人教版 高中數(shù)學(xué) 選修22習(xí)題 第二章　推理與證明 2.1.1合情推理

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1、2019學(xué)年人教版高中數(shù)學(xué)選修精品資料 第二章 推理與證明 2.1 合情推理與演繹推理 2.1.1 合情推理 A級(jí)　基礎(chǔ)鞏固 一、選擇題 1．?dāng)?shù)列2，5，11，20，x，47，…中的x的值為(　　) A．27 B．28 C．32 D．33 解析：觀察知，5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9， 所以x－20＝12，得x＝32. 答案：C 2．用火柴棒擺 “金魚(yú)”，如圖所示： 按照上面的規(guī)律，第n個(gè)“金魚(yú)”圖需要火柴的根數(shù)為(　　) A．6n－2 B．8n－2 C．6n＋2 D．8n＋2 解析：從①②③可以看出，從圖②開(kāi)始每個(gè)圖中的火柴

2、棒都比前一個(gè)圖中的火柴棒多6根，故火柴棒數(shù)成等差數(shù)列，第一個(gè)圖中火柴棒為8根，故可歸納出第n個(gè)“金魚(yú)”圖需火柴棒的根數(shù)為6n＋2.故選C. 答案：C 3．設(shè)n是自然數(shù)，則(n2－1)的值(　　) A．一定是零 B．不一定是偶數(shù) C．一定是偶數(shù) D．是整數(shù)但不一定是偶數(shù) 解析：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，(n2－1)＝0為偶數(shù)；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)(n＝2k＋1，k∈N)，(n2－1)＝(4k2＋4k)2＝k(k＋1)為偶數(shù)．所以(n2－1)的值一定為偶數(shù)． 答案：C 4．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，方程＋＝1表示在x軸，y軸上的截距分別為a和b的直線，拓展到空間，在x軸，y軸，z軸上的截距分別為a，b

3、，c(abc≠0)的平面方程為(　　) A.＋＋＝1 B.＋＋＝1 C.＋＋＝1 D．a(chǎn)x＋by＋cz＝1 解析：從方程＋＝1的結(jié)構(gòu)形式來(lái)看，空間直角坐標(biāo)系中，平面方程的形式應(yīng)該是＋＋＝1. 答案：A 5．已知對(duì)正數(shù)a和b，有下列命題： ①若a＋b＝1，則≤； ②若a＋b＝3，則≤； ③若a＋b＝6，則≤3. 根據(jù)以上三個(gè)命題提供的規(guī)律猜想：若a＋b＝9，則≤(　　) A． 2 B. C．4 D．5 解析：從已知的三個(gè)不等式的右邊可以看出，其表現(xiàn)形式為，，，所以若a＋b＝9，則≤. 答案：B 二、填空題 6．已知a1＝1，an＋1＞an，且(an＋1－

4、an)2－2(an＋1＋an)＋1＝0，計(jì)算a2，a3，猜想an＝________． 解析：計(jì)算得a2＝4，a3＝9，所以猜想an＝n2. 答案： n2 7．通過(guò)圓與球的類比，由“半徑為R的圓的內(nèi)接矩形中，以正方形的面積為最大，最大值為2R2.”猜想關(guān)于球的相應(yīng)命題為 _____________________________________________________． 解析：“圓中正方形的面積”類比為“球中正方體的體積”，可得結(jié)論． 答案：半徑為R的內(nèi)接六面體中以正方體的體積為最大，最大值為R3. 8．(2015陜西卷)觀察分析下表中的數(shù)據(jù)： 多面體 面數(shù)(F)

5、 頂點(diǎn)數(shù)(V) 棱數(shù)(E) 三棱錐 5 6 9 五棱錐 6 6 10 立方體 6 8 12 猜想一般凸多面體中，F(xiàn)，V，E所滿足的等式是______________． 解析：三棱錐：F＝5，V＝6，E＝9，得F＋V－E＝2； 五棱錐：F＝6，V＝6，E＝10，得；F＋V－E＝2； 立方體：F＝6，V＝8，E＝12，得F＋V－E＝2. 所以歸納猜想一般凸多面體中，F(xiàn)，V，E所滿足的等式F＋V－E＝2. 答案：F＋V－E＝2 三、解答題 9．兩條直線最多有一個(gè)交點(diǎn)，3條直線最多有3個(gè)交點(diǎn)，4條直線最多有6個(gè)交點(diǎn)，5條直線最多有10個(gè)交點(diǎn)，……，試歸納出n條

6、直線最多有多少個(gè)交點(diǎn)． 解：設(shè)直線條數(shù)為n，最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)為f(n)，則 f(2)＝1， f(3)＝3＝1＋2， f(4)＝6＝1＋2＋3， f(5)＝10＝1＋2＋3＋4， f(6)＝15＝1＋2＋3＋4＝5， … 由此可以歸納出，n條直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為 f(n)＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＝. 10．設(shè)f(x)＝，先分別求出f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后歸納出一個(gè)一般結(jié)論，并給出證明． 解：當(dāng)x1＋x2＝1時(shí)，f(x1)＋f(x2)＝. 下面證明：f(x1)＋f(x2)＝＋＝ ＋＝＋＝ ＋＝＝. B級(jí)　能力提升 1．圖①、

7、圖②、圖③、圖④分別包含1、5、13和25個(gè)互不重疊的單位正方形，按同樣的方式構(gòu)造圖形，則第n個(gè)圖包含的單位正方形的個(gè)數(shù)是(　　) 圖①　圖②　 　圖③　　　圖④ A．n2－2n＋1 B．2n2－2n＋1 C．2n2＋2 D．2n2－n＋1 解析：觀察題中給出的四個(gè)圖形，圖①共有12個(gè)正方形，圖②共有12＋22個(gè)正方形；圖③共有22＋32個(gè)正方形；圖④共有32＋42個(gè)正方形；則第n個(gè)圖中共有(n－1)2＋n2，即2n2－2n＋1個(gè)正方形． 答案：B 2．觀察：(1)tan 100tan 200＋tan 200tan 600＋tan 600tan 100＝1； (2)t

8、an 50tan 100＋tan 100tan 750＋tan 750tan 50＝1. 由以上兩式成立，推廣得到的一般結(jié)論是___________________ ______________________________________________________. 解析：由已知兩個(gè)式子可知，三個(gè)角之和為90，且這三個(gè)角都不是90，由此可得一般結(jié)論． 答案：若α、β、γ都不是90，且α＋β＋γ＝90，則 tan αtan β＋tan β tan γ＋tan αtan γ＝1. 3．通過(guò)計(jì)算可得下列等式： 23－13＝312＋31＋1； 33－23＝322＋32＋1；

9、 43－33＝332＋33＋1； …… (n＋1)3－n3＝3n2＋3n＋1. 將以上各等式兩邊分別相加，得 (n＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋3＋…＋n)＋n， 即12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)． 類比上述求法，請(qǐng)你求出13＋23＋33＋…＋n3的值． 解：因?yàn)?4－14＝413＋612＋41＋1， 34－24＝423＋622＋42＋1， 44－34＝433＋632＋43＋1， … (n＋1) 4－n4＝4n3＋6n2＋4n＋1. 將以上各式兩邊分別相加，得 (n＋1)4－14＝4(13＋23＋…n3)＋6(12＋22＋…＋n2)＋4(1＋2＋…＋n)＋n. 所以13＋23＋33＋…＋n3＝＝n2(n＋1)2.