人教版 高中數(shù)學(xué) 選修22習(xí)題 第一章　導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.3.3函數(shù)的最大小值與導(dǎo)數(shù)

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1、2019 人教版精品教學(xué)資料高中選修數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.3 1.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 1.3.3 1.3.3 函數(shù)的最大（?。┲蹬c導(dǎo)數(shù)函數(shù)的最大（?。┲蹬c導(dǎo)數(shù) A A 級級 基礎(chǔ)鞏固基礎(chǔ)鞏固 一、選擇題一、選擇題 1 1設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f f( (x x) )2 2x x1 1x x1(1(x x0)0)，則則f f( (x x)()( ) ) A A有最大值有最大值 B B有最小值有最小值 C C是增函數(shù)是增函數(shù) D D是減函數(shù)是減函數(shù) 解析：解析：f f(x x) )2 21 1x x2 22 2x x2 21 1x x2 2( (x x0)0)，由由f

2、 f(x x) )0 0 得得x x2 22 2，且且x x ，2 22 2時時，f f( (x x) )0 0； x x 2 22 2，0 0 時時，f f( (x x) 0.) 0.所以所以f f 2 22 2是極大值是極大值，也是最大值也是最大值 答案：答案：A A 2 2函數(shù)函數(shù)f f( (x x) )x x2 24 4x x1 1 在上的最大值和最小值分別是在上的最大值和最小值分別是( ( ) ) A Af f(1)(1)，f f(3) (3) B Bf f(3)(3)，f f(5)(5) C Cf f(1)(1)，f f(5) (5) D Df f(5)(5)，f f(2)(2)

3、解析：解析：f f(x x) )2 2x x4 4，由由f f(x x) )0 0 得得x x2 2， 因為因為f f(1)(1)2 2，f f(5)(5)6 6，f f(2)(2)3 3， 所以函數(shù)所以函數(shù)f f( (x x) )在上在上的最大值和最小值是的最大值和最小值是f f(5)(5)，f f(2)(2) 答案：答案：D D 3 3函數(shù)函數(shù)f f( (x x) )x x2 2cos cos x x在區(qū)間在區(qū)間 2 2，0 0 上的最小值是上的最小值是( ( ) ) A A2 2 B B2 C.2 C.6 6 3 3 D.D.3 31 1 解析：令解析：令f f(x x) )1 12si

4、n2sin x x0 0，因為因為x x 2 2，0 0 ， 所以所以f f(x x) )0 0，所以所以f f( (x x) )在在 2 2，0 0 單調(diào)遞增單調(diào)遞增， 所以所以f f( (x x) )minmin2 2. . 答案：答案：A A 4 4函數(shù)函數(shù)f f( (x x) )x x3 33 3axaxa a在在(0(0，1 1) )內(nèi)有最小值內(nèi)有最小值，則則a a的取值范圍是的取值范圍是( ( ) ) A A0 0a a1 1 B B00a a11 C C11a a1 1 D D00a a 1 12 2 解析： 因為解析： 因為f f(x x) )3 3x x2 23 3a a3(

5、3(x x2 2a a) )， 依題意依題意f f(x x) )0 0 在在(0(0， 1 1) )內(nèi)有解 所以內(nèi)有解 所以 00a a1.1. 答案：答案：B B 5 5 已知已知f f( (x x) )2 2x x3 36 6x x2 2m m( (m m為常數(shù)為常數(shù)) )在上有最大值在上有最大值 3 3， 那么此函數(shù)在上的最小值是那么此函數(shù)在上的最小值是( ( ) ) A A37 37 B B2929 C C5 5 D D以上都不對以上都不對 解析：令解析：令f f(x x) )6 6x x2 21212x x0 0，得得x x0 0 或或x x2.2.由由f f( (2)2)4040m

6、 m，f f(0)(0)m m，f f(2)(2)8 8m m，可知可知f f(0)(0)m m3 3，所以所以f f( (2)2)4040m m37.37. 答案：答案：A A 二、填空題二、填空題 6 6設(shè)設(shè)x x0 0是函數(shù)是函數(shù)f f( (x x) )1 12 2( (e ex xe ex x) )的最小值的最小值點，則曲線上點點，則曲線上點( (x x0 0，f f( (x x0 0)處的切線方程是處的切線方程是_ 解析：令解析：令f f(x x) )1 12 2( (e ex xe ex x) )0 0，得得x x0 0，可知可知x x0 00 0 為最小值點切點為為最小值點切點為

7、(0(0，1 1) )，切切線斜率為線斜率為k kf f(0)(0)0 0，所以切線方程為所以切線方程為y y1.1. 答案：答案：y y1 1 7 7已知已知f f( (x x) )x x2 2mxmx1 1 在區(qū)間上的最大值就是函數(shù)在區(qū)間上的最大值就是函數(shù)f f( (x x) )的極大值的極大值，則則m m的取值范圍的取值范圍是是_ 解析：令解析：令f f(x x) )2 2x xm m0 0，得得x xm m2 2. .由題設(shè)得由題設(shè)得m m2 2，故故m m 答案：答案： 8 8函數(shù)函數(shù)f f( (x x) )x x2 22 2axax1 1 在上的最小值為在上的最小值為f f(1)(

8、1)，則則a a的取值范圍為的取值范圍為_ 解析：解析：f f(x x) )2 2x x2 2a a，因為因為f f( (x x) )在上的最小值為在上的最小值為f f(1)(1)，所以所以f f( (x x) )在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞減，所以所以x x時時f f( (x x) )0 0 恒成立恒成立，于是于是a a(x x) )minmin，所以所以a a1.1. 答案：答案：( (，11 三、解答題三、解答題 9 9設(shè)直線設(shè)直線x xt t與函數(shù)與函數(shù)f f( (x x) )x x2 2，g g( (x x) )ln ln x x的圖象分別交于點的圖象分別交于點M M，N N，求當(dāng)求當(dāng)|

9、|MNMN| |達到最達到最小值時小值時t t的值的值 解：由題意解：由題意，設(shè)設(shè)| |MNMN| |F F( (t t) )t t2 2ln ln t t( (t t0)0)， 令令F F(t t) )2 2t t1 1t t0 0，得得t t2 22 2( (舍去舍去) )或或t t2 22 2. . F F( (t t) )在在 0 0，2 22 2上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減，在在 2 22 2， 上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增， 故故t t2 22 2時時，F(xiàn) F( (t t) )t t2 2ln ln t t( (t t0)0)有極小值有極小值，也為最小值也為最小值 所以當(dāng)所以當(dāng)| |MNMN| |

10、達到最小達到最小值時值時t t2 22 2. . 1010已知已知a a為常數(shù)為常數(shù)，求函數(shù)求函數(shù)f f( (x x) )x x3 33 3axax(0(0 x x1)1)的最大值的最大值 解：解：f f(x x) )3 3x x2 23 3a a3(3(x x2 2a a) ) 若若a a00，則則f f(x x)0)0，函數(shù)函數(shù)f f( (x x) )單調(diào)遞減單調(diào)遞減， 所以當(dāng)所以當(dāng)x x0 0 時時，有最大值有最大值f f(0)(0)0 0； 若若a a0 0，則令則令f f(x x) )0 0，解得解得x xa a. . 由由x x，則只考慮則只考慮x xa a的情況的情況 00a a

11、11，即，即 00a a11 時時，當(dāng)當(dāng)x xa a時時，f f( (x x) )有最大值有最大值f f( (a a) )2 2a a a a，如下表所示：如下表所示： x x (0(0，a a) ) a a ( (a a，1 1) ) f f(x x) ) 0 0 f f( (x x) ) 2 2a a a a a a1 1，即即a a11 時時，f f( (x x)0)0，函數(shù)函數(shù)f f( (x x) )在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增，當(dāng)當(dāng)x x1 1 時時，f f( (x x) )有最大值有最大值，f f(1)(1)3 3a a1.1. 綜上綜上，當(dāng)當(dāng)a a00，x x0 0 時時，f f(

12、(x x) )有最大值有最大值 0 0； 當(dāng)當(dāng) 00a a11，x xa a時時，f f( (x x) )有最大值有最大值 2 2a a a a； 當(dāng)當(dāng)a a11，x x1 1 時時，f f( (x x) )有最大值有最大值 3 3a a1.1. B B 級級 能力提升能力提升 1 1若函數(shù)若函數(shù)f f( (x x) )x x2 22 2x xa a在區(qū)間在區(qū)間 1 12 2，3 3 上的最大值、最小值分別為上的最大值、最小值分別為m m，n n，則則m mn n( ( ) ) A.A.17173 3 B.B.23235 5 C.C.26267 7 D.D.28289 9 解析：因為解析：因為

13、f f(x x) )2 2x x3 32 22 2（x x1 1）（）（x x2 2x x1 1）x x3 3， 所以當(dāng)所以當(dāng) 11x x33 時時f f(x x) )0 0， 當(dāng)當(dāng)1 12 2x x11 時時，f f( (x x)0.)0. 所以所以f f( (x x) )在在 1 12 2，1 1 上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增 所以所以f f( (x x) )minminf f(1)(1)1 12 2a a3 3a an n. . 又因為又因為f f 1 12 25 5a a，f f(3)(3)55559 9a a， 所以所以f f 1 12 2 f f(3)(3)所以所

14、以f f( (x x) )maxmaxf f(3)(3)55559 9a am m， 所以所以m mn n55559 9a a(3(3a a) )28289 9. . 答案：答案：D D 2 2函數(shù)函數(shù)f f( (x x) )1 12 2e ex x( (sin sin x xcos cos x x)()(x x)的值域為的值域為_ 解析：當(dāng)解析：當(dāng) 00 x x11 時時，f f( (x x) )1 12 2e ex x( (sin sin x xcos cos x x) )1 12 2e ex x( (cos cos x xsin sin x x) )e ex xcos cos x x0

15、0，所 以所 以f f( (x x) ) 在在 上 單 調(diào) 遞 增上 單 調(diào) 遞 增 ， 則則f f(0)(0)f f( (x x) ) f f(1)(1) ， 即 函 數(shù)即 函 數(shù)f f( (x x) ) 的 值 域 為的 值 域 為 1 12 2，1 12 2e e（sin 1sin 1cos 1cos 1） . . 答案：答案： 1 12 2，1 12 2e e（sin 1sin 1cos 1cos 1） 3 3已知函數(shù)已知函數(shù)f f( (x x) )x x3 3axax2 24(4(a aR)R)，f f( (x x) )是是f f( (x x) )的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù) (1)(1)當(dāng)當(dāng)a

16、 a2 2 時時，對于任意的對于任意的m m，n n，求求f f( (m m) )f f(n n) )的最小值；的最小值； (2)(2)若存在若存在x x0 0(0(0，)，使使f f( (x x0 0) )0 0，求求a a的取值范圍的取值范圍 解：解：(1)(1)當(dāng)當(dāng)a a2 2 時時，f f( (x x) )x x3 32 2x x2 24 4，f f( (x x) )3 3x x2 24 4x x. . 令令f f(x x) )0 0，得得x x1 10 0，x x2 24 43 3. . 當(dāng)當(dāng)x x(1 1，0 0) )時時，f f( (x x)0)0，所以所以f f( (x x)

17、)在在( (1 1，0 0) )上單調(diào)遞減；上單調(diào)遞減； 當(dāng)當(dāng)x x(0(0，1 1) )時時，f f( (x x) )0 0，所以所以f f( (x x) )在在(0(0，1 1) )上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞增； 所以對于所以對于m m，f f( (m m) )的最小值為的最小值為f f(0)(0)4.4. 因為因為f f(x x) )3 3x x2 24 4x x的開口向下的開口向下，且對稱軸為且對稱軸為x x2 23 3，所以對于所以對于n n，f f( (n n) )的最小值的最小值為為f f(1)1)7.7. 故故f f( (m m) )f f(n n) )的最小值為的最小值為11.11

18、. (2)(2)f f(x x) )3 3x x2 22 2axax3 3x x x x2 2a a3 3. . 若若a a00，當(dāng)當(dāng)x x0 0 時時，f f( (x x)0)0，所以所以f f( (x x) )在上單調(diào)遞增；當(dāng)在上單調(diào)遞增；當(dāng)x x2 2a a3 3時時，f f( (x x)0)0，所所以以f f( (x x) )在在 2 2a a3 3， 上單調(diào)遞減；故當(dāng)上單調(diào)遞減；故當(dāng)x x(0(0，)時時，f f( (x x) )maxmaxf f 2 2a a3 34 42 27 7a a3 34.4.依題意依題意4 42727a a3 34 40 0，解得解得a a3.3. 綜上綜上，a a的取值范圍是的取值范圍是(3(3，)