溫為15.90℃，則在這段時(shí)間內(nèi)氣溫變化率為（℃/min） （ ）
A. B. C. D.
【解析】B
4．.函數(shù)y＝x3在x＝1處的導(dǎo)數(shù)為( )
A．2 B．－2 C．3 D．－3
【答案】C
【解析】＝＝＝3x2＋3Δx·x＋(Δx)2，∴ ＝3x2，∴y′|x＝1＝3.
5．已知點(diǎn)P(x0，y0)是拋物線y＝3x2＋6x＋1上一點(diǎn)，且f′(x0)＝0，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為( )
A．(1,10) B．(－1，－2) C．(1，－2) D．(－1,10)
【答案】 B
【解析】 Δy＝3(x0＋Δx)2＋6(x0＋Δx)－3x－6x0＝6x0·Δx＋3Δx2＋6Δx，
∴ ＝ (6x0＋3Δx＋6)＝6x0＋6＝0.，∴x0＝－1，y0＝－2.
6．設(shè)，若，則的值（ ）
A．2 B．－2 C．3 D．－3
【解析】A
7．函數(shù)在處有增量，則在到上的平均變化率是
3.【答案】 17.5
8．一小球沿斜面自由滾下，其運(yùn)動(dòng)方程是s(t)＝t2(s的單位：米，t的單位：秒)，則小球在t＝5時(shí)的瞬時(shí)速度為_(kāi)_______．
【答案】 10米/秒
【解析】v′(5)＝ ＝ (10＋Δt)＝10.
9．某物體按照s(t)＝3t2＋2t＋4(s的單位：m)的規(guī)律作直線運(yùn)動(dòng)，求自運(yùn)動(dòng)開(kāi)始到4 s時(shí)物體運(yùn)動(dòng)的平均速度和4 s時(shí)的瞬時(shí)速度．
【解析】自運(yùn)動(dòng)開(kāi)始到t s時(shí)，物體運(yùn)動(dòng)的平均速度(t)＝＝3t＋2＋，故前4 s物體的平均速度為(4)＝3×4＋2＋＝15(m/s).
由于Δs＝3(t＋Δt)2＋2(t＋Δt)＋4－(3t2＋2t＋4)＝(2＋6t)Δt＋3(Δt)2.
＝ (2＋6t＋3·Δt)＝2＋6t， ∴4 s時(shí)物體的瞬時(shí)速度為2＋6×4＝26(m/s).
10．求函數(shù)f(x)=在附近的平均變化率，并求出在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)．
解析：，
．
11．若，求 ．
解析： =
所以：f’(2)=
12．設(shè)是二次函數(shù)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，且，求的表達(dá)式．
解析：設(shè)，則 解得，所以。
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2017年高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)突破——導(dǎo)數(shù)與積分
第7講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)
【知識(shí)梳理】
研究方程根或函數(shù)的零點(diǎn)的情況，可以通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢(shì)等，根據(jù)題目要求，畫(huà)出函數(shù)圖象的走勢(shì)規(guī)律，標(biāo)明函數(shù)極(最)值的位置，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想去分析問(wèn)題，可以使問(wèn)題的求解有一個(gè)清晰、直觀的整體展現(xiàn)．
【基礎(chǔ)考點(diǎn)突破】
考點(diǎn)1. 利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題
【例1】(2014·課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋ax＋2，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，2)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－2.
(1)求a；(2)證明：當(dāng)k<1時(shí)，曲線y＝f(x)與直線y＝kx－2只有一個(gè)交點(diǎn)．
【例2】（2016年北京高考）設(shè)函數(shù).
（I）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（II）設(shè)，若函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)，求c的取值范圍；
（III）求證：是有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要而不充分條件.
變式訓(xùn)練2.（2016年全國(guó)I卷高考）已知函數(shù).
(I)討論的單調(diào)性；(II)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.
【基礎(chǔ)練習(xí)鞏固】
1．若函數(shù)f(x)＝2x3－9x2＋12x－a恰好有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則a可能的值為( )
A．4 B．6 C．7 D．8
2．(2015·廣東，19)設(shè)a>1，函數(shù)f(x)＝(1＋x2)ex－a.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)證明：f(x)在(－∞，＋∞)上僅有一個(gè)零點(diǎn)；
(3)若曲線y＝f(x)在點(diǎn)P處的切線與x軸平行，且在點(diǎn)M(m，n)處的切線與直線OP平行(O是坐標(biāo)原點(diǎn))，
3．(2015·課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)＝e2x－aln x.
(1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)證明：當(dāng)a>0時(shí)，f(x)≥2a＋aln.
4．已知函數(shù)f(x)＝.
(1)若f(x)在區(qū)間(－∞，2)上為單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)若a＝0，x0<1，設(shè)直線y＝g(x)為函數(shù)f(x)的圖象在x＝x0處的切線，求證：f(x)≤g(x)．
2017年高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)突破——導(dǎo)數(shù)與積分
第7講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)（學(xué)生版，后附教師版）
【知識(shí)梳理】
研究方程根或函數(shù)的零點(diǎn)的情況，可以通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢(shì)等，根據(jù)題目要求，畫(huà)出函數(shù)圖象的走勢(shì)規(guī)律，標(biāo)明函數(shù)極(最)值的位置，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想去分析問(wèn)題，可以使問(wèn)題的求解有一個(gè)清晰、直觀的整體展現(xiàn)．
【基礎(chǔ)考點(diǎn)突破】
考點(diǎn)1. 利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題
【例1】(2014·課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋ax＋2，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，2)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－2.
(1)求a；(2)證明：當(dāng)k<1時(shí)，曲線y＝f(x)與直線y＝kx－2只有一個(gè)交點(diǎn)．
解析：f′(x)＝3x2－6x＋a，f′(0)＝a.
曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，2)處的切線方程為y＝ax＋2，由題設(shè)得－＝－2，所以a＝1.
(2)證明 由(1)知，f(x)＝x3－3x2＋x＋2，設(shè)g(x)＝f(x)－kx＋2＝x3－3x2＋(1－k)x＋4.
由題設(shè)知1－k>0.
當(dāng)x≤0時(shí)，g′(x)＝3x2－6x＋1－k>0，g(x)單調(diào)遞增，g(－1)＝k－1<0，g(0)＝4，所以g(x)＝0在(－∞，0]有唯一實(shí)根．
當(dāng)x>0時(shí)，令h(x)＝x3－3x2＋4，則g(x)＝h(x)＋(1－k)x>h(x)．
h′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，h(x)在(0，2)單調(diào)遞減，在(2，＋∞)單調(diào)遞增，所以g(x)>h(x)≥h(2)＝0.
所以g(x)＝0在(0，＋∞)沒(méi)有實(shí)根．
綜上，g(x)＝0在R有唯一實(shí)根，即曲線y＝f(x)與直線y＝kx－2只有一個(gè)交點(diǎn)．
【例2】（2016年北京高考）設(shè)函數(shù).
（I）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（II）設(shè)，若函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)，求c的取值范圍；
（III）求證：是有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要而不充分條件.
解：（I）由，得．
因?yàn)椋?，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為．
（II）當(dāng)時(shí)，，所以．
令，得，解得或．
與在區(qū)間上的情況如下：
所以，當(dāng)且時(shí)，存在，，
，使得．
由的單調(diào)性知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)．
（III）當(dāng)時(shí)，，，
此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以不可能有三個(gè)不同零點(diǎn)．
當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)，記作．
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增．
所以不可能有三個(gè)不同零點(diǎn)．
綜上所述，若函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)，則必有．
故是有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要條件．
當(dāng)，時(shí)，，只有兩個(gè)不同
點(diǎn)， 所以不是有三個(gè)不同零點(diǎn)的充分條件．
因此是有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要而不充分條件．
變式訓(xùn)練2.（2016年全國(guó)I卷高考）已知函數(shù).
(I)討論的單調(diào)性；(II)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.
【解析】（Ⅰ）．
（ i ）當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，
故函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．
（ ii ）當(dāng)時(shí)，由，解得：或
①若，即，則，
故在單調(diào)遞增．
②若，即，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，
故函數(shù)在，單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減．
③若，即，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
故函數(shù)在，單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減．
（Ⅱ）（i）當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）知，函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．
又∵，取實(shí)數(shù)滿足且，則
∴有兩個(gè)零點(diǎn)．
（ii）若，則，故只有一個(gè)零點(diǎn)．
（iii）若，由（I）知，當(dāng)，則在單調(diào)遞增，又當(dāng)時(shí)，，故不存在兩個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)，則函數(shù)在單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減．又當(dāng)時(shí)，，故不存在兩個(gè)零點(diǎn)．
綜上所述，的取值范圍是．
【基礎(chǔ)練習(xí)鞏固】
1．若函數(shù)f(x)＝2x3－9x2＋12x－a恰好有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則a可能的值為( )
A．4 B．6 C．7 D．8
答案 A
解析 由題意得f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)，由f′(x)>0得x<1或x>2，由f′(x)<0得11，函數(shù)f(x)＝(1＋x2)ex－a.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)證明：f(x)在(－∞，＋∞)上僅有一個(gè)零點(diǎn)；
(3)若曲線y＝f(x)在點(diǎn)P處的切線與x軸平行，且在點(diǎn)M(m，n)處的切線與直線OP平行(O是坐標(biāo)原點(diǎn))，證明：m≤－1.
解析：（1）f′(x)＝2xex＋(1＋x2)ex＝(x2＋2x＋1)ex＝(x＋1)2ex
?x∈R，f′(x)≥0恒成立.∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，＋∞).
(2)證明 ∵f(0)＝1－a，f(a)＝(1＋a2)ea－a，
∵a>1，∴f(0)<0，f(a)>2aea－a>2a－a＝a>0，∴f(0)·f(a)<0，∴f(x)在(0，a)上有一零點(diǎn)，
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上遞增，∴f(x)在(0，a)上僅有一個(gè)零點(diǎn)，
∴f(x)在(－∞，＋∞)上僅有一個(gè)零點(diǎn).
(3)證明 f′(x)＝(x＋1)2ex，設(shè)P(x0，y0)，則f′(x0)＝ex0(x0＋1)2＝0，∴x0＝－1，把x0＝-1，代入y＝f(x)得y0＝-a，∴kOP＝a－.
f′(m)＝em(m＋1)2＝a－，令g(m)＝em－(m＋1)，g′(m)＝em－1.
令g′(x)>0，則m>0，∴g(m)在(0，＋∞)上增.
令g′(x)<0，則m<0，∴g(m)在(－∞，0)上減.∴g(m)min＝g(0)＝0.
∴em－(m＋1)≥0，即em≥m＋1.∴em(m＋1)2≥(m＋1)3，即a－≥(m＋1)3.
∴m＋1≤，即m≤－1.
3．(2015·課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)＝e2x－aln x.
(1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)證明：當(dāng)a>0時(shí)，f(x)≥2a＋aln.
(1)解 f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝2e2x－(x>0)．
當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0，f′(x)沒(méi)有零點(diǎn)．
當(dāng)a>0時(shí)，因?yàn)閥＝e2x單調(diào)遞增，y＝－單調(diào)遞增，所以f′(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．又f′(a)>0，當(dāng)b滿足00時(shí)，f′(x)存在唯一零點(diǎn)．
(2)證明 由(1)，可設(shè)f′(x)在(0，＋∞)的唯一零點(diǎn)為x0，當(dāng)x∈(0，x0)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(x0，＋∞)時(shí)，f′(x)>0.
故f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝x0時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為f(x0)．
由于2e2x0－＝0，所以f(x0)＝＋2ax0＋aln≥2a＋aln.故當(dāng)a>0時(shí)，f(x)≥2a＋aln.
4．已知函數(shù)f(x)＝.
(1)若f(x)在區(qū)間(－∞，2)上為單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)若a＝0，x0<1，設(shè)直線y＝g(x)為函數(shù)f(x)的圖象在x＝x0處的切線，求證：f(x)≤g(x)．
(1)解 易得f′(x)＝－，由已知得f′(x)≥0對(duì)x∈(－∞，2)恒成立，故x≤1－a對(duì)x∈(－∞，2)恒成立，∴1－a≥2，∴a≤－1.
(2)證明 a＝0，則f(x)＝.
函數(shù)f(x)的圖象在x＝x0處的切線方程為y＝g(x)＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)．
令h(x)＝f(x)－g(x)＝f(x)－f′(x0)(x－x0)－f(x0)，x∈R，
則h′(x)＝f′(x)－f′(x0)＝－＝.
設(shè)φ(x)＝(1－x)ex0－(1－x0)ex，x∈R，則φ′(x)＝－ex0－(1－x0)ex，∵x0<1，∴φ′(x)<0，∴φ(x)在R上單調(diào)遞減，而φ(x0)＝0，∴當(dāng)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，φ(x)<0，∴當(dāng)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，h′(x)<0，∴h(x)在區(qū)間(－∞，x0)上為增函數(shù)，在區(qū)間(x0，＋∞)上為減函數(shù)，
∴x∈R時(shí)，h(x)≤h(x0)＝0，∴f(x)≤g(x)．
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2017年高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)突破——導(dǎo)數(shù)與積分
第8講 構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)與“二次求導(dǎo)”
【知識(shí)梳理】
構(gòu)造輔助函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中一種常用的方法，解題中若遇到有關(guān)不等式、方程及最值之類問(wèn)題，設(shè)法建立起目標(biāo)函數(shù)，并確定變量的限制條件，通過(guò)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等問(wèn)題，?？墒箚?wèn)題變得明了，屬于難題．
二次求導(dǎo)的原因是導(dǎo)函數(shù)無(wú)法用初等方程的求解，尤其是超越方程，使用二次求導(dǎo)可以化解很多一次求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)“求之不得”的問(wèn)題。
【基礎(chǔ)考點(diǎn)突破】
考點(diǎn)1.構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)
【例1】【2015高考新課標(biāo)2，理12】設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則使得成立的的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
變式訓(xùn)練1.【2015高考福建，理10】若定義在上的函數(shù) 滿足 ，其導(dǎo)函數(shù) 滿足 ，則下列結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是（ ）
A． B． C． D．
考點(diǎn)2.利用導(dǎo)數(shù)構(gòu)造函數(shù)證明不等式
【例2】【2015高考福建，文22】已知函數(shù)．
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，；
（Ⅲ）確定實(shí)數(shù)的所有可能取值，使得存在，當(dāng)時(shí)，恒有．
變式訓(xùn)練2.【2016高考新課標(biāo)Ⅲ文數(shù)】設(shè)函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；（2）證明當(dāng)時(shí)，；（3）設(shè)，證明當(dāng)時(shí)，.
考點(diǎn)3.構(gòu)造函數(shù)與二次求導(dǎo)
【例3】設(shè)函數(shù)(其中).
(Ⅰ) 當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(Ⅱ) 當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上的最大值.
【歸納總結(jié)】二次求導(dǎo)的原因是導(dǎo)函數(shù)無(wú)法用初等方程的求解，尤其是超越方程，使用二次求導(dǎo)可以化解很多一次求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)“求之不得”的問(wèn)題。
變式訓(xùn)練3.（2012年全國(guó)卷）設(shè)函數(shù)．
（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若，為整數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，求的最大值．
變式訓(xùn)練4.（2014年山東卷）設(shè)函數(shù)（為常數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍．
【基礎(chǔ)練習(xí)鞏固】
1．設(shè)函數(shù)滿足，，則時(shí)，（ ）
A．有極大值，無(wú)極小值 B．有極小值，無(wú)極大值
C．既有極大值又有極小值 D．既無(wú)極大值也無(wú)極小值
2．設(shè)函數(shù)，其中．
（1）當(dāng)時(shí)，證明不等式；（2）設(shè)的最小值為，證明．
3． 已知函數(shù)，證明: 當(dāng)且時(shí)．
4.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】
(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性，并證明當(dāng)時(shí)，；
(Ⅱ)證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值.設(shè)的最小值為，求函數(shù)的值域．
2017年高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)突破——導(dǎo)數(shù)與積分
第1講 構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)與“二次求導(dǎo)”（學(xué)生版，后附教師版）
【知識(shí)梳理】
構(gòu)造輔助函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中一種常用的方法，解題中若遇到有關(guān)不等式、方程及最值之類問(wèn)題，設(shè)法建立起目標(biāo)函數(shù)，并確定變量的限制條件，通過(guò)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等問(wèn)題，?？墒箚?wèn)題變得明了，屬于難題．
二次求導(dǎo)的原因是導(dǎo)函數(shù)無(wú)法用初等方程的求解，尤其是超越方程，使用二次求導(dǎo)可以化解很多一次求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)“求之不得”的問(wèn)題。
【基礎(chǔ)考點(diǎn)突破】
考點(diǎn)1.構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)
【例1】【2015高考新課標(biāo)2，理12】設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則使得成立的的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
解析：記函數(shù)，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；又因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，故函數(shù)是偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，且.當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則，綜上所述，使得成立的的取值范圍是，故選A.
變式訓(xùn)練1.【2015高考福建，理10】若定義在上的函數(shù) 滿足 ，其導(dǎo)函數(shù) 滿足 ，則下列結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知條件，構(gòu)造函數(shù)，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，故，所以，，所以結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是C，選項(xiàng)D無(wú)法判斷；構(gòu)造函數(shù)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，即，，選項(xiàng)A,B無(wú)法判斷，故選C．
考點(diǎn)2.利用導(dǎo)數(shù)構(gòu)造函數(shù)證明不等式
【例2】【2015高考福建，文22】已知函數(shù)．
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，；
（Ⅲ）確定實(shí)數(shù)的所有可能取值，使得存在，當(dāng)時(shí)，恒有．
【答案】(Ⅰ) ；（Ⅱ）詳見(jiàn)解析；（Ⅲ）．
【解析】（I），．
由得解得．
故的單調(diào)遞增區(qū)間是．
（II）令，．則有．
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，．
（III）由（II）知，當(dāng)時(shí)，不存在滿足題意．
當(dāng)時(shí)，對(duì)于，有，則，從而不存在滿足題意．
當(dāng)時(shí)，令，，則有．
由得，．
解得，．
當(dāng)時(shí)，，故在內(nèi)單調(diào)遞增．
從而當(dāng)時(shí)，，即，
綜上，的取值范圍是．
變式訓(xùn)練2.【2016高考新課標(biāo)Ⅲ文數(shù)】設(shè)函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；（2）證明當(dāng)時(shí)，；（3）設(shè)，證明當(dāng)時(shí)，.
解析：（Ⅰ）由題設(shè)，的定義域?yàn)椋?，令，解?
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在處取得最大值，最大值為，所以當(dāng)時(shí)，.
故當(dāng)時(shí)，，，即.
（Ⅲ）由題設(shè)，設(shè)，則，令，解得.
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.
由（Ⅱ）知，，故，又，故當(dāng)時(shí)，.
所以當(dāng)時(shí)，.
考點(diǎn)3.構(gòu)造函數(shù)與二次求導(dǎo)
【例3】設(shè)函數(shù)(其中).
(Ⅰ) 當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(Ⅱ) 當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上的最大值.
解析：(Ⅰ) 當(dāng)時(shí), ,
令,得,
當(dāng)變化時(shí),的變化如下表:
極大值
極小值
右表可知,函數(shù)的遞減區(qū)間為,遞增區(qū)間為,.
(Ⅱ) ,令,得,,
令,則,所以在上遞增,
所以,從而,所以
所以當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),；
所以，
令,則,令,則，
所以在上遞減,而，
所以存在使得,且當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
因?yàn)?.
所以在上恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得“”.
綜上,函數(shù)在上的最大值.
【歸納總結(jié)】二次求導(dǎo)的原因是導(dǎo)函數(shù)無(wú)法用初等方程的求解，尤其是超越方程，使用二次求導(dǎo)可以化解很多一次求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)“求之不得”的問(wèn)題。
變式訓(xùn)練3.（2012年全國(guó)卷）設(shè)函數(shù)．
（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若，為整數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，求的最大值．
解 （1）的定義域?yàn)?，?
若，則，在上單調(diào)遞增；若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
（2）由于，所以．
故當(dāng)時(shí)，等價(jià)于①
令，則，由（1）知函數(shù)在上單調(diào)遞增．而，，所以在內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，故在內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，設(shè)此零點(diǎn)為，則．
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)的最小值為．又由，可得，所以．
由于①式等價(jià)于，故整數(shù)的最大值為2．
變式訓(xùn)練4.（2014年山東卷）設(shè)函數(shù)（為常數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍．
解 （1）函數(shù)的定義域?yàn)?，．由可得，所以?dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增．所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．
（2）由（Ⅰ）知，時(shí)，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，即函數(shù)在在內(nèi)不存在極點(diǎn)，故．
因?yàn)椋?
記．若函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則有兩個(gè)零點(diǎn)．
因?yàn)椋?dāng)時(shí)，在內(nèi)成立，為單調(diào)遞增函數(shù)，在內(nèi)不存在兩個(gè)極值點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，在內(nèi)成立，為單調(diào)遞減函數(shù)，在內(nèi)成立，為單調(diào)遞增函數(shù)．所以函數(shù)的最小值為．
若在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)，解得．
綜上，在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，的取值范圍為．
【基礎(chǔ)練習(xí)鞏固】
1．設(shè)函數(shù)滿足，，則時(shí)，（ ）
A．有極大值，無(wú)極小值 B．有極小值，無(wú)極大值
C．既有極大值又有極小值 D．既無(wú)極大值也無(wú)極小值
解析：由題意,令,則,且，
因此．
令，則，
所以時(shí)，；時(shí)，．從而有，即，所以當(dāng)時(shí)，是單調(diào)遞增的，既無(wú)極大值也無(wú)極小值．答案D．
2．設(shè)函數(shù)，其中．
（1）當(dāng)時(shí)，證明不等式；
（2）設(shè)的最小值為，，證明．
證明：（1）設(shè)，則．
當(dāng) 時(shí)，，在上是增函數(shù)．
所以當(dāng)時(shí)，，即．所以成立．
同理可證．所以．
（2）由已知得函數(shù)的定義域?yàn)?，且，令，得．?dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增．
所以的最小值，
將代入，得，即.
所以，即．
3． 已知函數(shù)，證明: 當(dāng)且時(shí)．
解析: 設(shè)，構(gòu)造函數(shù)，則
．
當(dāng)時(shí)可得，而，故當(dāng) 時(shí)，遞減．
所以得．
當(dāng) 時(shí)，，而，故當(dāng)時(shí)，遞減．
所以，可得．
綜上， 當(dāng)且時(shí)．
4.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】
(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性，并證明當(dāng)時(shí)，；
(Ⅱ)證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值.設(shè)的最小值為，求函數(shù)的值域．
解析：（Ⅰ）的定義域?yàn)?
且僅當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，因此當(dāng)時(shí)，所以
（II） 由（I）知，單調(diào)遞增，對(duì)任意因此，存在唯一使得即，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.
因此在處取得最小值，最小值為
于是，由單調(diào)遞增
所以，由得
因?yàn)閱握{(diào)遞增，對(duì)任意存在唯一的
使得所以的值域是
綜上，當(dāng)時(shí)，有，的值域是
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